Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2019-2020)/Teil II/Vorlesung 49/latex

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\setcounter{section}{ 49 }






\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Waeller51.eps} }
\end{center}
\bildtext {Zuerst war sie kurz etwas beleidigt über ihre unvorteilhaften Startbedingungen.} }

\bildlizenz { Waeller51.jpg } {} {Odatrulle} {Commons} {CC-by-sa 4.0} {}







\zwischenueberschrift{Die Kettenregel}

Die Eleganz des totalen Differentials wird in der folgenden allgemeinen Version der Kettenregel deutlich. Sie besagt, dass bei einer Verknüpfung von differenzierbaren Abbildungen das totale Differential \zusatzklammer {also die lineare Approximation} {} {} gleich der Verknüpfung der einzelnen totalen Differentiale ist. Der Beweis verwendet an einer Stelle, dass dass Bild einer abgeschlossenen Kugel unter einer linearer Abbildung $L$ beschränkt ist, d.h. dass es ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b }
{ \in }{\R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gibt mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Vert {L(v)} \Vert }
{ \leq} {b }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} für alle $v$ mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Vert {v} \Vert }
{ \leq} { 1 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Diese Aussage gilt sogar für jede stetige Abbildung, wir werden sie hier aber nur für eine lineare Abbildung beweisen.





\inputfaktbeweis
{Lineare Abbildung/R/Bild/Einheitskugel/Beschränkt/Fakt}
{Lemma}
{}
{

\faktsituation {Es sei \maabb {L} {V} {W } {} eine \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{} zwischen \definitionsverweis {endlichdimensionalen}{}{} \definitionsverweis {reellen Vektorräumen}{}{} \mathkor {} {V} {und} {W} {.}}
\faktfolgerung {Dann ist das \definitionsverweis {Bild}{}{} von
\mathl{B \left( 0,1 \right)}{} \definitionsverweis {beschränkt}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{

Wir fixieren ein \definitionsverweis {Skalarprodukt}{}{} auf $V$ und auf $W$ und wählen eine \definitionsverweis {Orthonormalbasis}{}{}
\mathl{v_1 , \ldots , v_n}{} von $V$. Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{v }
{ = }{\sum_{i = 1}^n a_iv_i }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} aus
\mathl{B \left( 0,1 \right)}{.} Wegen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Vert {v} \Vert^2 }
{ =} { \sum_{i = 1}^n a_i^2 }
{ \leq} { 1 }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { a_i } }
{ \leq} {1 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Somit ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \Vert { L(v)} \Vert }
{ =} { \Vert { L { \left( \sum_{i = 1}^n a_iv_i \right) } } \Vert }
{ =} { \Vert { \sum_{i = 1}^n a_i L( v_i )} \Vert }
{ \leq} { \sum_{i = 1}^n \betrag { a_i } \Vert { L( v_i )} \Vert }
{ \leq} { \sum_{i = 1}^n \Vert { L( v_i )} \Vert }
} {} {}{,} das heißt, dass die Beschränktheit mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{b }
{ \defeq} { \sum_{i = 1}^n \Vert { L( v_i )} \Vert }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt.

