Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021)/Teil I/Vorlesung 14/latex
\setcounter{section}{14}
\epigraph { Aus so krummem Holze, als woraus der Mensch gemacht ist, kann nichts ganz Gerades gezimmert werden. } { Immanuel Kant }
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Waeller36.jpg} }
\end{center}
\bildtext {Auch mit dem Ball spielt sie gern.} }
\bildlizenz { Waeller36.jpg } {} {Odatrulle} {Commons} {CC-by-sa 4.0} {}
\zwischenueberschrift{Differenzierbarkeit}
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Tangente2.gif} }
\end{center}
\bildtext {} }
\bildlizenz { Tangente2.gif } {} {Loveless} {Commons} {CC-by-sa 3.0} {}
In diesem Abschnitt betrachten wir Funktionen
\maabbdisp {f} {D} { \R
} {,}
wobei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{D
}
{ \subseteq }{\R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Teilmenge ist. Wir wollen erklären, wann eine solche Funktion in einem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ \in }{D
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
differenzierbar ist. Die intuitive Idee ist dabei, für einen weiteren Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \in }{D
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die \stichwort {Sekante} {} durch die beiden Punkte
\mathkor {} {(a,f(a))} {und} {(x,f(x))} {}
des Funktionsgraphen zu ziehen und dann \anfuehrung{$x$ gegen $a$ laufen zu lassen}{.} Wenn sich dieser Grenzwertprozess sinnvoll durchführen lässt, so wird aus den Sekanten eine Tangente. Dieser Grenzwertprozess wird über den Begriff des Grenzwertes einer Funktion präzise gefasst, den wir im Anschluss an die Stetigkeit eingeführt haben.
\inputdefinition
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{D
}
{ \subseteq }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Teilmenge,
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ \in }{D
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Punkt und
\maabbdisp {f} {D} {\R
} {}
eine
\definitionsverweis {Funktion}{}{.} Zu
\mathbed {x \in D} {}
{x \neq a} {}
{} {} {} {,}
heißt die Zahl
\mathdisp {\frac{ f (x )-f (a) }{ x -a }} { }
der \definitionswort {Differenzenquotient}{} von $f$ zu
\mathkor {} {a} {und} {x} {.}
}
Der Differenzenquotient ist die Steigung der Sekante am Graph durch die beiden Punkte
\mathkor {} {(a,f(a))} {und} {(x,f(x))} {.}
Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ = }{a
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist dieser Quotient
\betonung{nicht}{} definiert. Allerdings kann ein sinnvoller Limes für
\mathl{x \rightarrow a}{} existieren. Dieser repräsentiert dann die Steigung der \stichwort {Tangente} {} an $f$ im Punkt
\mathl{(a,f(a))}{}
\zusatzklammer {oder an der Stelle $a$} {} {.}
\inputdefinition
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{D
}
{ \subseteq }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Teilmenge,
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ \in }{D
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Punkt und
\maabbdisp {f} {D} {\R
} {}
eine
\definitionsverweis {Funktion}{}{.} Man sagt, dass $f$ \definitionswort {differenzierbar}{} in $a$ ist, wenn der
\definitionsverweis {Limes}{}{}
\mathdisp {\operatorname{lim}_{ x \in D \setminus \{ a \} , \, x \rightarrow a } \, \frac{ f (x )-f (a) }{ x -a }} { }
existiert. Im Fall der Existenz heißt dieser Limes der \definitionswort {Differentialquotient}{} oder die \definitionswort {Ableitung}{} von $f$ in $a$, geschrieben
\mathdisp {f'(a)} { . }
}
Die Ableitung in einem Punkt $a$ ist, falls sie existiert, ein Element in $\R$. Häufig nimmt man die Differenz
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{h
}
{ \defeq }{ x-a
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
als Parameter für den Limes des Differenzenquotienten, und lässt $h$ gegen $0$ gehen, d.h. man betrachtet
\mathdisp {\operatorname{lim}_{ h \rightarrow 0 } \, \frac{f(a+h)-f(a)}{h}} { . }
Die Bedingung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \in }{D \setminus \{a\}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
wird dann zu
\mathbed {a+h \in D} {}
{h \neq 0} {}
{} {} {} {.}
Wenn die Funktion $f$ einen eindimensionalen Bewegungsvorgang beschreibt, also eine von der Zeit abhängige Bewegung auf einer Strecke, so ist der Differenzenquotient
\mathl{{ \frac{ f(x)-f(a) }{ x-a } }}{} die
\zusatzklammer {effektive} {} {}
Durchschnittsgeschwindigkeit zwischen den Zeitpunkten
\mathkor {} {a} {und} {x} {}
und
\mathl{f'(a)}{} ist die Momentangeschwindigkeit zum Zeitpunkt $a$.
