Kurs:Riemannsche Flächen (Osnabrück 2022)/Arbeitsblatt 15/latex
\setcounter{section}{15}
\zwischenueberschrift{Aufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Schreibe die folgenden
\definitionsverweis {holomorphen Differentialformen}{}{}
auf ${\mathbb C}$ in der Standardform
\mathl{fdz}{} mit einer holomorphen Funktion $f$ auf ${\mathbb C}$.
\aufzaehlungdrei{
\mathl{d \sin z}{,}
}{
\mathl{{ \left( z^2 -5z+ { \mathrm i} \right) } d { \left( z^3- { \mathrm i} z+5 \right) }}{,}
}{
\mathl{{ \left( \exp z \right) } d { \left( \exp z \right) }}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Schreibe die folgenden
\definitionsverweis {holomorphen Differentialformen}{}{}
auf ${\mathbb C}$ in der Form
\mathl{df}{} mit einer holomorphen Funktion $f$ auf ${\mathbb C}$.
\aufzaehlungdrei{
\mathl{\sin z d z}{,}
}{
\mathl{{ \left( z^3 +4z^2 - { \mathrm i} z +3 \right) } d z}{,}
}{
\mathl{{ \left( \exp z \right) } d { \left( z^2-z+1 \right) }}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass man die
\definitionsverweis {holomorphe Differentialform}{}{}
${ \frac{ 1 }{ z } } dz$ auf
\mathl{{\mathbb C} ^{\times}}{} nicht in der Form $df$ mit einer
\definitionsverweis {holomorphen Funktion}{}{}
$f$ auf
\mathl{{\mathbb C} ^{\times}}{} schreiben kann.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass auf einer \definitionsverweis {riemannschen Fläche}{}{} $X$ die \definitionsverweis {holomorphen Differentialformen}{}{} eine \definitionsverweis {Garbe von kommutativen Gruppen}{}{} bilden.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $X$ eine
\definitionsverweis {riemannsche Fläche}{}{.}
Zeige, dass der
\definitionsverweis {Ableitungsoperator}{}{}
\maabbeledisp {d} { \Gamma (X, {\mathcal O}_X ) } { \Gamma { \left( X, \Omega_X \right) }
} {f} {df
} {,}
folgende Eigenschaften erfüllt.
\aufzaehlungvier{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ d(f+g)
}
{ = }{ df +dg
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ d af
}
{ = }{ adf
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a
}
{ \in }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Es gilt die \stichwort {Produktregel} {}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ dfg
}
{ =} { fdg +gdf
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}{Für $f$ nullstellenfrei ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ d f^{-1}
}
{ =} { - { \frac{ 1 }{ f^2 } } df
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $X$ eine
\definitionsverweis {kompakte}{}{}
\definitionsverweis {zusammenhängende}{}{}
\definitionsverweis {riemannsche Fläche}{}{.}
Zeige, dass die
\definitionsverweis {Ableitung}{}{}
\maabbeledisp {d} { \Gamma (X, {\mathcal O}_X ) } { \Gamma { \left( X, \Omega_X \right) }
} {f} {df
} {,}
genau dann surjektiv ist, wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Gamma { \left( X, \Omega_X \right) }
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $X$ eine
\definitionsverweis {riemannsche Fläche}{}{.}
Zeige, dass das folgende kommutative Diagramm von
\definitionsverweis {Garben von kommutativen Gruppen}{}{}
auf $X$ mit exakten Zeilen und Spalten vorliegt.