}


\inputfaktbeweis
{Totale Differenzierbarkeit/R/Kettenregel/Fakt}
{Satz}
{}
{

\faktsituation {Seien $V,\, W$ und $U$ \definitionsverweis {endlichdimensionale}{}{} ${\mathbb R}$-\definitionsverweis {Vektorräume}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ G }
{ \subseteq }{V }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{D }
{ \subseteq }{W }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \definitionsverweis {offene Mengen}{}{,} und \maabb {\varphi} {G} {W } {} und \maabb {\psi} {D} {U } {} \definitionsverweis {Abbildungen}{}{}}
\faktvoraussetzung {derart, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi(G) }
{ \subseteq }{ D }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gilt. Es sei weiter angenommen, dass $\varphi$ in
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P }
{ \in }{G }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und $\psi$ in
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi(P) }
{ \in }{ D }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \definitionsverweis {total differenzierbar}{}{} ist.}
\faktfolgerung {Dann ist \maabb {\psi \circ \varphi} {G} {U } {} in $P$ differenzierbar mit dem \definitionsverweis {totalen Differential}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left(D(\psi \circ \varphi)\right)_{P} }
{ =} { \left(D\psi\right)_{\varphi(P)} \circ \left(D\varphi\right)_{P} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{Wir haben nach Voraussetzung \zusatzklammer {wobei wir
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{ Q }
{ \defeq }{ \varphi(P) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} setzen} {} {}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi(P+v) }
{ =} {\varphi(P)+L(v)+ \Vert {v} \Vert r(v) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \psi(Q+w) }
{ =} { \psi(Q)+M(w)+ \Vert {w} \Vert s(w) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} mit linearen Abbildungen \maabb {L} {V} {W } {} und \maabb {M} {W} {U } {,} und mit in $0$ stetigen Funktionen \maabb {r} { U { \left( 0,\delta \right) }} {W } {} und \maabb {s} {U { \left( 0,\delta' \right) }} {U } {,} die beide in $0$ den Wert $0$ annehmen. Damit gilt
\mavergleichskettealigndrucklinks
{\vergleichskettealigndrucklinks
{ (\psi \circ \varphi)(P+v) }
{ =} { \zeilemitteil { \psi(\varphi(P+v)) } {} }
{ =} { \zeilemitteil { \psi { \left( \varphi(P)+L(v)+ \Vert {v} \Vert r(v) \right) } } {} }
{ =} { \zeilemitteil { \psi(\varphi(P))+M(L(v)+ \Vert {v} \Vert r(v)) } {+ \Vert {L(v)+ \Vert {v} \Vert r(v)} \Vert s(L(v)+ \Vert {v} \Vert r(v))} }
{ =} { \zeilemitteil { \psi(\varphi(P))+M(L(v))+ M(\Vert {v} \Vert r(v)) } {+ \Vert {L(v)+ \Vert {v} \Vert r(v)} \Vert s(L(v)+ \Vert {v} \Vert r(v))} }
} {
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { \zeilemitteil { \psi(\varphi(P))+(M \circ L)(v)+ \Vert {v} \Vert M(r(v)) } {+ \Vert {\Vert {v} \Vert L { \left( \frac{v} { \Vert {v} \Vert } \right) } + \Vert {v} \Vert r(v)} \Vert s(L(v)+ \Vert {v} \Vert r(v))} }
{ =} { \zeilemitteil { \psi(\varphi(P))+(M \circ L)(v) } {+ \Vert {v} \Vert { \left( M(r(v))+ \Vert {L { \left( \frac{v} { \Vert {v} \Vert } \right) } + r(v)} \Vert s(L(v)+ \Vert {v} \Vert r(v)) \right) }} }
{ } { \zeilemitteil {} {} }
{ } { \zeilemitteil {} {} }
}{}{.} Dabei haben wir in der dritten Gleichung die lineare Approximation für
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ w }
{ =} { L(v)+ \Vert {v} \Vert r(v) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} eingesetzt. Die beiden letzten Gleichungen gelten nur für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{v }
{ \neq }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Der Ausdruck
\mavergleichskettedisphandlinks
{\vergleichskettedisphandlinks
{ t(v) }
{ \defeq} { M(r(v)) + \Vert {L { \left( \frac{v} { \Vert {v} \Vert } \right) } + r(v)} \Vert s(L(v)+ \Vert {v} \Vert r(v)) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ist unser Kandidat für die Abweichungsfunktion. Der erste Summand
\mathl{M(r(v))}{} ist in
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{v }
{ = }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} stetig und hat dort auch den Wert $0$. Es genügt also den zweiten Summanden zu betrachten. Der $\Vert {-} \Vert$-Ausdruck ist in einer Umgebung der Null beschränkt, da $L$ auf der abgeschlossenen Kugel
\mathl{B \left( 0,1 \right)}{} nach Lemma 49.1

beschränkt ist und da $r$ in $0$ stetig ist. Daher hängt die Stetigkeit nur von dem rechten Faktor ab. Aber
\mathl{L(v) + \Vert {v} \Vert r(v)}{} hat für
\mathl{v \rightarrow 0}{} den Grenzwert $0$. Damit ist auch
\mathl{s(L(v)+ \Vert {v} \Vert r(v))}{} in $0$ stetig und hat dort den Grenzwert $0$.}






