Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2019-2020)/Teil II/Arbeitsblatt 41/latex
\setcounter{section}{41}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Finde einen zweidimensionalen Lösungsraum für die
\definitionsverweis {Differentialgleichung zweiter Ordnung}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ y^{\prime \prime}
}
{ =} { y
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Löse damit das Anfangswertproblem
\mathdisp {y^{\prime \prime} = y \text{ mit } y(0)=3 \text{ und } y^\prime (0) = -2} { . }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Finde einen zweidimensionalen Lösungsraum für die
\definitionsverweis {Differentialgleichung zweiter Ordnung}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ y^{\prime \prime}
}
{ =} { -y
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Löse damit das Anfangswertproblem
\mathdisp {y^{\prime \prime} = -y \text{ mit } y(0)=5 \text{ und } y^\prime (0) = 6} { . }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Finde einen zweidimensionalen Lösungsraum für die
\definitionsverweis {Differentialgleichung zweiter Ordnung}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ y^{\prime \prime}
}
{ =} { -cy
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{c
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Finde alle
\definitionsverweis {Lösungen}{}{}
der in
Beispiel 41.3
betrachteten
\definitionsverweis {Differentialgleichung zweiter Ordnung}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y^{\prime \prime}
}
{ =} {- { \frac{ \beta }{ m } } y' +g
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit Hilfe von
Satz 32.10.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die Menge aller Lösungen der Differentialgleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y^{(n)}
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
einen $n$-dimensionalen reellen Vektorraum bilden.
}
{} {}
In der Vorlesung wurde nur besprochen, wie eine eindimensionale Differentialgleichung höherer Ordnung zu einem Differentialgleichungssystem erster Ordnung führt. Diese Übersetzung gibt es auch höherdimensional.
\inputaufgabe
{}
{
Es sei ein Differentialgleichungssystem
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ y_1^{(n)}
}
{ =} {h_1 { \left( t,y_1 ,y_1' , \ldots , y_1^{(n-1)} ,y_2 ,y_2' , \ldots , y_2^{(n-1)} , \ldots , y_m ,y_m' , \ldots , y_m^{(n-1)} \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{, \ldots ,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ y_m^{(n)}
}
{ =} {h_m { \left( t,y_1 ,y_1' , \ldots , y_1^{(n-1)} ,y_2 ,y_2' , \ldots , y_2^{(n-1)} , \ldots , y_m ,y_m' , \ldots , y_m^{(n-1)} \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
der Ordnung $n$ in $m$ Variablen gegeben. Zeige, dass man dieses System analog zur Vorgehensweise in
Lemma 41.5
in ein äquivalentes System erster Ordnung in $mn$ Variablen übersetzen kann.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Wir betrachten ein zweidimensionales Kraftfeld, das in jedem Punkt in Richtung des Ursprungs wirkt und damit eine Beschleunigung erzeugt, die proportional zur Entfernung sein soll
\zusatzklammer {also ein harmonisches Pendel in der Ebene} {} {.}
Die zugehörige zweidimensionale Differentialgleichung zweiter Ordnung ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix}^{\prime \prime}
}
{ =} { - c \begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
wobei $c$ eine positive Konstante ist, die von der Masse des Zentrums abhängt. Mit den zusätzlichen Geschwindigkeitsvariablen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{u
}
{ = }{x'
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{v
}
{ = }{y'
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
führt dies auf das System erster Ordnung in vier Variablen,
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x'
}
{ =} { u
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ u'
}
{ =} { - cx
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ y'
}
{ =} { v
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ v'
}
{ =} { -cy
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Dabei sind die beiden ersten Gleichungen unabhängig von den beiden letzten Gleichungen, und zwar handelt es sich jeweils um das in
Aufgabe 41.3