\mathdisp {\begin{matrix} & & 0 & & 0 & & 0 & & \\ & & \downarrow & & \downarrow & & \downarrow & & \\ 0 & \longrightarrow & \Z & \longrightarrow & \Z & \longrightarrow & 0 & \longrightarrow & 0 \\ & & \downarrow & & \downarrow & & \downarrow & & \\ 0 & \longrightarrow & {\mathbb C} & \longrightarrow & {\mathcal O}_{ X } & \longrightarrow & \Omega_X & \longrightarrow & 0 \\ & & \downarrow & & \downarrow & & \downarrow & & \\ 0 & \longrightarrow & {\mathbb C} ^{\times} & \longrightarrow & {\mathcal O}_{ X } ^{\times} & \longrightarrow & \Omega_X \ & \longrightarrow & 0 \\ & & \downarrow & & \downarrow & & \downarrow & & \\ & & 0 & & 0 & & 0 & & \!\!\!\!\! \\ \end{matrix}} { }
Dabei steht in der mittleren Horizontalen die Sequenz aus
Lemma 15.8
und in der ersten Vertikalen die Sequenz von lokal konstanten Garben zur Exponentialsequenz aus
Beispiel 12.3
und in der mittleren Vertikalen die holomorphe Exponentialsequenz, vergleiche
Beispiel 11.14.
In der unteren Horizontalen steht rechts die logarithmische Ableitung, die eine Einheit $f$ auf $f^{-1} df$ abbildet.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass für eine höherdimensionale \definitionsverweis {komplexe Mannigfaltigkeit}{}{} die Sequenz aus Lemma 15.8 nicht exakt ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f
}
{ \in }{ {\mathbb C} [Z]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Polynom vom
\definitionsverweis {Grad}{}{}
$m$ ohne mehrfache Nullstelle und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ V
}
{ = }{ { \left\{ (z,w) \mid w^2 = f(z) \right\} }
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}^2
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die zugehörige riemannsche Wurzelfläche und $X$ die zugehörige
\definitionsverweis {kompakte}{}{}
riemannsche Fläche im Sinne von
Satz 14.11
bzw.
Lemma 14.13.
Zeige, dass die
\definitionsverweis {holomorphe Differentialformen}{}{}
${ \frac{ z^{j} dz }{ w } }$ für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ j
}
{ = }{ 0 , \ldots , \left \lfloor { \frac{ m-3 }{ 2 } } \right \rfloor
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
auf $V$, siehe
Lemma 15.10,
holomorphe Differentialformen auf ganz $X$ sind.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U,V
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {offene Mengen}{}{}
und
\maabbeledisp {\varphi} {U} {V
} {w} { \varphi(w) = z
} {,}
eine
\definitionsverweis {holomorphe Funktion}{}{.}
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \omega
}
{ = }{ fdz
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {holomorphe Differentialform}{}{}
auf $V$. Zeige, dass für den
\definitionsverweis {Rückzug}{}{}
von $\omega$ unter $\varphi$ die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi^* \omega
}
{ =} { { \left( f \circ \varphi \right) } d { \left( z \circ \varphi \right) }
}
{ =} { f( \varphi(w)) \cdot \varphi'(w) dw
}
{ } {
}
{ } {}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien $X,Y$
\definitionsverweis {riemannsche Flächen}{}{}
und sei
\maabb {\varphi} {X} {Y
} {}
eine
\definitionsverweis {holomorphe Abbildung}{}{.}
Es sei $\omega$ eine
\definitionsverweis {holomorphe Differentialform}{}{}
auf $Y$ und $f$ eine
\definitionsverweis {holomorphe Funktion}{}{}
auf $Y$. Zeige, dass für den
\definitionsverweis {Rückzug}{}{}
die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi^* (f \omega )
}
{ =} { ( f \circ \varphi ) { \left( \varphi^* \omega \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien $X,Y,Z$
\definitionsverweis {riemannsche Flächen}{}{}
und
\maabb {\varphi} {X} {Y
} {}
und
\maabb {\psi} {Y} {Z
} {}
\definitionsverweis {holomorphe Abbildungen}{}{.}
Zeige, dass für den
\definitionsverweis {Rückzug}{}{}
einer
\definitionsverweis {holomorphen Differentialform}{}{}
$\omega$ auf $Z$ die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( \psi \circ \varphi \right) }^* \omega
}
{ =} { \psi^* { \left( \varphi^* \omega \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}