\inputfaktbeweis
{Totale Differenzierbarkeit/R/Kettenregel/Standardbasen und Jacobimatrix/Fakt}
{Korollar}
{}
{

\faktsituation {Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ G }
{ \subseteq }{ \R^n }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ D }
{ \subseteq }{\R^m }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \definitionsverweis {offene Mengen}{}{,} und \maabb {f} {G} {\R^m } {} und \maabb {g} {D} {\R^k } {} seien \definitionsverweis {Abbildungen}{}{}}
\faktvoraussetzung {derart, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f(G) }
{ \subseteq }{ D }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gilt. Es sei weiter angenommen, dass $f$ in
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P }
{ \in }{G }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und $g$ in
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f(P) }
{ \in }{ D }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \definitionsverweis {total differenzierbar}{}{} ist.}
\faktfolgerung {Dann ist \maabb {h = g \circ f} {G} {U } {} in $P$ differenzierbar und zwischen den \definitionsverweis {Jacobi-Matrizen}{}{} gilt die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{Jak}(h )_P }
{ =} { \operatorname{Jak}(g \circ f )_P }
{ =} { \operatorname{Jak}(g )_{ f(P)} \circ \operatorname{Jak}( f )_P }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} also ausgeschrieben
\mavergleichskettedisphandlinks
{\vergleichskettedisphandlinks
{ \begin{pmatrix} { \frac{ \partial h_1 }{ \partial x_1 } } (P) & \ldots & { \frac{ \partial h_{1} }{ \partial x_{n} } } (P) \\ \vdots & \ddots & \vdots \\{ \frac{ \partial h_{k} }{ \partial x_1 } } (P) & \ldots & { \frac{ \partial h_{k} }{ \partial x_{n} } } (P) \end{pmatrix} }
{ =} { \begin{pmatrix} { \frac{ \partial g_1 }{ \partial y_1 } } (f(P)) & \ldots & { \frac{ \partial g_{1} }{ \partial y_{m} } } (f(P)) \\ \vdots & \ddots & \vdots \\{ \frac{ \partial g_{k} }{ \partial y_1 } } (f(P)) & \ldots & { \frac{ \partial g_{k} }{ \partial y_{m} } } (f(P)) \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} { \frac{ \partial f_1 }{ \partial x_1 } } (P) & \ldots & { \frac{ \partial f_{1} }{ \partial x_{n} } } (P) \\ \vdots & \ddots & \vdots \\{ \frac{ \partial f_{m} }{ \partial x_1 } } (P) & \ldots & { \frac{ \partial f_{m} }{ \partial x_{n} } } (P) \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{

Dies folgt direkt aus Satz 49.1 unter Berücksichtigung von Bemerkung 48.9.

}


Bei der vorstehenden Aussage kann man mit Satz 48.11 häufig direkt auf die totale Differenzierbarkeit schließen.




