Kurs:Riemannsche Flächen (Osnabrück 2022)/Vorlesung 11/latex
\setcounter{section}{11}
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Triticum spelta - shock (aka).jpg} }
\end{center}
\bildtext {} }
\bildlizenz { Triticum spelta - shock (aka).jpg } {} {Aka} {Commons} {CC-by-sa 2.5} {}
Wir betrachten nun die Garbeneigenschaften, denen wir für die holomorphen Funktionen schon in Lemma 3.9 (4,5) begegnet sind.
\zwischenueberschrift{Garben}
\inputdefinition
{}
{
Es sei $X$ ein
\definitionsverweis {topologischer Raum}{}{.}
Unter einer
\definitionswort {Garbe}{}
${ \mathcal F }$ auf $X$ versteht man eine
\definitionsverweis {Prägarbe}{}{}
${ \mathcal F }$ auf $X$, die die folgenden Eigenschaften erfüllt.
\aufzaehlungzwei {Zu jeder
\definitionsverweis {offenen Überdeckung}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ = }{ \bigcup_{ i \in I} U_i
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und Elementen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{s,t
}
{ \in }{ { \mathcal F } { \left( U \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \rho_{U, U_i} (s )
}
{ = }{\rho_{U, U_i} (t )
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{i
}
{ \in }{I
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{s
}
{ = }{t
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
} {Zu jeder offenen Überdeckung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ = }{ \bigcup_{ i \in I} U_i
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und Elementen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{s_i
}
{ \in }{{ \mathcal F } { \left( U_i \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \rho_{U_i, U_i \cap U_j} { \left( s_i \right) }
}
{ = }{ \rho_{U_j, U_i \cap U_j} { \left( s_j \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{i,j
}
{ \in }{I
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt es ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{s
}
{ \in }{ { \mathcal F } { \left( U \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{s_i
}
{ = }{ \rho_{U, U_i} (s)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{i
}
{ \in }{I
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
}
Diese Eigenschaften nennt man die Serreschen Bedingungen. Die erste fordert, dass man die Übereinstimmung von Schnitten lokal auf einer offenen Überdeckung überprüfen kann, die zweite fordert, dass zusammenpassende lokale Schnitte von einem globalen Schnitt herkommen. Für die leere Menge ist
\mathl{{ \mathcal F } { \left( \emptyset \right) }}{} einelementig, was mengentheoretisch aus den Eigenschaften folgt, wenn man die Überdeckung der leeren Menge mit der leeren Indexmenge betrachtet. Stellvertretend für viele ähnliche Beispiele zeigen wir, dass die Prägarbe der Schnitte zu
\maabb {p} {Y} {X
} {}
eine Garbe auf $X$ ist.
\inputbeispiel{}
{
Wir knüpfen an
Beispiel 10.5
an, d.h. es seien
\mathkor {} {X} {und} {Y} {}
\definitionsverweis {topologische Räume}{}{}
und es sei
\maabbdisp {p} {Y} {X
} {}
eine fixierte
\definitionsverweis {stetige Abbildung}{}{,}
und es sei
\mathdisp {U \mapsto S (U,Y) = { \left\{ s:U \rightarrow p^{-1}(U) \mid s \text{ stetiger Schnitt zu } p \right\} }} { }
die
\definitionsverweis {Prägarbe}{}{}
der stetigen Schnitte in $Y$. Dies ist eine Garbe. Die erste Serresche Bedingung ist erfüllt, da zwei Schnitte übereinstimmen, wenn sie in jedem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ \in }{U
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
den gleichen Wert haben, was bei einer offenen Überdeckung lokal getestet werden kann. Die zweite Serresche Bedingung ist erfüllt, da man zu einer Familie von stetigen verträglichen Schnitten
\maabbdisp {s_i} {U_i} {Y {{|}}_{U_i}
} {}
direkt einen Schnitt
\maabbdisp {s} {U} {Y {{|}}_U
} {}
definieren kann, der diese simultan fortsetzt. Die Stetigkeit folgt, da diese lokal getestet werden kann.
