Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2019-2020)/Teil I/Liste der Hauptsätze/Zufallsabfrage
Für jede
natürliche Zahl
sei eine Aussage
gegeben. Es gelte
ist wahr.
- Für alle
gilt: wenn
gilt, so ist auch
wahr.
Dann gilt für alle
.
Jede
natürliche Zahl
,
,
besitzt eine Zerlegung in Primfaktoren.
D.h. es gibt eine Darstellung
mit
Primzahlen
.
Es gibt keine rationale Zahl, deren Quadrat gleich ist.
D.h. die reelle Zahl ist irrational.
Es gibt unendlich viele Primzahlen.
Es seien Elemente in einem Körper. Ferner sei
eine natürliche Zahl.
Dann gilt
Die komplexen Zahlen
bilden einen Körper.
Es sei ein Körper und sei
der Polynomring über
. Es seien
Polynome mit
.
Dann gibt es eindeutig bestimmte Polynome
mit
Es sei ein Körper und sei
der Polynomring über
. Es sei
ein Polynom und
.
Dann ist genau dann eine
Nullstelle
von
, wenn
ein Vielfaches des linearen Polynoms
ist.
Es sei ein Körper und sei
der Polynomring über
. Es sei
ein Polynom
(
)
vom
Grad
.
Dann besitzt maximal
Nullstellen.
Jedes nichtkonstante
Polynom
über den
komplexen Zahlen
besitzt eine Nullstelle.
Es sei ein
Körper
und es seien
verschiedene Elemente
und
Elemente
gegeben.
Dann gibt es ein eindeutiges Polynom
vom Grad
derart, dass
für alle
ist.
Eine reelle Folge
besitzt maximal einen Grenzwert.
Eine konvergente reelle Folge
ist beschränkt.
Es seien
und
reelle Folgen. Es gelte
und
konvergieren beide gegen den gleichen Grenzwert
.
Dann konvergiert auch gegen
.
Es seien
und
konvergente Folgen
in
.
Dann ist die Folge ebenfalls konvergent und es gilt
Es seien
und
konvergente Folgen
in
.
Dann ist die Folge ebenfalls konvergent und es gilt
Es sei eine
konvergente Folge
in
mit dem Grenzwert
und mit
für alle
.
Dann ist ebenfalls konvergent mit
Jede nichtleere nach oben beschränkte Teilmenge der reellen Zahlen
besitzt ein
Supremum
in .
Eine
beschränkte
und
monotone
Folge in
konvergiert.
Es sei
eine Reihe von reellen Zahlen.
Dann ist die Reihe genau dann
konvergent,
wenn das folgende Cauchy-Kriterium erfüllt ist: Zu jedem
gibt es ein
derart, dass für alle
die Abschätzung
gilt.
Es sei
eine konvergente Reihe von reellen Zahlen.
Dann ist
Es sei eine fallende
Nullfolge
von nichtnegativen
reellen Zahlen.
Dann
konvergiert
die
Reihe
.
Eine absolut konvergente Reihe von reellen Zahlen
konvergiert.
Es sei eine
konvergente Reihe
von
reellen Zahlen
und
eine
Folge
reeller Zahlen
mit
für alle
.
Dann ist die Reihe
absolut konvergent.
Für alle
reellen Zahlen
mit
konvergiert die Reihe
absolut
und es gilt
Es sei
eine
Reihe
von
reellen Zahlen. Es gebe eine
reelle Zahl
mit
und ein
für alle
(insbesondere sei
für
).
Dann konvergiert die Reihe
absolut.
Es sei
eine Teilmenge,
eine
Funktion
und
. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.
ist stetig im Punkt
.
- Für jede
konvergente Folge
in
mit
ist auch die Bildfolge
konvergent mit dem Grenzwert
.
Es seien
und
Teilmengen und
und
Funktionen mit
. Dann gelten folgende Aussagen.
- Wenn
in
und
in
stetig sind, so ist auch die Hintereinanderschaltung
in
stetig.
- Wenn
und
stetig sind, so ist auch
stetig.
Es sei
und seien
stetige Funktionen.
Dann sind auch die Funktionen
stetig. Für eine Teilmenge
,
auf der
keine Nullstelle besitzt, ist auch die Funktion
stetig.
Es seien
reelle Zahlen
und sei
eine
stetige Funktion. Es sei
eine reelle Zahl zwischen
und
.