\inputbeispiel{}
{

Wir wollen die Kettenregel anhand der beiden Abbildungen \maabbeledisp {f} {\R^3} {\R^2 } {\left( u , \, v , \, w \right)} {\left( uv^3w^2 , \, u^2-v^2w \right) } {} und \maabbeledisp {g} {\R^2} {\R^3 } {\left( x , \, y \right)} {\left( xy-y^2 , \, \cos x , \, x-y \right) } {} illustrieren. Diese Abbildungen sind \definitionsverweis {stetig partiell differenzierbar}{}{} und daher nach Satz 48.11 auch \definitionsverweis {total differenzierbar}{}{.} Die \definitionsverweis {Jacobi-Matrizen}{}{} zu diesen Abbildungen \zusatzklammer {in einem beliebigen Punkt
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{ P }
{ = }{ (u,v,w) }
{ \in }{ \R^3 }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} bzw.
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{Q }
{ = }{ (x,y) }
{ \in }{ \R^2 }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{}} {} {} sind
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname {Jac} (f)_P }
{ =} { \begin{pmatrix} { \frac{ \partial f_1 }{ \partial u } } (P) & { \frac{ \partial f_1 }{ \partial v } } (P) & { \frac{ \partial f_1 }{ \partial w } } (P) \\ { \frac{ \partial f_2 }{ \partial u } } (P) & { \frac{ \partial f_2 }{ \partial v } } (P) & { \frac{ \partial f_2 }{ \partial w } } (P) \end{pmatrix} }
{ =} { \begin{pmatrix} v^3w^2 & 3uv^2w^2 & 2uv^3w \\ 2u & -2vw & -v^2 \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname {Jac} (g)_Q }
{ =} { \begin{pmatrix} { \frac{ \partial g_1 }{ \partial x } } (Q) & { \frac{ \partial g_1 }{ \partial y } } (Q) \\ { \frac{ \partial g_2 }{ \partial x } } (Q) & { \frac{ \partial g_2 }{ \partial y } } (Q) \\ { \frac{ \partial g_3 }{ \partial x } } (Q) & { \frac{ \partial g_3 }{ \partial y } } (Q) \end{pmatrix} }
{ =} { \begin{pmatrix} y & x-2y \\ - \sin x & 0 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Die zusammengesetzte Abbildung
\mathl{g \circ f}{} ist
\mavergleichskettealignhandlinks
{\vergleichskettealignhandlinks
{ g(f(u,v,w)) }
{ =} { \left( uv^3w^2 { \left( u^2-v^2w \right) }- { \left( u^2-v^2w \right) }^2 , \, \cos { \left( uv^3w^2\right) } , \, uv^3w^2-u^2+v^2w \right) }
{ =} { \left( u^3v^3w^2 -uv^5 w^3-u^4-v^4w^2+2u^2v^2w , \, \cos { \left(uv^3w^2 \right) } , \, uv^3w^2-u^2+v^2w \right) }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} die zugehörige Jacobi-Matrix in
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P }
{ = }{(u,v,w) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist
\mavergleichskettedisphandlinks
{\vergleichskettedisphandlinks
{ \operatorname {Jac} (g \circ f)_P }
{ =} { \begin{pmatrix} 3u^2v^3w^2-v^5w^3-4u^3+4uv^2w & 3u^3v^2w^2-5uv^4w^3-4v^3w^2+4u^2vw & 2u^3v^3w-3uv^5w^2-2v^4w+2u^2v^2 \\ - v^3w^2 \sin { \left( uv^3w^2\right) } & - 3uv^2w^2 \sin { \left( uv^3w^2 \right) } & - 2uv^3w \sin { \left( uv^3w^2 \right) } \\v^3w^2-2u & 3uv^2w^2+2vw & 2uv^3w+v^2 \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
{ } {}
} {}{}{.} Die zusammengesetzte lineare Abbildung ist
\mavergleichskettealigndrucklinks
{\vergleichskettealigndrucklinks
{ \operatorname{Jak}(g )_{ f(P)} \circ \operatorname{Jak}( f )_P }
{ =} { \operatorname{Jak}(g )_{ (uv^3w^2,u^2-v^2w)} \circ \operatorname{Jak}( f )_P }
{ =} { \begin{pmatrix} u^2-v^2w & uv^3w^2-2u^2+2v^2w \\ - \sin \left( uv^3w^2 \right) & 0 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} v^3w^2 & 3uv^2w^2 & 2uv^3w \\ 2u & -2vw & -v^2 \end{pmatrix} }
{ =} { \begin{pmatrix} { \left( u^2-v^2w \right) }v^3w^2 + { \left( uv^3w^2-2u^2+2v^2w \right) } 2u & { \left( u^2-v^2w \right) } 3uv^2w^2 - { \left( uv^3w^2-2u^2+2v^2w \right) } 2vw & { \left( u^2-v^2w \right) } 2uv^3w - { \left( uv^3w^2-2u^2+2v^2w \right) } v^2 \\ - v^3w^2 \sin { \left( uv^3w^2\right) } & - 3uv^2w^2 \sin { \left( uv^3w^2 \right) } & - 2uv^3w \sin { \left( uv^3w^2 \right) } \\v^3w^2-2u & 3uv^2w^2+2vw & 2uv^3w+v^2 \end{pmatrix} }
{ =} { \begin{pmatrix} 3u^2v^3w^2-^5w^3-4u^3+4uv^2w & 3u^3v^2w^2-5uv^4w^3-4v^3w^2+4u^2vw & 2u^3v^3w-3uv^5w^2-2v^4w+2u^2v^2 \\ - v^3w^2 \sin { \left( uv^3w^2\right) } & - 3uv^2w^2 \sin { \left( uv^3w^2 \right) } & - 2uv^3w \sin { \left( uv^3w^2 \right) } \\v^3w^2-2u & 3uv^2w^2+2vw & 2uv^3w+v^2 \end{pmatrix} }
} {}{}{.}


