Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2019-2020)/Teil II/Vorlesung 50/latex

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\setcounter{section}{ 50 }






\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Waeller6.eps} }
\end{center}
\bildtext {Doch dann hat sie das Beste draus gemacht. Vermutlich hängt ihre Zugänglichkeit und Menschenbezogenheit auch mit ihren frühen Erfahrungen zusammen.} }

\bildlizenz { Waeller6.jpg } {} {Odatrulle} {Commons} {CC-by-sa 4.0} {}


Wir betrachten die Polynomfunktion \maabbeledisp {f} {\R^2} {\R } {(x,y)} {2 x^3-5x^2y -3y^3 -4 x^2+6xy+7x+8y-1 } {.} Offenbar ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(0,0) }
{ = }{-1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} d.h. der Wert der Funktion ist unmittelbar am konstanten Koeffizienten des Polynoms ablesbar. Ähnliches gilt für die Ableitungen an der Stelle
\mathl{(0,0)}{:} Um beispielsweise
\mathl{{ \frac{ \partial f }{ \partial x } }(0,0)}{} auszurechnen, muss man lediglich den Term
\mathl{7x}{} anschauen. Alle anderen Summanden ergeben unter der partiellen Ableitung nach $x$ direkt $0$ \zusatzklammer {wenn $x$ gar nicht vorkommt} {} {} oder einen Ausdruck der Form
\mathl{i a x^{i-1}y^{j}}{.} Da man darin
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x }
{ = }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{y }
{ = }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} einsetzt, ergibt sich immer $0$, mit der Ausnahme
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{i }
{ = }{1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{j }
{ = }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Somit ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ { \frac{ \partial f }{ \partial x } }(0,0) }
{ = }{ 7 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}

Die höheren Ableitungen sind ebenfalls \anfuehrung{direkt}{} aus den Koeffizienten ablesbar. Beispielsweise ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ \partial }{ \partial x } } { \frac{ \partial }{ \partial x } } f (0,0) }
{ =} { 2 \cdot (-4) }
{ =} { -8 }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ \partial }{ \partial x } } { \frac{ \partial }{ \partial y } } f (0,0) }
{ =} { 6 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ \partial }{ \partial x } } { \frac{ \partial }{ \partial x } } { \frac{ \partial }{ \partial x } } f (0,0) }
{ =} { 3 \cdot 2 \cdot 2 }
{ =} { 12 }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ \partial }{ \partial x } } { \frac{ \partial }{ \partial x } } { \frac{ \partial }{ \partial y } } f (0,0) }
{ =} { 2 \cdot (-5) }
{ =} { -10 }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}






\zwischenueberschrift{Die Taylor-Formel - Vorbereitungen}

Die Taylor-Entwicklung bzw. Taylor-Formel in einer Variablen, die wir im ersten Semester kennengelernt haben \zusatzklammer {siehe insbesondere Satz 17.2 und Korollar 17.3} {} {,} liefert zu einem Punkt und einer gewünschten Ordnung eine optimale Approximation in diesem Punkt einer \zusatzklammer {hinreichend oft differenzierbaren} {} {} Funktion durch ein Polynom, das Taylor-Polynom. Eine entsprechende Aussage gilt auch in mehreren Variablen. Wir beginnen mit einigen Vorbereitungen.