besprochene System. Somit sind die Lösungen gleich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x(t)
}
{ =} { \alpha \cos \sqrt{c} t + \beta \sin \sqrt{c} t
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ y(t)
}
{ =} { \gamma \cos \sqrt{c} t + \delta \sin \sqrt{c} t
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Man überlege sich, wie die Anfangsbedingungen
\mathl{(x_0,u_0,y_0,v_0)}{} mit den Lösungsparametern
\mathl{\alpha, \beta, \gamma, \delta}{} zusammenhängen und welche Bahnen die Lösungskurven beschreiben. Wann ist es ein Kreis, eine Ellipse, ein Strahl, eine Spirale?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Wir betrachten ein zweidimensionales Kraftfeld, d.h. im Ursprungspunkt
\mathl{(0,0)}{} ist das Gravitationszentrum
\zusatzklammer {ein Stern} {} {,}
das eine auf dieses Zentrum gerichtete Kraftwirkung und damit eine Beschleunigung erzeugt. Nach dem Gravitationsgesetz ist die Kraft proportional zum Produkt der beiden Massen geteilt durch das Quadrat des Abstandes. Das Gravitationszentrum wird als unbeweglich angenommen, und es wird die Wirkungsweise auf einen
\zusatzklammer {verglichen mit der Masse des Zentrums} {} {}
kleinen Probekörper untersucht. Da in die Beschleunigung des Probekörpers dessen Masse auch proportional eingeht, ist diese für den Bewegungsprozess irrelevant. Die zugehörige zweidimensionale Differentialgleichung zweiter Ordnung ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix}^{\prime \prime}
}
{ =} { - c { \frac{ 1 }{ \Vert {\begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix}} \Vert^3 } } \begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
wobei $c$ eine positive Konstante ist, die von der Masse des Zentrums und der Gravitationskonstanten abhängt. Mit den zusätzlichen Geschwindigkeitsvariablen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{u
}
{ = }{x'
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{v
}
{ = }{y'
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
führt dies auf das System erster Ordnung in vier Variablen,
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x'
}
{ =} { u
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ u'
}
{ =} { - { \frac{ c }{ \sqrt{ x^2 +y^2}^3 } } x
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ y'
}
{ =} { v
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ v'
}
{ =} { - { \frac{ c }{ \sqrt{ x^2 +y^2}^3 } } y
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
\aufzaehlungdrei{Wir betrachten kreisförmige Lösungen der Form
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} x(t) \\y(t) \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} r \cos at \\ r \sin at \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a,r
}
{ \in }{ \R_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Welche Beziehung muss zwischen $c,a,r$ bestehen
\zusatzklammer {drittes Keplersches Gesetz} {} {?}
}{Wir betrachten elliptische Lösungen der Form
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} x(t) \\y(t) \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} r \cos at \\ s \sin at \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a,r,s
}
{ \in }{ \R_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Welche Beziehung muss zwischen $c,a,r,s$ bestehen?
}{Finde Lösungen, die auf einem Strahl zum Zentrum verlaufen.
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Wir betrachten die
\definitionsverweis {Differentialgleichung}{}{}
\mathdisp {y'=y} { }
mit der Anfangsbedingung $y(0)=1$. Bestimme zur Schrittweite
\mathl{s= { \frac{ 1 }{ k } }}{} die approximierenden Punkte $P_n$
gemäß dem Polygonzugverfahren.
Bestimme insbesondere $P_k$. Was passiert mit $P_k$ für
\mathl{k \rightarrow \infty}{?}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
a) Schreibe ein Computerprogramm, das zu dem Vektorfeld aus
Beispiel 41.8
zu einem Startzeitpunkt $t_0$, einem Startpunkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P_0
}
{ = }{ \begin{pmatrix} a \\b \end{pmatrix}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und einer vorgegebenen Schrittweite
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ s
}
{ > }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die approximierenden Punkte
\mathl{P_n}{} berechnet.