}






\inputbemerkung
{}
{

Es sei $I$ ein \definitionsverweis {reelles Intervall}{}{,} \mathkor {} {V} {und} {W} {} seien \definitionsverweis {euklidische Vektorräume}{}{} und es sei \maabbdisp {\gamma} {I} {V } {} eine \definitionsverweis {differenzierbare Kurve}{}{.} Es sei \maabbdisp {L} {V} {W } {} eine \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{.} In Lemma 37.10 wurde gezeigt, dass die \definitionsverweis {zusammengesetzte Abbildung}{}{} \maabbeledisp {L \circ \gamma} {I} {W } {t} { L( \gamma(t)) } {,} \zusatzklammer {ebenfalls differenzierbar ist} {} {} und dass die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (L \circ \gamma)'(t) }
{ =} { L( \gamma'(t)) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} besteht. Hier erhält man also den Richtungsvektor der zusammengesetzten Kurve, indem man den Richtungsvektor der Kurve in die lineare Abbildung einsetzt. Dies ist ein Spezialfall der Kettenregel angewendet auf \mathkor {} {\gamma} {und} {L} {.} Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \left(DL\right)_{Q} }
{ = }{ L }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} nach Proposition 48.4 und es ist nach Fakt *****
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \left(D\gamma\right)_{t} (1) }
{ = }{ \gamma'(t) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Gemäß der Kettenregel ist das totale Differential der zusammengesetzten Kurve
\mathl{L \circ \gamma}{} gleich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left(DL\right)_{\gamma(t) } \circ \left(D\gamma\right)_{t} }
{ =} { L \circ \left(D\gamma\right)_{t} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und damit ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ (L \circ \gamma)'(t) }
{ =} { \left(D( L \circ \gamma) \right)_{t} (1) }
{ =} { (\left(DL\right)_{\gamma(t) } \circ \left(D\gamma\right)_{t} )(1) }
{ =} { L ( \left(D\gamma\right)_{t}(1)) }
{ =} { L ( \gamma'(t)) }
} {} {}{.}