\inputbeispiel{}
{
Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ s,c
}
{ \in }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und sei
\maabbeledisp {\alpha} {\R } { \R
} {x} {sx+c
} {,}
eine
\definitionsverweis {affin-lineare Funktion}{}{.}
Zur Bestimmung der
\definitionsverweis {Ableitung}{}{}
in einem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a
}
{ \in }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
betrachtet man
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ (sx+c) - (sa+c) }{ x-a } }
}
{ =} { { \frac{ sx - sa }{ x-a } }
}
{ =} { s
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Dies ist konstant gleich $s$, so dass der Limes für $x$ gegen $a$ existiert und gleich $s$ ist. Die Ableitung in jedem Punkt existiert demnach und ist gleich $s$. Die \stichwort {Steigung} {} der affin-linearen Funktion ist also die Ableitung.
}
\inputbeispiel{}
{
Wir betrachten die
\definitionsverweis {Funktion}{}{}
\maabbeledisp {f} { \R } { \R
} {x} {x^2
} {.}
Der
\definitionsverweis {Differenzenquotient}{}{}
zu
\mathkor {} {a} {und} {a+h} {}
ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ f(a+h) -f(a) }{ h } }
}
{ =} { { \frac{ (a+h)^2 -a^2 }{ h } }
}
{ =} { { \frac{ a^2+2ah+h^2 -a^2 }{ h } }
}
{ =} { { \frac{ 2ah+h^2 }{ h } }
}
{ =} { 2a+h}
}
{}{}{.}
Der
\definitionsverweis {Limes}{}{}
davon für $h$ gegen $0$ ist $2a$. Die
\definitionsverweis {Ableitung}{}{}
von $f$ in $a$ ist daher
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f'(a)
}
{ = }{ 2a
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
\zwischenueberschrift{Lineare Approximierbarkeit}
Wir besprechen eine zur Differenzierbarkeit äquivalente Eigenschaft, die lineare Approximierbarkeit. Diese Formulierung ist in mehrfacher Hinsicht wichtig: Sie erlaubt vergleichsweise einfache Beweise für Rechenregeln für differenzierbare Funktionen, mit ihr kann man die Differenzierbarkeit durch die Stetigkeit einer Abweichungsfunktion auszudrücken, sie liefert ein Modell für Approximierbarkeit durch Polynome von höherem Grad \zusatzklammer {quadratische Approximation, Taylor-Entwicklung} {} {} und sie erlaubt eine Verallgemeinerung auf die höherdimensionale Situation\zusatzklammer {im zweiten Semester} {} {}
\inputfaktbeweis
{Differenzierbar/D in R/Linear Approximierbar/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{D
}
{ \subseteq }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Teilmenge,
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ \in }{D
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Punkt und
\maabbdisp {f} {D} {\R
} {}
eine
\definitionsverweis {Funktion}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist $f$ in $a$ genau dann
\definitionsverweis {differenzierbar}{}{,}
wenn es ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ s
}
{ \in }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und eine Funktion
\maabbdisp {r} {D} { \R
} {}
gibt mit $r$
\definitionsverweis {stetig}{}{}
in $a$ und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{r(a)
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(x)
}
{ =} { f(a) + s \cdot (x-a) + r(x) (x-a)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
\teilbeweis {}{}{}
{Wenn $f$
\definitionsverweis {differenzierbar}{}{}
ist, so setzen wir
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{s
}
{ \defeq} { f'(a)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Für die Funktion $r$ muss notwendigerweise
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ r(x)
}
{ =} { \begin{cases} \frac{ f (x )-f (a) }{ x -a } - s \text{ für } x \neq a\, , \\ 0 \text{ für } x = a \, , \end{cases}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gelten, um die Bedingungen zu erfüllen. Aufgrund der Differenzierbarkeit existiert der Limes
\mavergleichskettedisphandlinks
{\vergleichskettedisphandlinks