Zu einem Monom
\mathl{x_1^{r_1} \cdot x_2^{r_2} \cdots x_n^{r_n}}{} nennt man die Summe
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { \, r \, } }
{ \defeq} { \betrag { \, (r_1 , \ldots , r_n) \, } }
{ \defeq} { \sum_{j = 1}^n r_j }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} den \stichwort {Grad} {} des Monoms. Ein Polynom in $n$ Variablen,
\mavergleichskettedisphandlinks
{\vergleichskettedisphandlinks
{ f(x_1 , \ldots , x_n) }
{ =} {\sum_{(r_1 , \ldots , r_n) \in \N^n} a_{ (r_1 , \ldots , r_n) } x_1^{r_1} x_2^{r_2} \cdots x_n^{r_n} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} \zusatzklammer {wobei die Summe endlich ist} {} {} lässt sich entlang des Grades der beteiligten Monome anordnen, also
\mavergleichskettedisphandlinks
{\vergleichskettedisphandlinks
{ f(x_1 , \ldots , x_n) }
{ =} { \sum_{d = 0}^{e} \left( \sum_{(r_1 , \ldots , r_n) \in \N^n,\,\betrag { \, r \, } = d } a_{ (r_1 , \ldots , r_n) } x_1^{r_1} x_2^{r_2} \cdots x_n^{r_n} \right) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Für jedes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{k }
{ \in }{\N }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} kann man dies auch als
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(x_1 , \ldots , x_n) }
{ =} { T_k(x_1 , \ldots , x_n) + R_k(x_1 , \ldots , x_n) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} schreiben mit \zusatzklammer {
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{ x }
{ = }{ (x_1 , \ldots , x_n) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{}} {} {}
\mathdisp {T_k(x) = \sum_{d = 0}^{k} { \left(\sum_{(r_1 , \ldots , r_n) \in \N^n,\,\betrag { \, r \, } = d } a_{ (r_1 , \ldots , r_n) } x_1^{r_1} x_2^{r_2} \cdots x_n^{r_n}\right) }} { }
und
\mathdisp {R_k(x) = \sum_{d = k+1}^{e} { \left(\sum_{(r_1 , \ldots , r_n) \in \N^n,\,\betrag { \, r \, } = d } a_{ (r_1 , \ldots , r_n) } x_1^{r_1} x_2^{r_2} \cdots x_n^{r_n}\right) }} { . }
Für
\mathl{R_k}{} gilt dabei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{lim}_{ x \rightarrow 0 } \, { \frac{ \Vert {R_k(x)} \Vert }{ \Vert {x} \Vert^k } } }
{ =} { 0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} siehe Aufgabe 50.12. Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{k }
{ = }{1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ T_1(x) }
{ =} { a_{(0 , \ldots , 0) }+ a_{(1,0 , \ldots , 0) }x_1 + \cdots + a_{(0 , \ldots , 0,1) }x_n }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} die \definitionsverweis {affin-lineare Approximation}{}{} von $f$ im Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{0 }
{ = }{(0 , \ldots , 0) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} und dabei gilt für die Abweichung in der linearen Approximation die Beziehung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ r(x) }
{ = }{ { \frac{ R_1(x) }{ \Vert {x} \Vert } } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Im Allgemeinen liefern die Polynome
\mathl{T_k(x)}{} bessere Approximationen im Nullpunkt als die lineare Approximation, und mit
\mathl{R_k(x)}{} kann man die Abweichung kontrollieren. Entscheidend für uns ist, dass man nicht nur für Polynomfunktionen, sondern generell für hinreichend oft differenzierbare Funktionen $f$ approximierende Polynome finden und die Abweichung gut kontrollieren kann. Dies ist der Inhalt der \stichwort {Taylor-Formel für Funktionen in mehreren Variablen} {.}

Zu einem Vektor
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x }
{ = }{ (x_1 , \ldots , x_n) }
{ \in }{ \R^n }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und einem Tupel
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ r }
{ = }{ (r_1 , \ldots , r_n) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} aus natürlichen Zahlen setzt man abkürzend
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x^{r} }
{ \defeq} { x_1^{ r_1} \cdots x_n^{ r_n} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Entsprechend schreibt man für eine Polynomfunktion abkürzend
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(x_1 , \ldots , x_n) }
{ =} {\sum_{( r_1 , \ldots , r_n ) \in \N^n} a_{( r_1 , \ldots , r_n )} x_1^{ r_1} x_2^{ r_2} \cdots x_n^{ r_n} }
{ =} {\sum_{ r \in \N^n} a_{ r } x^{ r } }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Die gleiche Abkürzungsphilosophie übernimmt man für Richtungsableitungen. Wenn $V$ ein $\R$-Vektorraum ist mit einer Basis
\mathl{w_1 , \ldots , w_n}{,} so setzt man
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ D_i }
{ \defeq }{ D_{ w_i } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} und für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{r }
{ = }{(r_1 , \ldots , r_n) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} setzt man
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ D^{ r } }
{ \defeq} {D_1^{ r_1} \circ D_2^{ r_2} \circ \cdots \circ D_n^{ r_n} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Diese Bezeichnung verwendet man insbesondere im $\R^n$, versehen mit der Standardbasis und den partiellen Ableitungen. Man beachte, dass man aufgrund des Satzes von Schwarz unter gewissen Differenzierbarkeitsvoraussetzungen sämtliche Reihenfolgen von Richtungsableitungen in dieser Weise ausdrücken kann. Des weiteren definieren wir für ein Tupel
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ r }
{ = }{ (r_1 , \ldots , r_n) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die \stichwort {Fakultät} {} durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ r ! }
{ \defeq} { r_1 ! \cdots r_n ! }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \sum_{j = 1}^n r_j }
{ = }{ k }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die \stichwort {Multinomialkoeffizienten} {} \zusatzklammer {oder \stichwort {Polynomialkoeffizienten} {}} {} {} durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \binom{ k }{ r } }
{ \defeq} { { \frac{ k! }{ r! } } }
{ =} { \frac{ {k}!}{ r_1! r_2! \cdots r_{n}!} }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