}






\inputbemerkung
{}
{

Es seien \mathkor {} {V} {und} {W} {} \definitionsverweis {euklidische Vektorräume}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{G }
{ \subseteq }{V }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {offene Teilmenge}{}{} und \maabbdisp {f} {G} {W } {} eine in
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P }
{ \in }{G }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \definitionsverweis {total differenzierbare Abbildung}{}{.} Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{v }
{ \in }{V }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein Vektor und \maabbeledisp {\gamma} {I} {G } {t} {P+tv } {,} die zugehörige \definitionsverweis {affin-lineare Abbildung}{}{} durch diesen Punkt \zusatzklammer {dabei sei das reelle Intervall
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{I }
{ = }{[-a,a] }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} so gewählt, dass
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{ \gamma (I) }
{ \subseteq }{ G }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{}} {} {} liegt. Die zusammengesetzte Abbildung \maabbeledisp {} {I} {W } {t} {f( \gamma (t)) } {,} wird zur Definition der \definitionsverweis {Richtungsableitung}{}{} von $f$ in $P$ in Richtung $v$ verwendet, es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( D_{v} f \right) } { \left( P \right) } }
{ =} { { \left( f \circ \gamma \right) }'(0) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Das zur Kurve
\mathl{f \circ \gamma}{} gehörige totale Differential in $0$ von $\R$ nach $W$, also
\mathl{\left(D (f \circ \gamma)\right)_{0}}{,} ist durch
\mathl{1 \mapsto { \left( f \circ \gamma \right) }'(0)}{} festgelegt. Andererseits ist nach der Kettenregel
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left(D(f \circ \gamma)\right)_{0} }
{ =} { \left(Df\right)_{\gamma(0)} \circ \left(D\gamma \right)_{0} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und somit ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{{ \left( D_{v} f \right) } { \left( P \right) } }
{ =} { { \left( f \circ \gamma \right) }'(0) }
{ =} { \left(D(f \circ \gamma)\right)_{0} (1) }
{ =} { { \left( \left(Df\right)_{\gamma(0)} \circ \left(D\gamma \right)_{0} \right) } (1) }
{ =} { \left(Df\right)_{\gamma(0)} ( \left(D\gamma \right)_{0} (1) ) }
} {
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { \left(Df\right)_{\gamma(0)} ( \gamma'(0) ) }
{ =} { \left(Df\right)_{P} (v ) }
{ } { }
{ } {}
} {}{.} Dies ergibt einen neuen Beweis für Proposition 48.9.

}

Das folgende Beispiel illustriert, dass das totale Differential unabhängig von der Wahl einer Basis ist, die partiellen Ableitungen aber nicht.




\inputbeispiel{}
{

Wir betrachten die Abbildung \maabb {f} { {\mathbb R}^3} { {\mathbb R} } {,} die durch
\mathdisp {(x,y,z) \longmapsto 2xy^2 + x^2z^3+ z^2} { }
gegeben sei. Es ist leicht die partiellen Ableitungen in jedem Punkt zu berechnen, nämlich:
\mavergleichskettedisphandlinks
{\vergleichskettedisphandlinks
{ \left( { \frac{ \partial f }{ \partial x } } , \, { \frac{ \partial f }{ \partial y } } , \, { \frac{ \partial f }{ \partial z } } \right)_{(x,y,z)} }
{ =} {\left( 2y^2 + 2xz^3 , \, 4xy , \, 3x^2z^2+ 2z \right) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Da diese alle stetig sind, haben wir nach Satz 48.11 das \definitionsverweis {totale Differential}{}{} in jedem Punkt gefunden.

Nehmen wir nun an, dass wir nur an der Restriktion dieser Funktion auf die Ebene
\mathdisp {E \subset {\mathbb R}^3, \, E = { \left\{ (x,y,z) \mid 3x+2y-5z = 0 \right\} }} { }
interessiert sind. $E$ ist also der Kern der linearen Abbildung \maabbeledisp {L} {{\mathbb R}^3} {{\mathbb R} } {(x,y,z)} {3x+2y-5z } {.} Als Kern ist $E$ selbst ein \zusatzklammer {zweidimensionaler} {} {} Vektorraum. Die Einschränkung von $f$ auf die Ebene ergibt also die Abbildung \maabbdisp {\tilde{f} = f{{|}}_E} {E} {{\mathbb R} } {.} Diese Abbildung kann man als die Komposition \maabb {} {E \subset {\mathbb R}^3} {{\mathbb R} } {} auffassen und diese ist nach der Kettenregel differenzierbar. Wenn wir die Inklusion von $E$ in ${\mathbb R}^3$ mit $N$ bezeichnen, so ist das totale Differential der Komposition in einem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P }
{ \in }{E }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gemäß der Kettenregel gerade die Abbildung \maabbdisp {\left(D\tilde{f}\right)_{P} = \left(Df\right)_{P} \circ N} {E} {{\mathbb R} } {.} Daher ergibt es hier Sinn vom totalen Differential zu sprechen.

Es ergibt allerdings keinen Sinn von partiellen Ableitungen der Abbildung \maabb {f {{|}}_E} {E} {{\mathbb R} } {} zu sprechen, da es keine natürliche Basis auf $E$ gibt und daher auch keine natürlichen Koordinaten. Es ist leicht eine Basis von $E$ zu finden und damit Koordinaten, es gibt aber keine \anfuehrung{beste Wahl}{,} und die partiellen Ableitungen sehen in jeder Basis verschieden aus.

