Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024)/Teil I/Arbeitsblatt 21/kontrolle

Übungsaufgaben

Aufgabe Referenznummer erstellen

In einer Familie leben ${}M,P,S$ und ${}T$. Dabei ist ${}M$ dreimal so alt wie ${}S$ und ${}T$ zusammen, ${}M$ ist älter als ${}P$ und ${}S$ ist älter als ${}T$, wobei der Altersunterschied von ${}S$ zu ${}T$ doppelt so groß wie der von ${}M$ zu ${}P$ ist. Ferner ist ${}P$ siebenmal so alt wie ${}T$ und die Summe aller Familienmitglieder ist so alt wie die Großmutter väterlicherseits, nämlich ${}83$.

a) Stelle ein lineares Gleichungssystem auf, das die beschriebenen Verhältnisse ausdrückt.

b) Löse dieses Gleichungssystem.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Kevin zahlt für einen Winterblumenstrauß mit ${}3$ Schneeglöckchen und ${}4$ Mistelzweigen ${}2{,}50$ € und Jennifer zahlt für einen Strauß aus ${}5$ Schneeglöckchen und ${}2$ Mistelzweigen ${}2{,}30$ €. Wie viel kostet ein Strauß mit einem Schneeglöckchen und ${}11$ Mistelzweigen?

Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige, dass das lineare Gleichungssystem

${\begin{matrix}-4x+6y&=&0\\5x+8y&=&0\,\end{matrix}}$

nur die triviale Lösung ${}(0,0)$ besitzt.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Wir betrachten eine Uhr mit Stunden- und Minutenzeiger. Es ist jetzt 6 Uhr, sodass die beiden Zeiger direkt gegenüber stehen. Um wie viel Uhr stehen die beiden Zeiger zum nächsten Mal direkt gegenüber?

Aufgabe Referenznummer erstellen

Löse das lineare Gleichungssystem

${}x+y+z=0\,.$

Aufgabe Referenznummer erstellen

Löse das lineare Gleichungssystem

$x=5,\,2y=3,\,4z+w=3.$

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Löse das inhomogene Gleichungssystem

${\begin{matrix}3x&\,\,\,\,\,\,\,\,&+z&+4w&=&4\\2x&+2y&\,\,\,\,\,\,\,\,&+w&=&0\\4x&+6y&\,\,\,\,\,\,\,\,&+w&=&2\\x&+3y&+5z&\,\,\,\,\,\,\,\,&=&3\,.\end{matrix}}$

Aufgabe Referenznummer erstellen

Gibt es eine Lösung ${}(a,b,c)\in \mathbb {Q} ^{3}$ für das lineare Gleichungssystem

${}a{\begin{pmatrix}1\\2\\11\\2\end{pmatrix}}+b{\begin{pmatrix}2\\2\\12\\3\end{pmatrix}}+c{\begin{pmatrix}3\\1\\20\\7\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\2\\20\\5\end{pmatrix}}\,$

aus Beispiel 21.1?

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Zeige, dass es zu jedem linearen Gleichungssystem über ${}\mathbb {Q}$ ein dazu äquivalentes Gleichungssystem mit der Eigenschaft gibt, dass alle Koeffizienten ganzzahlig sind.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Bringe das lineare Gleichungssystem

${}3x-4+5y=8z+7x\,,$

${}2-4x+z=2y+3x+6\,,$

${}4z-3x+2x+3=5x-11y+2z-8\,,$

in Standardgestalt und löse es.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Erstelle eine Geradengleichung für die Gerade im ${}\mathbb {R} ^{2}$, die durch die beiden Punkte ${}(2,3)$ und ${}(5,-7)$ verläuft.

Vor der nächsten Aufgabe erinnern wir an den Begriff der Sekante, der schon im Kontext der Differentialrechnung aufgetaucht ist.

Zu einer auf einer Teilmenge ${}T\subseteq \mathbb {R}$ definierten Funktion

$f\colon T\longrightarrow \mathbb {R}$

und zwei verschiedenen Punkten ${}a,b\in T$ heißt die Gerade durch ${}(a,f(a))$ und ${}(b,f(b))$ die Sekante von ${}f$ an ${}a$ und ${}b$.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme eine Geradengleichung der Sekante der Funktion

$\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto -x^{3}+x^{2}+2,$

zu den Stellen ${}3$ und ${}4$.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme eine Ebenengleichung für die Ebene im ${}\mathbb {R} ^{3}$, auf der die drei Punkte

$(1,0,0),\,\,(0,1,2)\,{\text{ und }}\,(2,3,4)$

liegen.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Finde zu einer komplexen Zahl

${}z=a+b{\mathrm {i} }\neq 0\,$

die inverse komplexe Zahl mit Hilfe eines reellen linearen Gleichungssystems mit zwei Variablen und zwei Gleichungen.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Löse über den komplexen Zahlen das lineare Gleichungssystem

${\begin{matrix}{\mathrm {i} }x&+y&+(2-{\mathrm {i} })z&=&2\\&7y&+2{\mathrm {i} }z&=&-1+3{\mathrm {i} }\\&&(2-5{\mathrm {i} })z&=&1\,.\end{matrix}}$

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}K$ der in Beispiel 4.4 eingeführte Körper mit zwei Elementen. Löse in ${}K$ das inhomogene Gleichungssystem

${\begin{matrix}x&+y&&=&1\\&y&+z&=&0\\x&+y&+z&=&0\,.\end{matrix}}$

Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige durch ein Beispiel, dass das durch die drei Gleichungen I,II,III gegebene lineare Gleichungssystem nicht zu dem durch die drei Gleichungen I-II, I-III, II-III gegebenen linearen Gleichungssystem äquivalent sein muss.