Bevor wir die Taylor-Formel beweisen, die das lokale Verhalten einer Funktion in einer \anfuehrung{kleinen}{} offenen Ballumgebung eines Punktes beschreibt, wenden wir uns dem lokalen Verhalten in dem Punkt längs einer fixierten Richtung zu, wofür wir die Taylor-Formel in einer Variablen zur Verfügung haben. Zu einer Funktion \zusatzklammer {
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{G }
{ \subseteq }{V }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} $V$ euklidischer Vektorraum} {} {} \maabbdisp {f} {G} {\R } {} ist die Differenzierbarkeit im Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P }
{ \in }{G }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} in Richtung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{v }
{ \in }{V }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} äquivalent zur Differenzierbarkeit der Funktion \maabbeledisp {h} {I} {\R } {t} {h(t) = f(P+tv) } {,} für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{t }
{ = }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} wobei $I$ ein geeignetes reelles Intervall ist. Wir werden zunächst zeigen, dass eine entsprechende Beziehung auch für höhere Ableitungen gilt. D.h. die höheren Ableitungen von $h$ können als eine Kombination der höheren partiellen Ableitungen auf der durch
\mathl{P+\R v}{} gegebenen Geraden ausgerechnet werden.





\inputfaktbeweisnichtvorgefuehrt
{Mehrere Variablen/k fach stetig differenzierbar/Längs einer Geraden/Fakt}
{Satz}
{}
{

\faktsituation {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{G }
{ \subseteq }{ \R^n }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \definitionsverweis {offen}{}{,} \maabbdisp {f} {G} {\R} {}}
\faktvoraussetzung {eine $k$-mal \definitionsverweis {stetig differenzierbare Funktion}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P }
{ \in }{G }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein Punkt und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{v }
{ = }{ (v_1 , \ldots , v_n) }
{ \in }{ \R^n }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine fixierte Richtung. Es sei \maabbeledisp {h} {I} {\R } {t} {h(t) = f(P+tv) } {,} wobei $I$ ein offenes Intervall um $0$ sei mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P+tv }
{ \in }{G }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{t }
{ \in }{I }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist $h$ ebenfalls $k$-mal \definitionsverweis {stetig differenzierbar}{}{,} und es gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ h^{(k)}(t) }
{ =} { \sum_{ \betrag { \, r \, } = k } { \frac{ k! }{ r ! } } D^{ r } f (P+tv) \cdot v^{ r } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{t }
{ \in }{I }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{