b) Berechne mit diesem Programm die Punkte $P_n$ für
\aufzaehlungacht{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ t_0
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P_0
}
{ = }{ \begin{pmatrix} 1 \\1 \end{pmatrix}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ s
}
{ = }{ { \frac{ 1 }{ 10 } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ = }{ 0,1,2,3,4,5, 10
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ t_0
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P_0
}
{ = }{ \begin{pmatrix} 1 \\1 \end{pmatrix}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ s
}
{ = }{ { \frac{ 1 }{ 100 } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ = }{ 100
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ t_0
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P_0
}
{ = }{ \begin{pmatrix} 1 \\1 \end{pmatrix}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ s
}
{ = }{ { \frac{ 1 }{ 1000 } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ = }{ 1000
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ t_0
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P_0
}
{ = }{ \begin{pmatrix} 1,001 \\0,999 \end{pmatrix}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ s
}
{ = }{ { \frac{ 1 }{ 1000 } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ = }{ 1000
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ t_0
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P_0
}
{ = }{ \begin{pmatrix} 1,01 \\0,99 \end{pmatrix}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ s
}
{ = }{ { \frac{ 1 }{ 1000 } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ = }{1000
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ t_0
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P_0
}
{ = }{ \begin{pmatrix} 1,1 \\0,9 \end{pmatrix}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ s
}
{ = }{ { \frac{ 1 }{ 1000 } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ = }{ 1000
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ t_0
}
{ = }{ -3
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P_0
}
{ = }{ \begin{pmatrix} -2 \\5 \end{pmatrix}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ s
}
{ = }{ { \frac{ 1 }{ 10 } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ = }{ 100
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ t_0
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P_0
}
{ = }{ \begin{pmatrix} 1 \\0 \end{pmatrix}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ s
}
{ = }{ { \frac{ 1 }{ 1000 } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ = }{ 1000
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Löse das
\definitionsverweis {Anfangswertproblem}{}{}
\mathdisp {y'=y \text{ mit } y(0)=1} { }
durch einen
\definitionsverweis {Potenzreihenansatz}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Löse das
\definitionsverweis {Anfangswertproblem}{}{}
\mathdisp {y'=ty+1 \text{ mit } y(0)=0} { }
durch einen
\definitionsverweis {Potenzreihenansatz}{}{}
bis zur Ordnung $5$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Löse das
\definitionsverweis {Anfangswertproblem}{}{}
\mathdisp {y'=y^3-y-4t+2t^2 \text{ mit } y(0)=2} { }
durch einen
\definitionsverweis {Potenzreihenansatz}{}{}
bis zur vierten Ordnung.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
\aufzaehlungdrei{Löse das
\definitionsverweis {Anfangswertproblem}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ y^{\prime \prime}
}
{ =} { - \sin y
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{y(0)
}
{ = }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{y'(0)
}
{ = }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
durch einem
\definitionsverweis {Potenzreihenansatz}{}{}
bis zur Ordnung $5$.
}{Löse das Anfangswertproblem
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ y^{\prime \prime}
}
{ =} { - y
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{y(0)
}
{ = }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{y'(0)
}
{ = }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
durch einem Potenzreihenansatz bis zur Ordnung $5$.
}{Vergleiche die Lösungen zu (1) und (2).
}
}
{} {}
Für die beiden folgenden Aufgaben verwende man die Potenzreihe
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ 1 }{ 1+u } }
}
{ =} { 1-u+u^2-u^3+u^4 \pm \ldots
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Für den inhaltlichen Hintergrund siehe
Beispiel Anhang 1.5
bzw.
Beispiel Anhang 1.6.