Dann gibt es ein
mit
.
Es seien
reelle Zahlen
und sei
eine
stetige Funktion mit
und
.
Dann gibt es ein
mit
und mit
,
d.h. besitzt eine Nullstelle zwischen
und
.
Es sei
ein
Intervall
und
eine stetige, streng wachsende Funktion.
Dann ist das Bild
ebenfalls ein Intervall, und die Umkehrabbildung
ist ebenfalls stetig.
Es sei
. Für
ungerade ist
die Potenzfunktion
stetig, streng wachsend, bijektiv und die Umkehrfunktion
ist streng wachsend und stetig.
Für gerade ist die Potenzfunktion
stetig, streng wachsend, bijektiv und die Umkehrfunktion
ist streng wachsend und stetig.
Es sei eine
beschränkte
Folge von
reellen Zahlen.
Dann besitzt die Folge eine konvergente Teilfolge.
Es sei
ein abgeschlossenes beschränktes
Intervall
und sei
eine stetige Funktion.
Dann gibt es ein
mit
D.h., dass die Funktion ihr Maximum (und ihr Minimum) annimmt.
Es sei
eine
Potenzreihe
und es gebe ein
derart, dass
konvergiere.
Dann gibt es ein positives
(wobei
erlaubt ist)
derart, dass für alle
mit
die Reihe absolut konvergiert. Auf einem solchen
(offenen)
Konvergenzintervall stellt die Potenzreihe
eine
stetige Funktion
dar.
Es seien
zwei absolut konvergente Reihen reeller Zahlen.
Dann ist auch das
Cauchy-Produkt
absolut konvergent und für die Summe gilt
Für jedes ist die
Exponentialreihe
absolut konvergent.
Für
reelle Zahlen
gilt
Der natürliche Logarithmus
ist eine
stetige,
streng wachsende Funktion, die eine Bijektion zwischen
und
stiftet. Dabei gilt
für alle
.
Für die trigonometrischen Funktionen
und
gelten die Additionstheoreme
und
Die trigonometrischen Funktionen
und
erfüllen für
die Kreisgleichung
Es sei
eine Teilmenge,
ein Punkt und
eine Funktion.
Dann ist in
genau dann
differenzierbar,
wenn es ein
und eine Funktion
gibt mit
stetig
in
und
und mit
Es sei
eine Teilmenge,
ein Punkt und
eine
Funktion, die im Punkt
differenzierbar sei.
Dann ist
stetig in
.
Es sei
eine Teilmenge,
ein Punkt und
Funktionen,
die in
differenzierbar
seien.
Dann ist auch das Produkt in
differenzierbar und es gilt
Es sei
eine Teilmenge,
ein Punkt und
Funktionen,
die in
differenzierbar
seien.
Wenn keine Nullstelle in
besitzt, so ist
differenzierbar in
mit
Es seien
Teilmengen und seien
und
Funktionen mit
. Es sei
in
differenzierbar
und
sei in
differenzierbar.
Dann ist auch die Hintereinanderschaltung
in differenzierbar mit der
Ableitung
Es seien
Intervalle
und sei
eine bijektive stetige Funktion mit der Umkehrfunktion
Dann ist auch die
Umkehrfunktion
in
differenzierbar mit
Es sei
eine
Funktion, die in
ein
lokales Extremum
besitze und dort
differenzierbar
sei.
Dann ist
.
Es sei
und sei
eine
stetige,
auf
differenzierbare Funktion mit
.
Dann gibt es ein
mit
Es sei
und sei
eine
stetige,
auf
differenzierbare Funktion.
Dann gibt es ein
mit
Es sei
eine
differenzierbare Funktion mit
für alle
.
Dann ist konstant.
Es sei
ein
offenes Intervall
und
eine differenzierbare Funktion. Dann gelten folgende Aussagen.
- Die Funktion
ist genau dann auf
wachsend (bzw. fallend), wenn
(bzw.
) für alle
ist.
- Wenn
für alle
ist und
nur endlich viele Nullstellen besitzt, so ist
streng wachsend.
- Wenn
für alle
ist und
nur endlich viele Nullstellen besitzt, so ist
streng fallend.
Es sei
und seien
stetige,
auf
differenzierbare Funktionen
mit
für alle
.
Dann ist
und es gibt ein
mit
Es sei
ein
offenes Intervall
und
ein Punkt. Es seien
stetige Funktionen, die auf
differenzierbar
seien mit
und mit
für
.