Wir zeigen durch Induktion über $k$, dass
\mavergleichskettedisphandlinks
{\vergleichskettedisphandlinks
{h^{(k)}(t) }
{ =} {\sum_{ (i_1 , \ldots , i_k) \in { \{ 1 , \ldots , n \} }^k } D_{i_k} \cdots D_{i_1} f(P+ tv) \cdot v_{i_1} \cdots v_{i_k} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt. Hier wird also über jede Richtungsreihenfolge der Länge $k$ aufsummiert, später werden wir unter Verwendung des Satzes von Schwarz gleiche Summanden zusammenfassen. Für
\mathl{k=1}{} ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{h'(t) }
{ =} { { \left( D_{v} f \right) } { \left( P+tv \right) } }
{ =} { { \left( Df \right) }_{P+tv} { \left( v \right) } }
{ =} { { \left( Df \right) }_{P+tv} { \left( \sum_{j = 1}^n v_je_j \right) } }
{ =} { \sum_{j = 1}^n v_j \cdot { \left( Df \right) }_{P+tv} { \left( e_j \right) } }
} {
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} {\sum_{j = 1}^n v_j \cdot D_j f (P+tv) }
{ } {}
{ } {}
{ } {}
} {}{.}   Der Induktionsschluss ergibt sich aus
\mavergleichskettealignhandlinks
{\vergleichskettealignhandlinks
{h^{(k+1)}(t) }
{ =} {( h^{(k)} (t) )' }
{ =} { { \left( \sum_{ (i_1 , \ldots , i_k) \in { \{ 1 , \ldots , n \} }^k } D_{i_k} \cdots D_{i_1} f(P+ tv) \cdot v_{i_1} \cdots v_{i_k} \right) }' }
{ =} {\sum_{j = 1}^n D_j { \left( \sum_{ (i_1 , \ldots , i_k) \in { \{ 1 , \ldots , n \} }^k } D_{i_k} \cdots D_{i_1} f(P+ tv) \cdot v_{i_1} \cdots v_{i_k} \right) } v_j }
{ =} {\sum_{j = 1}^n { \left( \sum_{ (i_1 , \ldots , i_k) \in { \{ 1 , \ldots , n \} }^k } D_j D_{i_k} \cdots D_{i_1} f(P+ tv) \cdot v_{i_1} \cdots v_{i_k} v_j \right) } }
} {
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { \sum_{ (i_1 , \ldots , i_k,j) \in { \{ 1 , \ldots , n \} }^{k+1} } D_j D_{i_k} \cdots D_{i_1} f(P+ tv) \cdot v_{i_1} \cdots v_{i_k} v_j }
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}{}{.}\teilbeweis {}{}{}
{  Aufgrund des Satzes von Schwarz kommt es nicht auf die Reihenfolge der Richtungableitungen an, d.h. zwei Summanden in der obigen Summe stimmen überein, wenn darin die jeweiligen Richtungsableitungen gleichhäufig vorkommen. Die Anzahl der Tupel
\mathl{(i_1 , \ldots , i_k)}{} in
\mathl{{ \{ 1 , \ldots , n \} }^k}{,} bei denen die Zahl $i$ genau $r_i$-mal vorkommt, wird durch die \definitionsverweis {Polynomialkoeffizienten}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \binom { k } { r} }
{ =} {{ \frac{ k! }{ r! } } }
{ =} {{ \frac{ k! }{ r_1! \cdots r_n! } } }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} beschrieben.}
{\leerzeichen{}Daraus ergibt sich die Behauptung.}

}





\inputdefinition
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ G }
{ \subseteq }{ \R^n }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {offene}{}{} Teilmenge, \maabbdisp {f} {G} {\R } {} eine $k$-mal \definitionsverweis {stetig-differenzierbare Funktion}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P }
{ \in }{ G }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Dann heißt
\mathdisp {\sum_{ r = { \left( r_1 , \ldots , r_n \right) } ,\, \betrag { \, r \, } \leq k } { \frac{ 1 }{ r! } } D^rf(P) \cdot v^r} { }
das \definitionswort {Taylor-Polynom vom Grad}{\zusatzfussnote {Die etwas sperrige Formulierung \anfuehrung{vom Grad $\leq k$ }{} ist dem Umstand geschuldet, dass die $k$-ten Ableitungen alle $0$ sein können. In diesem Fall hat das Taylor-Polynom einen Grad
\mathl{< k}{,} enthält aber alle Informationen bis zum Grad $k$} {.} {}} $\leq k$ zu $f$ in $P$.