In den folgenden vier Aufgaben geht es insbesondere darum, ein für die Aufgabenstellung angemessenes Lösungsverfahren zu finden und durchzuführen.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Löse das lineare Gleichungssystem

${\begin{matrix}&+7y&+3z&\,\,\,\,\,\,\,\,&=&4\\x&\,\,\,\,\,\,\,\,&\,\,\,\,\,\,\,\,&+4w&=&9\\&-3y&-5z&\,\,\,\,\,\,\,\,&=&2\\-2x&\,\,\,\,\,\,\,\,&\,\,\,\,\,\,\,\,&+3w&=&3\,\end{matrix}}.$

Aufgabe Referenznummer erstellen

Löse das lineare Gleichungssystem

${}7y=5\,,$

${}4z=8\,,$

${}2u-3v=0\,,$

${}5w=0\,,$

${}6x-3y+2z-11u-v+5w=17\,,$

${}4u-5v=0\,.$

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Löse das lineare Gleichungssystem

${}4x-5y+7z=-3\,,$

${}-2x+4y+3z=9\,,$

${}x=-2\,.$

Aufgabe Referenznummer erstellen

Löse das lineare Gleichungssystem

${}3x-67y+14z-123u-51w=5\,,$

${}8x-11y+12z-27u-65w=51\,,$

${}66x-67y-77z-u+100w=0\,,$

${}8x-11y+12z-27u-65w=-15\,,$

${}-301x+44y+33z-31u-18w=571\,.$

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Bestimme in Abhängigkeit vom Parameter ${}a\in \mathbb {R}$ den Lösungsraum ${}L_{a}\subseteq \mathbb {R} ^{3}$ des linearen Gleichungssystems

${}5x+ay+(1-a)z=0\,,$

${}2ax+a^{2}y+3z=0\,.$

Aufgabe Referenznummer erstellen

Ein lineares Ungleichungssystem sei durch die Ungleichungen

${}x\geq 0\,,$

${}y\geq 0\,,$

${}x+y\leq 1\,,$

gegeben. Skizziere die Lösungsmenge dieses Ungleichungssystems.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei

${}a_{1}x+b_{1}y\geq c_{1}\,,$

${}a_{2}x+b_{2}y\geq c_{2}\,,$

${}a_{3}x+b3y\geq c_{3}\,,$

ein lineares Ungleichungssystem, dessen Lösungsmenge ein Dreieck sei. Wie sieht die Lösungsmenge aus, wenn man in jeder Ungleichung ${}\geq$ durch ${}\leq$ ersetzt?

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Löse das inhomogene Gleichungssystem

${\begin{matrix}x&+2y&+3z&+4w&=&1\\2x&+3y&+4z&+5w&=&7\\x&\,\,\,\,\,\,\,\,&+z&\,\,\,\,\,\,\,\,&=&9\\x&+5y&+5z&+w&=&0\,.\end{matrix}}$

Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Löse das lineare Gleichungssystem in den Variablen ${}x_{1},x_{2},\ldots ,x_{10}$, das durch die beiden Gleichungen

${}x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}+x_{5}+x_{6}+x_{7}+x_{8}+x_{9}+x_{10}=0\,$

und

${}x_{1}-x_{2}+x_{3}-x_{4}+x_{5}-x_{6}+x_{7}-x_{8}+x_{9}-x_{10}=0\,$

gegeben ist.

Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Betrachte im ${}\mathbb {R} ^{3}$ die beiden Ebenen

$E={\left\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\mid 3x+4y+5z=2\right\}}{\text{ und }}F={\left\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\mid 2x-y+3z=-1\right\}}.$

Bestimme die Schnittgerade ${}E\cap F$.

Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme eine Ebenengleichung für die Ebene im ${}\mathbb {R} ^{3}$, auf der die drei Punkte

$(1,0,2),\,\,(4,-3,2)\,{\text{ und }}\,(2,1,-1)$

liegen.

Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Wir betrachten das lineare Gleichungssystem

${\begin{matrix}2x-ay\,\,\,\,\,\,\,\,&=&-2\\ax\,\,\,\,\,\,\,\,+3z&=&3\\-{\frac {1}{3}}x+y+z&=&2\,\end{matrix}}$

über den reellen Zahlen in Abhängigkeit von ${}a\in \mathbb {R}$. Für welche ${}a$ besitzt das Gleichungssystem keine Lösung, eine Lösung oder unendlich viele Lösungen?

Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Zeige, dass ein lineares Gleichungssystem

${}ax+by=0\,$

${}cx+dy=0\,$

genau dann nur die triviale Lösung ${}(0,0)$ besitzt, wenn ${}ad-bc\neq 0$ ist.

Aufgabe (4 (2+2) Punkte)Referenznummer erstellen

Ein lineares Ungleichungssystem sei durch die Ungleichungen

${}x\geq 0\,,$

${}y+x\geq 0\,,$

${}-1-y\leq -x\,,$

${}5y-2x\geq 3\,,$

gegeben.

a) Skizziere die Lösungsmenge dieses Ungleichungssystems.

b) Bestimme die Eckpunkte der Lösungsmenge.