{ \operatorname{lim}_{ x \rightarrow a , \, x \in D \setminus \{a\} } r(x)
}
{ =} { \operatorname{lim}_{ x \rightarrow a , \, x \in D \setminus \{a\} } { \left( \frac{ f (x )-f (a) }{ x -a } - s \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
und hat den Wert $0$. Dies bedeutet, dass $r$ in $a$ stetig ist.}
{}
\teilbeweis {}{}{}
{Wenn umgekehrt
\mathkor {} {s} {und} {r} {}
mit den angegebenen Eigenschaften existieren, so gilt für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \neq }{a
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \frac{ f (x )-f (a) }{ x -a }
}
{ =} { s + r(x)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Da $r$ stetig in $a$ ist, muss auch der Limes links für
\mathl{x \rightarrow a}{} existieren.}
{}
Die in diesem Satz formulierte Eigenschaft, die zur Differenzierbarkeit äquivalent ist, nennt man auch die \stichwort {lineare Approximierbarkeit} {.} Die affin-lineare Funktion
\maabbeledisp {} {D} { \R
} {x} { f(a) + f'(a) (x-a)
} {,}
heißt dabei die \stichwort {affin-lineare Approximation} {.} Die durch
\mathl{f(a)}{} gegebene konstante Funktion kann man als konstante Approximation ansehen.
\inputfaktbeweis
{Differenzierbar/D in R/Stetigkeit im Punkt/Fakt}
{Korollar}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{D
}
{ \subseteq }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Teilmenge,
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ \in }{D
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Punkt und
\maabbdisp {f} {D} {\R
} {}
eine
\definitionsverweis {Funktion}{}{,}}
\faktvoraussetzung {die im Punkt $a$
\definitionsverweis {differenzierbar}{}{} sei.}
\faktfolgerung {Dann ist $f$
\definitionsverweis {stetig}{}{} in $a$.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Dies folgt direkt aus Satz 14.5.
\zwischenueberschrift{Rechenregeln für differenzierbare Funktionen}
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Schema Règle produit.png} }
\end{center}
\bildtext {Eine Veranschaulichung der Produktregel: Der Zuwachs eines Flächeninhalts entspricht der Summe der beiden Produkte aus Seitenlänge und Seitenlängezuwachs. Für den infinitesimalen Zuwachs ist das Produkt der beiden Seitenlängenzuwächse irrelevant.} }
\bildlizenz { Schema Règle produit.png } {} {ThibautLienart} {Commons} {CC-by-sa 3.0} {}
\inputfaktbeweis
{Differenzierbar/D in R/Rechenregeln/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{D
}
{ \subseteq }{\R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Teilmenge,
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ \in }{D
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Punkt und
\maabbdisp {f,g} {D} { \R
} {}
\definitionsverweis {Funktionen}{}{,}
die in $a$
\definitionsverweis {differenzierbar}{}{}
seien.}
\faktuebergang {Dann gelten folgende Differenzierbarkeitsregeln.}
\faktfolgerung {\aufzaehlungfuenf{Die Summe
\mathl{f+g}{} ist differenzierbar in $a$ mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (f+g)'(a)
}
{ =} { f'(a) + g'(a)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}{Das Produkt
\mathl{f \cdot g}{} ist differenzierbar in $a$ mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (f \cdot g)'(a)
}
{ =} { f'(a) g(a) + f(a) g'(a)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}{Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ c
}
{ \in }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist auch
\mathl{cf}{} in $a$ differenzierbar mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (cf)'(a)
}
{ =} { c f'(a)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}{Wenn $g$ keine Nullstelle in $a$ besitzt, so ist
\mathl{1/g}{} differenzierbar in $a$ mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( { \frac{ 1 }{ g } } \right) }'(a)
}