Es sei vorausgesetzt, dass der
Grenzwert
existiert.
Dann existiert auch der Grenzwert
und sein Wert ist ebenfalls .
Es sei
eine
Potenzreihe, die auf dem
offenen Intervall
konvergiere
und dort die Funktion
darstellt.
Dann ist auch die formal abgeleitete Potenzreihe
auf konvergent. Die Funktion
ist in jedem Punkt dieses Intervalls
differenzierbar
mit
Die Exponentialfunktion
ist differenzierbar mit
Die Exponentialfunktion
zur Basis
ist differenzierbar mit
Es sei
.
Dann ist die Funktion
differenzierbar und ihre Ableitung ist
Die Sinusfunktion
ist differenzierbar mit
und die
Kosinusfunktionist differenzierbar mit
Die Sinusfunktion und die Kosinusfunktion erfüllen in folgende Periodizitätseigenschaften.
- Es ist
und
für alle
.
- Es ist
und
für alle
.
- Es ist
und
für alle
.
- Es ist
,
,
,
und
.
- Es ist
,
,
,
und
.
Die reelle Sinusfunktion
induziert eine bijektive, streng wachsende Funktion
und die reelle Kosinusfunktion induziert eine bijektive streng fallende Funktion
Es sei ein
reelles
Intervall,
eine -mal
differenzierbare
Funktion
und
ein innerer Punkt des Intervalls.
Dann gibt es zu jedem Punkt
ein
mit
Dabei kann zwischen
und
gewählt werden.
Es sei ein
beschränktes
abgeschlossenes Intervall,
eine -mal
stetig differenzierbare
Funktion,
ein
innerer Punkt
und
.
Dann gilt zwischen und dem
-ten
Taylor-Polynom
die Fehlerabschätzung
Es sei ein
reelles Intervall,
eine -mal
stetig differenzierbare
Funktion,
und
ein innerer Punkt des Intervalls. Es gelte
- Wenn
gerade ist, so besitzt
in
kein lokales Extremum.
- Es sei
ungerade. Bei
besitzt
in
ein isoliertes lokales Minimum.
- Es sei
ungerade. Bei
besitzt
in
ein isoliertes lokales Maximum.
Es sei eine
Potenzreihe,
die auf dem
Intervall
konvergiere,
und es sei
die dadurch definierte Funktion.
Dann ist unendlich oft
differenzierbar
und die
Taylor-Reihe
im Entwicklungspunkt
stimmt mit der vorgegebenen Potenzreihe überein.
Es sei ein
reelles Intervall
und sei
eine stetige Funktion.
Dann ist
Riemann-integrierbar.
Es sei ein
kompaktes Intervall
und sei
eine stetige Funktion.
Dann gibt es ein
mit
Es sei ein
reelles Intervall
und sei
eine
stetige Funktion. Es sei
und es sei
die zugehörige Integralfunktion.
Dann ist
differenzierbar
und es gilt
für alle
.
Es sei ein
reelles Intervall
und sei
eine stetige Funktion.
Dann besitzt eine
Stammfunktion.
Es sei ein
reelles Intervall
und sei
eine
Funktion. Es seien
und
zwei
Stammfunktionen
von
.
Dann ist eine
konstante Funktion.
Es sei ein
reelles Intervall
und sei
eine
stetige Funktion, für die eine
Stammfunktion
sei.
Dann gilt für
die Gleichheit
Es sei
eine auf
konvergente
Potenzreihe.
Dann ist die Potenzreihe
ebenfalls auf konvergent und stellt dort eine
Stammfunktion
für
dar.
Es seien
stetig differenzierbare Funktionen.
Dann gilt
Es sei
eine
bijektive
differenzierbare Funktion
und es sei
eine
Stammfunktion
von
.
Dann ist
eine Stammfunktion der
Umkehrfunktion
.
Es sei ein
reelles Intervall
und sei
eine stetige Funktion. Es sei
stetig differenzierbar.
Dann gilt
Jedes
(inhomogene)
lineare Gleichungssystem über einem Körper
lässt sich durch die in Lemma 21.7 beschriebenen elementaren Umformungen und durch das Weglassen von überflüssigen Gleichungen in ein äquivalentes lineares Gleichungssystem der Stufenform
überführen, bei dem alle Startkoeffizienten von
verschieden sind.