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Löse mit einem
\definitionsverweis {Potenzreihenansatz}{}{}
das
\definitionsverweis {Anfangswertproblem}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x^{\prime \prime}
}
{ =} { { \frac{ -2gx -4x (x')^2 }{ 1+4 x^2 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x(0)
}
{ = }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x'(0)
}
{ = }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
bis zur Ordnung $4$. Dabei ist $g$ eine Konstante.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Löse das
\definitionsverweis {Anfangswertproblem}{}{}
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ x^{\prime \prime}
}
{ =} {-g x \sqrt{1-x^2} - { \frac{ x }{ 1 -x^2 } } x'^2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {}
}
{}
{}{.}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x(0)
}
{ = }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x'(0)
}
{ = }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
durch einen
\definitionsverweis {Potenzreihenansatz}{}{}
bis zur Ordnung $4$.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Löse das
\definitionsverweis {Anfangswertproblem}{}{}
\mathdisp {y^{\prime \prime} =3yy'+y^2 \text{ mit } y(0)=0 \text{ und } y'(0) =2} { }
durch einen
\definitionsverweis {Potenzreihenansatz}{}{}
bis zur vierten Ordnung.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Löse das
\definitionsverweis {Anfangswertproblem}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix}^{\prime \prime} = \begin{pmatrix} xt^2-y^2t \\xy \end{pmatrix} \text{ mit } \begin{pmatrix} x(0) \\y(0) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\0 \end{pmatrix} \text{ und } \begin{pmatrix} x'(0) \\y'(0) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\-1 \end{pmatrix}} { }
durch einen
\definitionsverweis {Potenzreihenansatz}{}{}
bis zur vierten Ordnung.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Löse das
\definitionsverweis {Anfangswertproblem}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix}^{\prime \prime} = \begin{pmatrix} t^3-yt^2 \\tx^2y- \sinh t \end{pmatrix} \text{ mit } \begin{pmatrix} x(0) \\y(0) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\1 \end{pmatrix} \text{ und } \begin{pmatrix} x'(0) \\y'(0) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\0 \end{pmatrix}} { }
durch einen
\definitionsverweis {Potenzreihenansatz}{}{}
bis zur vierten Ordnung.
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{5 (1+2+2)}
{
a) Übersetze das
\definitionsverweis {Anfangswertproblem zweiter Ordnung}{}{}
\mathdisp {y^{\prime \prime} =- y \text{ mit } y(0)=0 \text{ und } y'(0) = 1} { }
in ein
\definitionsverweis {Differentialgleichungssystem erster Ordnung}{}{.}
b) Bestimme
mit dem Polygonzugverfahren
zur Schrittweite
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ s
}
{ = }{ { \frac{ 1 }{ 2 } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Näherungspunkte
\mathl{P_0,P_1,P_2,P_3,P_4}{} für dieses System.
c) Berechne den Wert des zugehörigen Streckenzuges an der Stelle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ t
}
{ = }{ \pi/2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Löse das
\definitionsverweis {Anfangswertproblem}{}{}
\mathdisp {y'=y^2+t^2y-5ty^2+3t^3 \text{ mit } y(0)=0} { }
durch einen
\definitionsverweis {Potenzreihenansatz}{}{}
bis zur vierten Ordnung.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Löse das
\definitionsverweis {Anfangswertproblem}{}{}
\mathdisp {y^{\prime \prime} =y +(y')^2 \text{ mit } y(0)=0 \text{ und } y'(0) =1} { }
durch einen
\definitionsverweis {Potenzreihenansatz}{}{}
bis zur vierten Ordnung.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Finde alle polynomialen Lösungen der
\definitionsverweis {Differentialgleichung dritter Ordnung}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ y^{\prime \prime \prime}
}
{ =} { 9y -3t y' +y^{\prime \prime}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{6}
{
Löse das
\definitionsverweis {Anfangswertproblem}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix}^{\prime \prime} = \begin{pmatrix} x^2t-xyt+y^3-yt^3 \\x^3-xy^2+ \cos t \end{pmatrix} \text{ mit } \begin{pmatrix} x(0) \\y(0) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\0 \end{pmatrix} \text{ und } \begin{pmatrix} x'(0) \\y'(0) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\-1 \end{pmatrix}} { }
durch einen
\definitionsverweis {Potenzreihenansatz}{}{}
bis zur vierten Ordnung.
}
{} {}