Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2019-2020)/Teil I/Liste der Hauptsätze/kontrolle

Wurzelfunktionen

Reelle Zahlen/kte Wurzeln aus reellen Zahlen/Über Zwischenwertsatz/Fakt

Es sei ${}n\in \mathbb {N} _{+}$. Für ${}n$ ungerade ist

die Potenzfunktion

$\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto x^{n},$

stetig, streng wachsend, bijektiv und die Umkehrfunktion

$\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto x^{1/n},$

ist streng wachsend und stetig.

Für ${}n$ gerade ist die Potenzfunktion

$\mathbb {R} _{\geq 0}\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0},\,x\longmapsto x^{n},$

stetig, streng wachsend, bijektiv und die Umkehrfunktion

$\mathbb {R} _{\geq 0}\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0},\,x\longmapsto x^{1/n},$

ist streng wachsend und stetig.

Frage:

Reelle Zahlen/kte Wurzeln aus reellen Zahlen/Über Zwischenwertsatz/Fakt/Name

Antwort:

Reelle Zahlen/kte Wurzeln aus reellen Zahlen/Über Zwischenwertsatz/Fakt/Name/Inhalt

Beweisaufgabe

Reelle Zahlen/kte Wurzeln aus reellen Zahlen/Über Zwischenwertsatz/Fakt/Beweis/Aufgabe

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Eigenschaften der Exponentialfunktion

Exponentialreihe/Reell/Elementare Eigenschaften/Fakt

Die Exponentialfunktion

$\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \exp x,$

besitzt folgende Eigenschaften.

1. Es ist ${}\exp 0=1$.
2. Für jedes ${}x\in \mathbb {R}$ ist ${}\exp \left(-x\right)=(\exp x)^{-1}$. Insbesondere ist ${}\exp x\neq 0$.
3. Für ganze Zahlen ${}n\in \mathbb {Z}$ ist ${}\exp n=(\exp 1)^{n}$.
4. Für jedes ${}x$ ist ${}\exp x\in \mathbb {R} _{+}$.
5. Für ${}x>0$ ist ${}\exp x>1$ und für ${}x<0$ ist ${}\exp x<1$.
6. Die reelle Exponentialfunktion ist streng wachsend.

Frage:

Exponentialreihe/Reell/Elementare Eigenschaften/Fakt/Name

Antwort:

Exponentialreihe/Reell/Elementare Eigenschaften/Fakt/Name/Inhalt

Beweisaufgabe

Exponentialreihe/Reell/Elementare Eigenschaften/Fakt/Beweis/Aufgabe

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Periodizitätseigenschaften von Sinus und Kosinus

Sinus und Kosinus/R/Periodizitätseigenschaften/Fakt

Die Sinusfunktion und die Kosinusfunktion erfüllen in ${}\mathbb {R}$ folgende Periodizitätseigenschaften.

1. Es ist ${}\cos \left(x+2\pi \right)=\cos x$ und ${}\sin \left(x+2\pi \right)=\sin x$ für alle ${}x\in \mathbb {R}$.
2. Es ist ${}\cos \left(x+\pi \right)=-\cos x$ und ${}\sin \left(x+\pi \right)=-\sin x$ für alle ${}x\in \mathbb {R}$.
3. Es ist ${}\cos \left(x+\pi /2\right)=-\sin x$ und ${}\sin \left(x+\pi /2\right)=\cos x$ für alle ${}x\in \mathbb {R}$.
4. Es ist ${}\cos 0=1$, ${}\cos \pi /2=0$, ${}\cos \pi =-1$, ${}\cos 3\pi /2=0$ und ${}\cos 2\pi =1$.
5. Es ist ${}\sin 0=0$, ${}\sin \pi /2=1$, ${}\sin \pi =0$, ${}\sin 3\pi /2=-1$ und ${}\sin 2\pi =0$.

Frage:

Die Periodizätseigenschaften für Sinus und Kosinus (ohne spezielle Werte).

Antwort:

Die Sinusfunktion und die Kosinusfunktion erfüllen in ${}\mathbb {R}$ folgende Periodizitätseigenschaften.

1. Es ist ${}\cos \left(x+2\pi \right)=\cos x$ und ${}\sin \left(x+2\pi \right)=\sin x$ für alle ${}x\in \mathbb {R}$.
2. Es ist ${}\cos \left(x+\pi \right)=-\cos x$ und ${}\sin \left(x+\pi \right)=-\sin x$ für alle ${}x\in \mathbb {R}$.
3. Es ist ${}\cos \left(x+\pi /2\right)=-\sin x$ und ${}\sin \left(x+\pi /2\right)=\cos x$ für alle ${}x\in \mathbb {R}$.

Beweisaufgabe

Sinus und Kosinus/R/Periodizitätseigenschaften/Fakt/Beweis/Aufgabe

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Newton-Leibniz-Formel

Riemann-Integral/Hauptsatz/Newton-Leibniz/Fakt

Es sei ${}I$ ein reelles Intervall und sei

$f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

eine stetige Funktion, für die ${}F$ eine Stammfunktion sei.

Dann gilt für ${}a,b\in I$ die Gleichheit

${}\int _{a}^{b}f(t)\,dt=F(b)-F(a)\,.$

Frage:

Die Newton-Leibniz Formel.

Antwort:

Es sei ${}I$ ein reelles Intervall und sei

$f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

eine stetige Funktion, für die ${}F$ eine Stammfunktion sei. Dann gilt für ${}a<b$ aus ${}I$ die Gleichheit

${}\int _{a}^{b}f(t)\,dt=F(b)-F(a)\,.$

Beweisaufgabe

Beweise die Newton-Leibniz-Formel.

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