}

Es liegt also ein Polynom in den \zusatzklammer {verschobenen} {} {} Variablen
\mathl{v_1 , \ldots , v_n}{} vor. Der Punkt $P$ heißt \stichwort {Entwicklungspunkt} {.} Wenn $P$ der Nullpunkt ist, so schreibt man in der Regel $x_1 , \ldots , x_n$ \zusatzklammer {oder große $X_i$} {} {} statt
\mathl{v_1 , \ldots , v_n}{.} Dies ist im Normalfall unproblematisch, da man ja in die partiellen Ableitungen schon die Koordinaten eingesetzt hat. Wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P }
{ = }{ (a_1 , \ldots , a_n) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist, so schreibt man meistens
\mathl{x_i-a_i}{} statt
\mathl{v_i}{,} wobei die $x_i$ die Standardkoordinaten des $\R^n$ bezeichnen. Man spricht auch vom \stichwort {Taylor-Polynom der Ordnung} {} $k$ oder einfach vom $k$-ten Taylor-Polynom.

Das $0$-teTaylor-Polynom ist das konstante Polynom, das durch den Funktionswert
\mathl{f(P)}{} gegeben ist, das $1$-teTaylor-Polynom ist die lineare Approximation von $f$ in $P$ und das $2$-teTaylor-Polynom ist die \stichwort {quadratische Approximation} {} von $f$ in $P$.






\inputbemerkung
{}
{

Ein Polynom $f$ vom Grad $d$ stimmt mit seinem \definitionsverweis {Taylor-Polynom}{}{} vom Grad
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{k }
{ \geq }{d }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} im Nullpunkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{0 }
{ = }{ (0 , \ldots , 0) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} überein. Wegen der Additivität der Richtungsableitungen muss man dies nur für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f }
{ = }{a x_1^{r_1} \cdots x_n^{r_n} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} überprüfen. Es ist aber
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ D^r f (0) }
{ =} { D_1^{r_1} \cdots D_n^{r_n} f (0) }
{ =} { { \left( r_1! \right) } \cdots { \left( r_n! \right) } a }
{ =} { r! a }
{ } { }
} {}{}{} und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ D^s f(0) }
{ =} {0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} für jedes $n$-Tupel
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{s }
{ = }{(s_1 , \ldots , s_n) }
{ \neq }{ r }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} siehe Aufgabe 50.2.

Wenn man zu einem Polynom $f$ die Taylor-Polynome in einem Punkt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ P }
{ =} {(a_1 , \ldots , a_n) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} berechnen möchte, so kann man \zusatzklammer {neben der Berechnung der Ableitungen} {} {} auch folgendermaßen vorgehen: Man schreibt das Polynom $f$ in den Variablen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ y_i }
{ = }{ x_i-a_i }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Dazu ersetzt man in $f$ die Variablen $x_i$ durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x_i }
{ =} {x_i -a_i +a_i }
{ =} {y_i +a_i }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und rechnet dies aus, bis ein Polynom in $y_i$ dasteht. Aus diesem Polynom sind die Taylor-Polynome im Entwicklungspunkt $P$ direkt ablesbar.

}




\inputbeispiel{}
{

Wir betrachten die Funktion \maabbeledisp {f} {\R^2} {\R } {(x,y)} {e^y \sin x -3xy } {,} und wollen die Taylor-Polynome bis zur Ordnung $3$ dazu im Nullpunkt berechnen. Das \definitionsverweis {Taylor-Polynom}{}{} der Ordnung $0$ ist das konstante Nullpolynom, da
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f(0,0) }
{ = }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist. Für das Taylor-Polynom der Ordnung $1$ müssen wir die beiden partiellen Ableitungen ausrechnen. Diese sind
\mathdisp {{ \frac{ \partial f }{ \partial x } } = e^y \cos x -3y \text{ und } { \frac{ \partial f }{ \partial y } } = e^y \sin x -3x} { }
mit den Werten
\mathbed {1} {und}
{0} {}
{} {} {} {.} Daher ist $x$ die lineare Approximation zu $f$, also das Taylor-Polynom der Ordnung $1$. Für das Taylor-Polynom der Ordnung $2$ berechnen wir die zweiten Ableitungen, diese sind
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ \partial }{ \partial x } } { \frac{ \partial f }{ \partial x } } }
{ =} { - e^y \sin x }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ \partial }{ \partial y } } { \frac{ \partial f }{ \partial x } } }
{ =} { e^y \cos x -3 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ \partial }{ \partial y } } { \frac{ \partial f }{ \partial y } } }
{ =} { e^y \sin x }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Die Werte dieser zweiten partiellen Ableitungen im Nullpunkt sind der Reihe nach
\mathl{0,-2,0}{,} sodass das zweite Taylor-Polynom \zusatzklammer {also die quadratische Approximation} {} {} gleich
\mathdisp {x -2 xy} { }
ist. Für das Taylor-Polynom der Ordnung $3$ berechnen wir die dritten Ableitungen, diese sind
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ \partial }{ \partial x } } { \frac{ \partial }{ \partial x } } { \frac{ \partial f }{ \partial x } } }
{ =} { - e^y \cos x }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ \partial }{ \partial y } } { \frac{ \partial }{ \partial x } } { \frac{ \partial f }{ \partial x } } }
{ =} { - e^y \sin x }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ \partial }{ \partial y } } { \frac{ \partial }{ \partial y } } { \frac{ \partial f }{ \partial x } } }
{ =} { e^y \cos x }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ \partial }{ \partial y } } { \frac{ \partial }{ \partial y } } { \frac{ \partial f }{ \partial y } } }
{ =} {e^y \sin x }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Die Werte dieser dritten partiellen Ableitungen im Nullpunkt sind
\mathl{-1,0,1,0}{,} sodass \zusatzklammer {wegen \mathlk{(3,0)!=6}{} und \mathlk{(1,2)!=2}{}} {} {} das dritte Taylor-Polynom gleich
\mathdisp {x -2 xy - { \frac{ 1 }{ 6 } } x^3 + { \frac{ 1 }{ 2 } } xy^2} { }
ist.