{ =} { { \frac{ - g'(a) }{ (g(a))^2 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}{Wenn $g$ keine Nullstelle in $a$ besitzt, so ist
\mathl{f/g}{} differenzierbar in $a$ mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( { \frac{ f }{ g } } \right) }'(a)
}
{ =} { { \frac{ f'(a)g(a) - f(a)g'(a) }{ (g(a))^2 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
\teilbeweis {}{}{}
{(1). Wir schreiben
\mathkor {} {f} {bzw.} {g} {}
mit den in
Fakt *****
formulierten Objekten, also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(x)
}
{ =} { f(a) + s (x-a) + r(x) (x-a)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ g(x)
}
{ =} { g(a) + \tilde{s} (x-a) + \tilde{r}(x) (x-a)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Summieren ergibt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(x) + g(x)
}
{ =} { f(a) + g(a) + ( s+ \tilde{s} ) (x-a) + (r+ \tilde{r})(x) (x-a)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Dabei ist die Summe
\mathl{r+ \tilde{r}}{} wieder stetig in $a$ mit dem Wert $0$.}
{}
\teilbeweis {}{}{}
{(2). Wir gehen wieder von
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(x)
}
{ =} { f(a) + s (x-a) + r(x) (x-a)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ g(x)
}
{ =} { g(a) + \tilde{s} (x-a) + \tilde{r}(x) (x-a)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
aus und multiplizieren die beiden Gleichungen. Dies führt zu
\mavergleichskettealignhandlinks
{\vergleichskettealignhandlinks
{f(x) g(x)
}
{ =} { ( f(a) + s (x-a) + r(x) (x-a) ) ( g(a) + \tilde{s} (x-a) + \tilde{r}(x) (x-a) )
}
{ =} { f(a)g(a) + ( sg(a) + \tilde{s} f(a)) (x-a)
}
{ \, \, \, \, \,} {+ ( f(a) \tilde{r}(x) + g(a)r(x) + s \tilde{s} (x-a) \bruchhilfealign + s \tilde{r}(x) (x-a) + \tilde{s} r (x) (x-a) + r(x) \tilde{r}(x) (x-a) ) (x-a)
}
{ } {
}
}
{}
{}{.}
Aufgrund von
Lemma 10.10
für
\definitionsverweis {Limiten}{}{}
ist die aus der letzten Zeile ablesbare Funktion stetig mit dem Wert $0$ für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ = }{a
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
{}
\teilbeweis {}{}{}
{(3) folgt aus (2), da eine konstante Funktion differenzierbar mit Ableitung $0$ ist.}
{}
\teilbeweis {}{}{}
{(4). Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \frac{ \frac{1}{g(x)} - \frac{1}{g(a)} }{x-a}
}
{ =} { \frac{-1}{ g(a)g(x)} \cdot \frac{ g (x )-g (a) }{ x -a }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Da $g$ nach
Korollar 14.6
stetig in $a$ ist, konvergiert für
\mathl{x \rightarrow a}{} der linke Faktor gegen
\mathl{- \frac{1}{g(a)^2}}{} und wegen der Differenzierbarkeit von $g$ in $a$ konvergiert der rechte Faktor gegen
\mathl{g'(a)}{.}}
{}
\teilbeweis {}{}{}
{(5) folgt aus (2) und (4).}
{}
Diese Rechenregeln heißen \stichwort {Summenregel} {,} \stichwort {Produktregel} {,} \stichwort {Quotientenregel} {.} Die folgende Aussage heißt \stichwort {Kettenregel} {.}
\inputfaktbeweis
{Differenzierbar/D in R/Kettenregel/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{D,E
}
{ \subseteq }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
Teilmengen und seien
\maabbdisp {f} {D} { \R
} {}
und
\maabbdisp {g} {E} {\R
} {}
Funktionen mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f(D)
}
{ \subseteq }{ E
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
\faktvoraussetzung {Es sei $f$ in $a$
\definitionsverweis {differenzierbar}{}{}
und $g$ sei in
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ b
}
{ \defeq }{ f(a)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
differenzierbar.}
\faktfolgerung {Dann ist auch die
\definitionsverweis {Hintereinanderschaltung}{}{}
\maabbdisp {g \circ f} {D} {\R
} {}
in $a$ differenzierbar mit der
\definitionsverweis {Ableitung}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ ( g \circ f)' (a)
}
{ =} { g'(f(a)) \cdot f'(a)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Aufgrund von