}
\inputbeispiel{}
{
Zu einer
\definitionsverweis {topologischen Gruppe}{}{}
$G$ und einem
\definitionsverweis {topologischen Raum}{}{}
$X$ ist durch
\mathl{U \mapsto C^0(U,G)}{} eine
\definitionsverweis {Garbe}{}{}
gegeben, die Garbe der stetigen Abbildungen mit Werten in $G$. Es handelt sich um eine Garbe von Gruppen. Die Garbeneigenschaften beruhen darauf, dass die Gleichheit von stetigen Abbildungen punktweise getestet werden kann und dass sich stetige Abbildungen, die auf offenen Mengen definiert sind und auf den Durchschnitten übereinstimmen, zu einer globalen stetigen Abbildung fortsetzen.
}
\inputfaktbeweis
{Garbe/Schnitte/Gleichheit/Lokaler Test/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei ${ \mathcal F }$ eine
\definitionsverweis {Garbe}{}{}
auf einem
\definitionsverweis {topologischen Raum}{}{}
$X$. Es seien Schnitte
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ s,t
}
{ \in }{ { \mathcal F } { \left( X \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gegeben,}
\faktvoraussetzung {die
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{s_P
}
{ = }{t_P
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
in den
\definitionsverweis {Halmen}{}{}
${ \mathcal F }_P$ für alle Punkte
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ \in }{X
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
erfüllen.}
\faktfolgerung {Dann ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{s
}
{ = }{t
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Aufgrund der Veraussetzung gibt es zu jedem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ \in }{X
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {offene Umgebung}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ \in }{ U_P
}
{ \subseteq }{X
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \rho_{X, U_P} (s )
}
{ =} {\rho_{X, U_P} (t )
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist. Somit ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{X
}
{ =} { \bigcup_{P \in X} U_P
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und aus der ersten Garbeneigenschaft folgt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{s
}
{ = }{t
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
\zwischenueberschrift{Garbenmorpismen}
Ein Garbenmorphismus ist einfach ein \definitionsverweis {Prägarbenmorphismus}{}{} zwischen Garben. Dennoch gibt es einige gewichtige Besonderheiten, die sich auf Surjektivität, Bild, lokaler Isomorphietest beziehen.
\inputfaktbeweis
{Garbenmorphismus/Injektiv/Halm/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $X$ ein
\definitionsverweis {topologischer Raum}{}{}
und
\maabb {\varphi} { { \mathcal F } } { { \mathcal G }
} {}
ein
\definitionsverweis {Garbenmorphismus}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent.
\aufzaehlungzwei {\maabbdisp {\varphi_U} { { \mathcal F } { \left( U \right) } } { { \mathcal G } { \left( U \right) }
} {}
ist
\definitionsverweis {injektiv}{}{}
für jede offene Menge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U
}
{ \subseteq }{X
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
} {Die
\definitionsverweis {Halmabbildungen}{}{}
\maabbdisp {\varphi_P} { { \mathcal F }_P } { { \mathcal G }_P
} {}
sind injektiv für alle Punkte
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ \in }{X
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Es seien
\mathkor {} {s_P} {und} {t_P} {}
Keime aus ${ \mathcal F }_P$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi_P(s_P)
}
{ = }{ \varphi_P(t_P)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Wir können davon ausgehen, dass beide durch Schnitte
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ s,t
}
{ \in }{ { \mathcal F } { \left( U \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
auf einer offenen Umgebung $U$ von $P$ repräsentiert werden. Aufgrund der Gleichheit im Halm zu ${ \mathcal G }$ gibt es eine offene Umgebung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ U'
}
{ \subseteq }{U
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi_{U'} (s)
}
{ = }{ \varphi_{U'} (t)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
in
\mathl{{ \mathcal G } { \left( U' \right) }}{.} Aus der Voraussetzung folgt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ s
}
{ = }{ t
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
in ${ \mathcal F } { \left( U' \right) }$ und damit auch im Halm zu $P$.