}




\inputfaktbeweisnichtvorgefuehrt
{Mehrere Variablen/Taylor-Formel/Eine Richtung/Fakt}
{Satz}
{}
{

\faktsituation {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{G }
{ \subseteq }{\R^n }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \definitionsverweis {offen}{}{,} \maabbdisp {f} {G} {\R} {}}
\faktvoraussetzung {eine $(k+1)$-mal \definitionsverweis {stetig differenzierbare Funktion}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P }
{ \in }{G }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein Punkt und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{v }
{ \in }{ \R^n }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} derart, dass die Strecke von \mathkor {} {P} {nach} {P+v} {} ganz in $G$ liegt. Dann gibt es ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{c }
{ \in }{ [0,1] }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit
\mavergleichskettedisphandlinks
{\vergleichskettedisphandlinks
{ f(P+v) }
{ =} { \sum_{ \betrag { \, r \, } \leq k } { \frac{ 1 }{ r! } } D^r f(P) \cdot v^r + \sum_{ \betrag { \, r \, } = k+1 } { \frac{ 1 }{ r! } } D^r f(P+cv) \cdot v^r }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}}
\faktfolgerung {}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{

Die Funktion \maabbeledisp {h} {{]{-\delta},1+ \delta [}} {\R } {t} {h(t) = f(P+tv) } {,} \zusatzklammer {mit einem geeigneten \mathlk{\delta >0}{}} {} {} ist nach Satz 50.1
\mathl{(k+1)}{-}mal \definitionsverweis {differenzierbar}{}{.} Aufgrund der Taylor-Formel für eine Variable gibt es ein
\mathl{c \in [0,1]}{}\zusatzfussnote {Der Beweis der Taylor-Formel für eine Variable zeigt, dass $c$ zwischen den beiden beteiligten Punkten gewählt werden kann} {.} {} mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ h(1) }
{ =} { \sum_{j = 0}^k { \frac{ h^{(j)}(0) }{ j! } } + { \frac{ h^{(k+1)}(c) }{ (k+1) ! } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Wir drücken die einzelnen Summanden mit Hilfe von Satz 50.1 aus und erhalten
\mavergleichskettealignhandlinks
{\vergleichskettealignhandlinks
{f(P+v) }
{ =} {h(1) }
{ =} { \sum_{j = 0}^k { \frac{ h^{(j)}(0) }{ j! } } + { \frac{ h^{(k+1)}(c) }{ (k+1) ! } } }
{ =} { \sum_{ \betrag { \, r \, } \leq k } { \frac{ 1 }{ r ! } } D^{ r } f (P) \cdot v^{ r } + \sum_{ \betrag { \, r \, } = k+1 } { \frac{ 1 }{ r ! } } D^{ r } f (P+cv) \cdot v^{ r } }
{ } { }
} {}{}{.}

}







\zwischenueberschrift{Die Taylor-Formel}





\inputfaktbeweis
{Mehrere Variablen/Taylor-Formel/Abschätzung auf Ballumgebung/Fakt}
{Satz}
{}
{

\faktsituation {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{G }
{ \subseteq }{ \R^n }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \definitionsverweis {offen}{}{,} \maabbdisp {f} {G} {\R} {}}
\faktvoraussetzung {eine $k$-mal \definitionsverweis {stetig differenzierbare}{}{} \definitionsverweis {Funktion}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P }
{ \in }{G }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein Punkt und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \epsilon }
{ > }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} derart, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U { \left( P,\epsilon \right) } }
{ \subseteq }{G }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist.}
\faktfolgerung {Dann gilt für alle $v$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P+v }
{ \in }{ U { \left( P,\epsilon \right) } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(P+v) }
{ =} { \sum_{ \betrag { \, r \, } \leq k } { \frac{ 1 }{ r! } } D^r f(P) \cdot v^r + R_{k}(v) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} wobei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{lim}_{ v \rightarrow 0 } \, { \frac{ \Vert {R_{k}(v)} \Vert }{ \Vert {v} \Vert^{k} } } }
{ =} { 0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ist.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{

Nach Satz 50.5 gibt es zu jedem
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{v }
{ \in }{ U { \left( 0,\epsilon \right) } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein \zusatzklammer {von $v$ abhängiges} {} {}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{c }
{ \in }{[0,1] }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit
\mavergleichskettealignhandlinks
{\vergleichskettealignhandlinks
{f(P+v) }
{ =} { \sum_{ \betrag { \, r \, } \leq k-1 } { \frac{ 1 }{ r! } } D^r f(P) \cdot v^r + \sum_{ \betrag { \, r \, } = k } { \frac{ 1 }{ r! } } D^r f(P+cv) \cdot v^r }
{ =} { \sum_{ \betrag { \, r \, } \leq k } { \frac{ 1 }{ r! } } D^r f(P) \cdot v^r + \sum_{ \betrag { \, r \, } = k } { \frac{ 1 }{ r! } } { \left( D^r f(P+cv) -D^rf(P) \right) } v^r }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Die rechte Summe ist also die Abweichungsfunktion $R_k$, die wir abschätzen müssen. Wegen
\mavergleichskettealignhandlinks
{\vergleichskettealignhandlinks
{ \Vert {R_k(v)} \Vert }
{ \leq} { \sum_{ \betrag { \, r \, } = k } { \frac{ 1 }{ r! } } \Vert { D^r f(P+cv) -D^rf(P) } \Vert \cdot \Vert {v^r} \Vert }
{ =} { \sum_{ \betrag { \, r \, } = k } { \frac{ 1 }{ r! } } \Vert { D^r f(P+cv) -D^rf(P) } \Vert \cdot \betrag { v_1^{r_1} } \cdots \betrag { v_n^{r_n} } }
{ \leq} { \sum_{ \betrag { \, r \, } = k } { \frac{ 1 }{ r! } } \Vert { D^r f(P+cv) -D^rf(P) } \Vert \cdot \Vert {v } \Vert^{r_1} \cdots \Vert {v} \Vert^{r_n} }
{ =} { \sum_{ \betrag { \, r \, } = k } { \frac{ 1 }{ r! } } \Vert { D^r f(P+cv) -D^rf(P) } \Vert \cdot \Vert {v } \Vert^k }
} {}{}{} ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ \Vert {R_k(v)} \Vert }{ \Vert {v} \Vert^k } } }
{ \leq} { \sum_{ \betrag { \, r \, } = k } { \frac{ 1 }{ r! } } \Vert { D^r f(P+cv) -D^rf(P) } \Vert }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Da nach Voraussetzung die $k$-ten \definitionsverweis {Richtungsableitungen}{}{} \definitionsverweis {stetig}{}{} sind, existiert für jede einzelne Funktion
\mathl{D^r f(P+cv) -D^rf(P)}{} der Limes für
\mathl{v \rightarrow 0}{} und ist gleich $0$. Daher gilt dies auch für die Summe rechts und damit auch für den Ausdruck links.

}




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