Dabei ist bei die letzte Zeile überflüssig und bei
besitzt das System keine Lösung.
Es sei ein inhomogenes lineares Gleichungssystem über einem Körper in Dreiecksgestalt
mit
gegeben, wobei vorne die Diagonalelemente
alle ungleich
seien.
Dann stehen die Lösungen in Bijektion zu den Tupeln
.
D.h. die hinteren
Einträge sind frei wählbar und legen eine eindeutige Lösung fest, und jede Lösung wird dabei erfasst.
Es sei ein
Körper und
ein
homogenes lineares Gleichungssystem
über .
Dann ist die Menge aller Lösungen des Gleichungssystems ein
Untervektorraum
des
(mit komponentenweiser Addition und Skalarmultiplikation).
Es sei ein
Körper
und
ein
-
Vektorraum. Es sei
eine Familie von Vektoren. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.
- Die Familie ist eine
Basis
von
.
- Die Familie ist ein minimales
Erzeugendensystem,
d.h. sobald man einen Vektor
weglässt, liegt kein Erzeugendensystem mehr vor.
- Für jeden Vektor
gibt es genau eine Darstellung
-
- Die Familie ist maximal linear unabhängig, d.h. sobald man irgendeinen Vektor dazunimmt, ist die Familie nicht mehr linear unabhängig.
Es sei ein
Körper
und
ein
-
Vektorraum mit einem endlichen
Erzeugendensystem.
Dann besitzt eine endliche
Basis.
Es sei ein
Körper
und
ein
-
Vektorraum mit einem endlichen
Erzeugendensystem.
Dann besitzen je zwei
Basen von die gleiche Anzahl von Basisvektoren.
Es sei ein
Körper und
.
Dann besitzt der
Standardraum die
Dimension
.
Es sei ein
Körper
und
ein
-
Vektorraum mit endlicher
Dimension
. Es seien
Vektoren
in
gegeben.
Dann sind folgende Eigenschaften äquivalent.
bilden eine Basis von
.
bilden ein Erzeugendensystem von
.
sind linear unabhängig.
Es sei ein
Körper
und es seien
und
Vektorräume
über
. Es sei
,
,
eine
Basis
von
und es seien
,
, Elemente in
.
Dann gibt es genau eine lineare Abbildung
Es sei ein
Körper,
und
seien
-
Vektorräume
und
sei eine
-
lineare Abbildung.
Dann ist genau dann
injektiv,
wenn
ist.
Es sei ein
Körper,
und
seien
-
Vektorräume
und
sei eine
-
lineare Abbildung und
sei endlichdimensional.
Dann gilt
Es sei ein
Körper
und es seien
und
Vektorräume
über
der gleichen
Dimension
. Es sei
eine lineare Abbildung.
Dann ist genau dann
injektiv,
wenn
surjektiv
ist.
Bei der Korrespondenz zwischen linearen Abbildungen und Matrizen entsprechen sich die Hintereinanderschaltung von linearen Abbildungen und die Matrizenmultiplikation.
Damit ist folgendes gemeint: es seien
Vektorräume
über einem
Körper
mit
Basen
Es seien
lineare Abbildungen. Dann gilt für die beschreibenden Matrizen von und der Hintereinanderschaltung
die Beziehung
Es sei ein
Körper
und es seien
und
endlichdimensionale
-
Vektorräume. Es seien
und
Basen
von
und
und
Basen von
.
Es sei
eine
lineare Abbildung,
die bezüglich der Basen
und
durch die
Matrix
beschrieben werde.
Dann wird bezüglich der Basen
und
durch die Matrix
beschrieben, wobei
und
die
Übergangsmatrizen
sind, die die Basiswechsel von
nach
und von
nach
beschreiben.
Es sei ein
Körper
und es seien
und
Vektorräume
über
der
Dimension
bzw.
.
Es sei
eine
lineare Abbildung,
die bezüglich zweier
Basen
durch die
Matrix
beschrieben werde. Dann gelten folgende Eigenschaften.
ist genau dann injektiv, wenn die Spalten der Matrix linear unabhängig sind.
ist genau dann surjektiv, wenn die Spalten der Matrix ein Erzeugendensystem von
bilden.
- Bei
ist
genau dann bijektiv, wenn die Spalten der Matrix eine Basis von
bilden, und dies ist genau dann der Fall, wenn
invertierbar ist.