Eine Basis von $E$ ist beispielsweise durch \mathkor {} {v_1=(0,5,2)} {und} {v_2=(5,0,3)} {} gegeben, und eine weitere durch \mathkor {} {w_1=(1,1,1)} {und} {w_2=(2,-3,0)} {.} Mit solchen Basen erhalten wir Identifikationen \maabb {} {{\mathbb R}^2} {E } {} und somit numerische Beschreibungen der Abbildung \maabb {} {{\mathbb R}^2 \cong E} {{\mathbb R} } {,} womit wir die partiellen Ableitungen bezüglich der gewählten Basen berechnen können.

In der ersten Basis ist die Identifikation gegeben durch die Abbildung
\mathdisp {(s,t) \longmapsto s v_1 + t v_2 = s(0,5,2) + t (5,0,3)=(5t,5s,2s + 3t)} { }
und dieser Ausdruck wird durch $f$ abgebildet auf
\mavergleichskettealigndrucklinks
{\vergleichskettealigndrucklinks
{ 2(5t)(5s)^2+(5t)^2(2s+3t)^3+(2s+3t)^2 }
{ =} { \zeilemitteil { 250ts^2+25 t^2(8s^3+36s^2t+ 54 st^2+ 27t^3) } {+ 4 s^2+ 9t^2 + 12st} }
{ =} { \zeilemitteil { 250ts^2 + 200s^3t^2 +900s^2t^3+1350st^4 } {+ 675 t^5+ 4s^2+9 t^2+ 12st} }
{ } { \zeilemitteil { } {} }
{ } { \zeilemitteil { } {} }
} {}{}{.} Die partiellen Ableitungen dieser Komposition \zusatzklammer {nennen wir sie $g$} {} {} bezüglich dieser Basis sind gegeben durch
\mavergleichskettedisphandlinks
{\vergleichskettedisphandlinks
{ \partial g / \partial s }
{ =} {500ts+ 600s^2 t^2+1800st^3 + 1350 t^4 + 8s + 12 t }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und
\mavergleichskettedisphandlinks
{\vergleichskettedisphandlinks
{ \partial g / \partial t }
{ =} {250s^2+ 400s^3t + 2700s^2 t^2+ 5400 s t^3+ 3375 t^4 + 18 t + 12s }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

In der zweiten Basis
\mathl{w_1=(1,1,1)}{} und
\mathl{w_2=(2,-3,0)}{} ist die Identifikation gegeben durch
\mathdisp {(r,u) \longmapsto r w_1 + u w_2 = r(1,1,1)+u(2,-3,0)=(r+2u,r-3u,r)} { }
und dieser Ausdruck wird unter $f$ abgebildet auf
\mavergleichskettealigndrucklinks
{\vergleichskettealigndrucklinks
{2(r+2u)(r-3u)^2+(r+2u)^2 r^3+ r^2 }
{ =} { \zeilemitteil {2 r^3 + 4 r^2u - 12 r^2u - 24 ru^2 } {} }
{ =} { \zeilemitteil {2r^3-8r^2u-6ru^2+36u^3+r^5+4r^4u } {} }
{ } { \zeilemitteil {} {} }
{ } { \zeilemitteil {} {} }
} {}{}{.} Die partiellen Ableitungen der Komposition \zusatzklammer {nennen wir sie $h$} {} {} bezüglich dieser Basis sind
\mavergleichskettedisphandlinks
{\vergleichskettedisphandlinks
{ \partial h / \partial r }
{ =} { 6r^2 - 16 ru -6u^2 + 5 r^4 +16 r^3u + 12 r^2u^2 + 2r }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \partial h / \partial u }
{ =} { -8 r^2 - 12 ru + 108 u^2 + 4 r^4 + 8 r^3 u }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Fazit: Koordinaten sind manchmal gut für Berechnungen, manchmal verdunklen sie aber auch den eigentlichen mathematischen Sachverhalt.


}


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