Zum Beweis der Rückrichtung seien Schnitte
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{s,t
}
{ \in }{ { \mathcal F } { \left( U \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi(s)
}
{ = }{ \varphi(t)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
in ${ \mathcal G } { \left( U \right) }$ gegeben. Dann ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi(s)_P
}
{ = }{ \varphi(t)_P
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
in jedem Halm ${ \mathcal G }_P$ zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ U
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und damit nach Voraussetzung
\zusatzklammer {unter Verwendung von
Lemma 10.16} {} {}
auch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ s_P
}
{ = }{ t_P
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
in jedem Halm ${ \mathcal F }_P$. Aus
Lemma 11.4
folgt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{s
}
{ = }{t
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
\inputfaktbeweis
{Garben/Homomorphismus/Isomorphismus/Lokaler Test/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $X$ ein
\definitionsverweis {topologischer Raum}{}{}
und
\maabb {\varphi} { { \mathcal F } } { { \mathcal G }
} {}
ein
\definitionsverweis {Garbenmorphismus}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist $\varphi$ genau dann ein
\definitionsverweis {Garbenisomorphismus}{}{,}
wenn für jeden Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ \in }{X
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die
\definitionsverweis {Halmabbildung}{}{}
\maabbdisp {\varphi_P} { { \mathcal F }_P } { { \mathcal G }_P
} {}
ein Isomorphismus ist.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Die Hinrichtung ist trivial. Für die Rückrichtung ist zu zeigen, dass
\maabbdisp {} { { \mathcal F } { \left( U \right) } } { { \mathcal G } { \left( U \right) }
} {}
für jede offene Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U
}
{ \subseteq }{X
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
bijektiv ist. Ohne Einschränkung sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U
}
{ = }{X
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Die Injektivität ergibt sich aus
Lemma 11.5.
Zum Nachweis der Surjektivität sei nun
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{t
}
{ \in }{ { \mathcal G } { \left( X \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
vorgegeben. Zu jedem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ \in }{X
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt es ein eindeutiges
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{s_P
}
{ \in} { { \mathcal F }_P
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi_P(s_P)
}
{ =} { t_P
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Jedes $s_P$ wird repräsentiert durch ein
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{r_{P}
}
{ \in} { { \mathcal F } { \left( U_P \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
wobei $U_P$ eine offene Umgebung von $P$ bezeichnet. Dabei hat
\mathl{\varphi(r_{P})}{} die Eigenschaft, dass es im Halm ${ \mathcal G }_P$ mit $t_P$ übereinstimmt. Daher gibt es eine eventuell kleinere offene Umgebung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ \in }{ V_P
}
{ \subseteq }{U_P
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
auf der
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi { \left( r_P \right) } {{|}}_{V_P}
}
{ = }{ t{{|}}_{V_P}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt. Wir ersetzen $U_P$ durch $V_P$ und haben eine offene Überdeckung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{X
}
{ =} { \bigcup_{P \in X} V_P
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und Schnitte
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{r_P
}
{ \in} { { \mathcal F } { \left( V_P \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
die jeweils auf
\mathl{t {{|}}_{V_P}}{} abbilden. Wir betrachten zwei Schnitte
\mathkor {} {r_P} {und} {r_Q} {}
auf dem Durchschnitt
\mathl{V_P \cap V_Q}{.} Für einen Punkt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{Z
}
{ \in} {V_P \cap V_Q
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{(r_P)_Z
}
{ = }{(r_Q)_Z
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
da beide unter der bijektiven Abbildung $\varphi_Z$ auf $t_Z$ abgebildet werden. Nach
Lemma 11.4
folgt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ r_P {{|}}_{ V_P \cap V_Q}
}
{ =} { r_Q {{|}}_{ V_P \cap V_Q}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Somit gibt es aufgrund der zweiten Garbeneigenschaft ein globales Element
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{r
}
{ \in }{ { \mathcal F } { \left( X \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{r {{|}}_{V_P}
}
{ =} { r_P
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle $P$. