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Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2019-2020)/Teil II/Arbeitsblatt 41

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Übungsaufgaben

Aufgabe

Finde einen zweidimensionalen Lösungsraum für die Differentialgleichung zweiter Ordnung

Löse damit das Anfangswertproblem


Aufgabe

Finde einen zweidimensionalen Lösungsraum für die Differentialgleichung zweiter Ordnung

Löse damit das Anfangswertproblem


Aufgabe

Finde einen zweidimensionalen Lösungsraum für die Differentialgleichung zweiter Ordnung

mit .


Aufgabe

Finde alle Lösungen der in Beispiel 41.3 betrachteten Differentialgleichung zweiter Ordnung

mit Hilfe von Satz 32.10.


Aufgabe

Zeige, dass die Menge aller Lösungen der Differentialgleichung

einen -dimensionalen reellen Vektorraum bilden.


In der Vorlesung wurde nur besprochen, wie eine eindimensionale Differentialgleichung höherer Ordnung zu einem Differentialgleichungssystem erster Ordnung führt. Diese Übersetzung gibt es auch höherdimensional.

Aufgabe

Es sei ein Differentialgleichungssystem

der Ordnung in Variablen gegeben. Zeige, dass man dieses System analog zur Vorgehensweise in Lemma 41.5 in ein äquivalentes System erster Ordnung in Variablen übersetzen kann.


Aufgabe

Wir betrachten ein zweidimensionales Kraftfeld, das in jedem Punkt in Richtung des Ursprungs wirkt und damit eine Beschleunigung erzeugt, die proportional zur Entfernung sein soll (also ein harmonisches Pendel in der Ebene). Die zugehörige zweidimensionale Differentialgleichung zweiter Ordnung ist

wobei eine positive Konstante ist, die von der Masse des Zentrums abhängt. Mit den zusätzlichen Geschwindigkeitsvariablen und führt dies auf das System erster Ordnung in vier Variablen,

Dabei sind die beiden ersten Gleichungen unabhängig von den beiden letzten Gleichungen, und zwar handelt es sich jeweils um das in Aufgabe 41.3 besprochene System. Somit sind die Lösungen gleich

und

Man überlege sich, wie die Anfangsbedingungen mit den Lösungsparametern zusammenhängen und welche Bahnen die Lösungskurven beschreiben. Wann ist es ein Kreis, eine Ellipse, ein Strahl, eine Spirale?


Aufgabe

Wir betrachten ein zweidimensionales Kraftfeld, d.h. im Ursprungspunkt ist das Gravitationszentrum (ein Stern), das eine auf dieses Zentrum gerichtete Kraftwirkung und damit eine Beschleunigung erzeugt. Nach dem Gravitationsgesetz ist die Kraft proportional zum Produkt der beiden Massen geteilt durch das Quadrat des Abstandes. Das Gravitationszentrum wird als unbeweglich angenommen, und es wird die Wirkungsweise auf einen (verglichen mit der Masse des Zentrums) kleinen Probekörper untersucht. Da in die Beschleunigung des Probekörpers dessen Masse auch proportional eingeht, ist diese für den Bewegungsprozess irrelevant. Die zugehörige zweidimensionale Differentialgleichung zweiter Ordnung ist

wobei eine positive Konstante ist, die von der Masse des Zentrums und der Gravitationskonstanten abhängt. Mit den zusätzlichen Geschwindigkeitsvariablen und führt dies auf das System erster Ordnung in vier Variablen,

  1. Wir betrachten kreisförmige Lösungen der Form

    mit . Welche Beziehung muss zwischen bestehen (drittes Keplersches Gesetz)?

  2. Wir betrachten elliptische Lösungen der Form

    mit . Welche Beziehung muss zwischen bestehen?

  3. Finde Lösungen, die auf einem Strahl zum Zentrum verlaufen.


Aufgabe

Wir betrachten die Differentialgleichung

mit der Anfangsbedingung . Bestimme zur Schrittweite die approximierenden Punkte gemäß dem Polygonzugverfahren. Bestimme insbesondere . Was passiert mit für ?


Aufgabe *

a) Schreibe ein Computerprogramm, das zu dem Vektorfeld aus Beispiel 41.8 zu einem Startzeitpunkt , einem Startpunkt und einer vorgegebenen Schrittweite die approximierenden Punkte berechnet.

b) Berechne mit diesem Programm die Punkte für

  1. , , , .
  2. , , , .
  3. , , , .
  4. , , , .
  5. , , , .
  6. , , , .
  7. , , , .
  8. , , , .


Aufgabe

Löse das Anfangswertproblem

durch einen Potenzreihenansatz.


Aufgabe *

Löse das Anfangswertproblem

durch einen Potenzreihenansatz bis zur Ordnung .


Aufgabe

Löse das Anfangswertproblem

durch einen Potenzreihenansatz bis zur vierten Ordnung.


Aufgabe

  1. Löse das Anfangswertproblem

    mit und durch einem Potenzreihenansatz bis zur Ordnung .

  2. Löse das Anfangswertproblem

    mit und durch einem Potenzreihenansatz bis zur Ordnung .

  3. Vergleiche die Lösungen zu (1) und (2).


Für die beiden folgenden Aufgaben verwende man die Potenzreihe

Für den inhaltlichen Hintergrund siehe Beispiel Anhang 1.5 bzw. Beispiel Anhang 1.6.

Aufgabe *

Löse mit einem Potenzreihenansatz das Anfangswertproblem

mit und bis zur Ordnung . Dabei ist eine Konstante.


Aufgabe

Löse das Anfangswertproblem

mit und durch einen Potenzreihenansatz bis zur Ordnung .


Aufgabe *

Löse das Anfangswertproblem

durch einen Potenzreihenansatz bis zur vierten Ordnung.


Aufgabe

Löse das Anfangswertproblem

durch einen Potenzreihenansatz bis zur vierten Ordnung.


Aufgabe

Löse das Anfangswertproblem

durch einen Potenzreihenansatz bis zur vierten Ordnung.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (5 (1+2+2) Punkte)

a) Übersetze das Anfangswertproblem zweiter Ordnung

in ein Differentialgleichungssystem erster Ordnung.

b) Bestimme mit dem Polygonzugverfahren zur Schrittweite die Näherungspunkte für dieses System.

c) Berechne den Wert des zugehörigen Streckenzuges an der Stelle .


Aufgabe (4 Punkte)

Löse das Anfangswertproblem

durch einen Potenzreihenansatz bis zur vierten Ordnung.


Aufgabe (4 Punkte)

Löse das Anfangswertproblem

durch einen Potenzreihenansatz bis zur vierten Ordnung.


Aufgabe (4 Punkte)

Finde alle polynomialen Lösungen der Differentialgleichung dritter Ordnung


Aufgabe (6 Punkte)

Löse das Anfangswertproblem

durch einen Potenzreihenansatz bis zur vierten Ordnung.



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