Satz 14.5
kann man
\mathdisp {f ( x) = f ( a) + f' ( a) ( x - a) + r (x) ( x - a)} { }
und
\mathdisp {g ( y) = g ( f(a)) + g' ( f(a)) ( y - f(a)) + s (y) ( y - f(a))} { }
schreiben. Daher ergibt sich
\zusatzklammer {wenn man $y$ durch $f(x)$ ersetzt} {} {}
\mavergleichskettealignhandlinks
{\vergleichskettealignhandlinks
{g(f(x))
}
{ =} { g ( f(a)) + g' ( f(a)) ( f(x) - f(a)) + s (f(x)) ( f(x) - f(a))
}
{ =} { g(f(a)) +g'(f(a)) { \left( f'(a)(x-a) +r(x)(x-a) \right) } \bruchhilfealign +s(f(x)) { \left( f'(a)(x-a) +r(x)(x-a) \right) }
}
{ =} { g(f(a)) +g'(f(a)) f'(a)(x-a) \bruchhilfealign + { \left( g'(f(a)) r(x) + s(f(x)) (f'(a) +r(x) ) \right) } (x-a)
}
{ } {
}
}
{}
{}{.}
Die hier ablesbare Restfunktion
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ t(x)
}
{ \defeq} { g'(f(a)) r(x) + s(f(x)) (f'(a) +r(x) )
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist stetig in $a$ mit dem Wert $0$.
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {FunktionUmkehrTangente.svg} }
\end{center}
\bildtext {Eine Veranschaulichung für die Ableitung der Umkehrfunktion. Die Umkehrfunktion besitzt den an der Hauptdiagonalen gespiegelten Graphen und die Tangente wird mitgespiegelt.} }
\bildlizenz { FunktionUmkehrTangente.svg } {Jonathan Steinbuch} {} {Commons} {CC-by-sa 3.0} {}
\inputfaktbeweis
{Differenzierbar/D in R/Umkehrfunktion/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{D,E
}
{ \subseteq }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {Intervalle}{}{}
und sei
\maabbdisp {f} {D} {E \subseteq \R
} {}
eine
\definitionsverweis {bijektive}{}{}
\definitionsverweis {stetige Funktion}{}{}
mit der
\definitionsverweis {Umkehrfunktion}{}{}
\maabbdisp {f^{-1}} {E} {D
} {.}}
\faktvoraussetzung {Es sei $f$ in
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ \in }{D
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{} \definitionsverweis {differenzierbar}{}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f'(a)
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist auch die
\definitionsverweis {Umkehrfunktion}{}{}
$f^{-1}$ in
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b
}
{ \defeq }{f(a)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
differenzierbar mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (f^{-1})'(b)
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ f' (f^{-1} (b)) } }
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ f'(a) } }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Wir betrachten den Differenzenquotienten
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \frac{f^{-1} (y) - f^{-1} (b) }{y-b}
}
{ =} { \frac{f^{-1} (y) -a }{y-b}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und müssen zeigen, dass der Limes für
\mathl{y \rightarrow b}{} existiert und den behaupteten Wert annimmt. Es sei dazu
\mathl{{ \left( y_n \right) }_{n \in \N }}{} eine
\definitionsverweis {Folge}{}{}
in
\mathl{E \setminus \{b\}}{,} die gegen $b$
\definitionsverweis {konvergiert}{}{.}
Nach
Satz 11.7
ist $f^{-1}$ stetig. Daher konvergiert auch die Folge mit den Gliedern
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x_n
}
{ \defeq }{ f^{-1}(y_n)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gegen $a$. Wegen der Bijektivität ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x_n
}
{ \neq }{a
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle $n$. Damit ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \lim_{ n \rightarrow \infty} \frac{ f^{-1}(y_n) -a }{ y_n - b }
}
{ =} { \lim_{ n \rightarrow \infty} \frac{ x_n -a }{ f(x_n) - f(a) }
}
{ =} { { \left( \lim_{ n \rightarrow \infty} \frac{ f(x_n) - f(a) }{x_n -a} \right) }^{-1}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
wobei die rechte Seite nach Voraussetzung existiert und die zweite Gleichheit auf
Lemma 8.1 (5)
beruht.
