Kurs:Riemannsche Flächen (Osnabrück 2022)/Arbeitsblatt 15

Aufgaben

Aufgabe

Schreibe die folgenden holomorphen Differentialformen auf ${}{\mathbb {C} }$ in der Standardform ${}fdz$ mit einer holomorphen Funktion ${}f$ auf ${}{\mathbb {C} }$.

1. ${}d\sin z$,
2. ${}{\left(z^{2}-5z+{\mathrm {i} }\right)}d{\left(z^{3}-{\mathrm {i} }z+5\right)}$,
3. ${}{\left(\exp z\right)}d{\left(\exp z\right)}$.

Aufgabe

Schreibe die folgenden holomorphen Differentialformen auf ${}{\mathbb {C} }$ in der Form ${}df$ mit einer holomorphen Funktion ${}f$ auf ${}{\mathbb {C} }$.

1. ${}\sin zdz$,
2. ${}{\left(z^{3}+4z^{2}-{\mathrm {i} }z+3\right)}dz$,
3. ${}{\left(\exp z\right)}d{\left(z^{2}-z+1\right)}$.

Aufgabe

Zeige, dass man die holomorphe Differentialform ${}{\frac {1}{z}}dz$ auf ${}{\mathbb {C} }^{\times }$ nicht in der Form ${}df$ mit einer holomorphen Funktion ${}f$ auf ${}{\mathbb {C} }^{\times }$ schreiben kann.

Aufgabe

Zeige, dass auf einer riemannschen Fläche ${}X$ die holomorphen Differentialformen eine Garbe von kommutativen Gruppen bilden.

Aufgabe

Es sei ${}X$ eine riemannsche Fläche. Zeige, dass der Ableitungsoperator

$d\colon \Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X})\longrightarrow \Gamma {\left(X,\Omega _{X}\right)},\,f\longmapsto df,$

folgende Eigenschaften erfüllt.

1. Es ist ${}d(f+g)=df+dg$.
2. Es ist ${}daf=adf$ für ${}a\in {\mathbb {C} }$.
3. Es gilt die Produktregel

   ${}dfg=fdg+gdf\,.$

4. Für ${}f$ nullstellenfrei ist

   ${}df^{-1}=-{\frac {1}{f^{2}}}df\,.$

Aufgabe

Es sei ${}X$ eine kompakte zusammenhängende riemannsche Fläche. Zeige, dass die Ableitung

$d\colon \Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X})\longrightarrow \Gamma {\left(X,\Omega _{X}\right)},\,f\longmapsto df,$

genau dann surjektiv ist, wenn ${}\Gamma {\left(X,\Omega _{X}\right)}=0$ ist.

Aufgabe

Es sei ${}X$ eine riemannsche Fläche. Zeige, dass das folgende kommutative Diagramm von Garben von kommutativen Gruppen auf ${}X$ mit exakten Zeilen und Spalten vorliegt.

${\begin{matrix}&&0&&0&&0&&\\&&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow &&\\0&\longrightarrow &\mathbb {Z} &\longrightarrow &\mathbb {Z} &\longrightarrow &0&\longrightarrow &0\\&&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow &&\\0&\longrightarrow &{\mathbb {C} }&\longrightarrow &{\mathcal {O}}_{X}&\longrightarrow &\Omega _{X}&\longrightarrow &0\\&&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow &&\\0&\longrightarrow &{\mathbb {C} }^{\times }&\longrightarrow &{\mathcal {O}}_{X}^{\times }&\longrightarrow &\Omega _{X}\ &\longrightarrow &0\\&&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow &&\\&&0&&0&&0&&\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$

Dabei steht in der mittleren Horizontalen die Sequenz aus Lemma 15.8 und in der ersten Vertikalen die Sequenz von lokal konstanten Garben zur Exponentialsequenz aus Beispiel 12.3 und in der mittleren Vertikalen die holomorphe Exponentialsequenz, vergleiche Beispiel 11.14. In der unteren Horizontalen steht rechts die logarithmische Ableitung, die eine Einheit ${}f$ auf ${}f^{-1}df$ abbildet.

Aufgabe

Zeige, dass für eine höherdimensionale komplexe Mannigfaltigkeit die Sequenz aus Lemma 15.8 nicht exakt ist.

Aufgabe *

Es sei ${}f\in {\mathbb {C} }[Z]$ ein Polynom vom Grad ${}m$ ohne mehrfache Nullstelle und sei ${}V={\left\{(z,w)\mid w^{2}=f(z)\right\}}\subseteq {\mathbb {C} }^{2}$ die zugehörige riemannsche Wurzelfläche und ${}X$ die zugehörige kompakte riemannsche Fläche im Sinne von Satz 14.11 bzw. Lemma 14.13. Zeige, dass die holomorphe Differentialformen ${}{\frac {z^{j}dz}{w}}$ für ${}j=0,\ldots ,\left\lfloor {\frac {m-3}{2}}\right\rfloor$ auf ${}V$, siehe Lemma 15.10, holomorphe Differentialformen auf ganz ${}X$ sind.

Aufgabe

Es seien ${}U,V\subseteq {\mathbb {C} }$ offene Mengen und

$\varphi \colon U\longrightarrow V,\,w\longmapsto \varphi (w)=z,$

eine holomorphe Funktion. Es sei ${}\omega =fdz$ eine holomorphe Differentialform auf ${}V$. Zeige, dass für den Rückzug von ${}\omega$ unter ${}\varphi$ die Beziehung

${}\varphi ^{*}\omega ={\left(f\circ \varphi \right)}d{\left(z\circ \varphi \right)}=f(\varphi (w))\cdot \varphi '(w)dw\,$

gilt.

Aufgabe

Es seien ${}X,Y$ riemannsche Flächen und sei ${}\varphi \colon X\rightarrow Y$ eine holomorphe Abbildung. Es sei ${}\omega$ eine holomorphe Differentialform auf ${}Y$ und ${}f$ eine holomorphe Funktion auf ${}Y$. Zeige, dass für den Rückzug die Beziehung

${}\varphi ^{*}(f\omega )=(f\circ \varphi ){\left(\varphi ^{*}\omega \right)}\,$

gilt.

Aufgabe

Es seien ${}X,Y,Z$ riemannsche Flächen und ${}\varphi \colon X\rightarrow Y$ und ${}\psi \colon Y\rightarrow Z$ holomorphe Abbildungen. Zeige, dass für den Rückzug einer holomorphen Differentialform ${}\omega$ auf ${}Z$ die Beziehung

${}{\left(\psi \circ \varphi \right)}^{*}\omega =\psi ^{*}{\left(\varphi ^{*}\omega \right)}\,$

gilt.