Es sei ein
Körper
und es sei
ein
endlichdimensionaler
-
Vektorraum.
Es sei
eine
lineare Abbildung. Es seien
und
Basen
von
.
Dann besteht zwischen den Matrizen, die die lineare Abbildung bezüglich
bzw.
(beidseitig)
beschreiben, die Beziehung
Es sei ein
Körper
und es seien
und
Vektorräume
über
der
Dimension
bzw.
.
Es sei
eine
lineare Abbildung,
die bezüglich zweier
Basen
durch die
Matrix
beschrieben werde.
Dann gilt
Es sei ein
Körper und sei
eine
-
Matrix
über
.
Dann stimmt der Spaltenrang mit dem Zeilenrang überein.
Wenn man im Sinne von
Satz 21.9
mittels elementarer Zeilenumformungen in eine Matrix
in Stufenform transformiert, so ist der Rang gleich der Anzahl der relevanten Zeilen von
.
Es sei ein
Körper und
.
Dann ist die Determinante
multilinear.
D.h., dass für jedes
,
für je
Vektoren
und für
die Gleichheit
und für
die Gleichheit
gilt.
Es sei ein
Körper und
. Dann besitzt die
Determinante
folgende Eigenschaften.
- Wenn in
zwei Zeilen übereinstimmen, so ist
. D.h., dass die Determinante alternierend ist.
- Wenn man in
zwei Zeilen vertauscht, so ändert sich die Determinante mit dem Faktor
.
Es sei ein
Körper und sei
eine
-
Matrix
über
. Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent.
- Es ist
.
- Die Zeilen von
sind linear unabhängig.
ist invertierbar.
- Es ist
.
Es sei ein
Körper und
.
Dann gilt für Matrizen
die Beziehung
Es sei ein
Körper und sei
eine
-
Matrix
über
. Zu
sei
diejenige Matrix, die entsteht, wenn man in
die
-te Zeile und die
-te Spalte weglässt.
Dann ist
(bei
für jedes feste
bzw.
)
Es sei ein
Körper,
ein
-
Vektorraum
und
eine
lineare Abbildung. Es seien
Eigenvektoren
zu
(paarweise)
verschiedenen
Eigenwerten
.
Dann sind
linear unabhängig.
Es sei ein
Körper
und es sei
ein
endlichdimensionaler
-
Vektorraum.
Es sei
eine lineare Abbildung.
Dann gibt es nur endlich viele
Eigenwerte
zu .
Es sei ein
Körper
und es sei
ein
-
dimensionaler
Vektorraum.
Es sei
eine lineare Abbildung.
Dann ist
genau dann ein
Eigenwert
von
, wenn
eine Nullstelle des
charakteristischen Polynoms
ist.
Es sei ein
Körper
und es sei
ein
endlichdimensionaler
-
Vektorraum.
Es sei
eine
lineare Abbildung und .
Dann besteht zwischen der geometrischen und der algebraischen Vielfachheit die Beziehung
Es sei ein
Körper
und es sei
ein
endlichdimensionaler
-
Vektorraum.
Es sei
eine lineare Abbildung. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.
ist diagonalisierbar.
- Es gibt eine Basis
von
derart, dass die beschreibende Matrix
eine Diagonalmatrix ist.
- Für jede beschreibende Matrix
bezüglich einer Basis
gibt es eine invertierbare Matrix
derart, dass
eine Diagonalmatrix ist.
-
Es sei ein
Körper
und es sei
ein
endlichdimensionaler
-
Vektorraum.
Es sei
eine lineare Abbildung.
Dann ist genau dann
diagonalisierbar,
wenn das
charakteristische Polynom
in
Linearfaktoren
zerfällt und wenn für jede Nullstelle
mit der algebraischen Vielfachheit
die Gleichheit
gilt.
Es sei ein
Körper
und es sei
ein
endlichdimensionaler
-
Vektorraum.
Es sei
eine lineare Abbildung. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.
ist trigonalisierbar.
- Das
charakteristische Polynom
zerfällt in Linearfaktoren.
Wenn trigonalisierbar ist und bezüglich einer Basis durch die Matrix
beschrieben wird, so gibt es eine invertierbare Matrix
derart, dass
eine
obere Dreiecksmatrix
ist.
Es sei
eine quadratische Matrix mit
komplexen
Einträgen.
Dann ist
trigonalisierbar.