\inputbeispiel{}
{
Die Funktion
\maabbeledisp {f^{-1}} {\R_+ } {\R_+
} {x} { \sqrt{x}
} {,}
ist die
\definitionsverweis {Umkehrfunktion}{}{}
der Funktion $f$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f(x)
}
{ = }{x^2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\zusatzklammer {eingeschränkt auf $\R_+$} {} {.}
Deren
\definitionsverweis {Ableitung}{}{}
in einem Punkt $a$ ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f'(a)
}
{ = }{2a
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Nach
Satz 14.9
gilt daher für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b
}
{ \in }{\R_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( f^{-1} \right) }' (b)
}
{ =} { \frac{1}{f'(f^{-1} (b))}
}
{ =} { \frac{1}{2 \sqrt{b} }
}
{ =} { \frac{1}{2} b^{-\frac{1}{2} }
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Im Nullpunkt ist $f^{-1}$ nicht differenzierbar.
}
\inputbeispiel{}
{
Die Funktion
\maabbeledisp {f^{-1}} {\R } {\R
} {x} { x^{\frac{1}{3} }
} {,}
ist die
\definitionsverweis {Umkehrfunktion}{}{}
der Funktion $f$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(x)
}
{ = }{x^3
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Deren Ableitung in $a$ ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f'(a)
}
{ = }{ 3a^2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
dies ist für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
von $0$ verschieden. Nach
Satz 14.9
ist für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
somit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( f^{-1} \right) }' (b)
}
{ =} { \frac{1}{f'(f^{-1} (b))}
}
{ =} { \frac{1}{3 { \left( b^{\frac{1}{3} } \right) }^{2} }
}
{ =} { \frac{1}{3} b^{-\frac{2}{3} }
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Im Nullpunkt ist $f^{-1}$ nicht differenzierbar.
}
\zwischenueberschrift{Die Ableitungsfunktion}
Bisher haben wir nur von der Differenzierbarkeit einer Funktion in einem Punkt gesprochen. Jetzt lösen wir uns von dieser punktweisen Betrachtung.
\inputdefinition
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ I }
{ \subseteq }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Intervall}{}{}
und sei
\maabbdisp {f} {I} { \R
} {}
eine
\definitionsverweis {Funktion}{}{.}
Man sagt, dass $f$ \definitionswort {differenzierbar}{} ist, wenn für jeden Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a
}
{ \in }{ I
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die
\definitionsverweis {Ableitung}{}{}
\mathl{f'(a)}{} von $f$ in $a$ existiert. Die
\definitionsverweis {Abbildung}{}{}
\maabbeledisp {f'} {I} {\R
} {x} {f'(x)
} {,}
heißt die \definitionswort {Ableitung}{}
\zusatzklammer {oder \definitionswort {Ableitungsfunktion}{}} {} {}
von $f$.
}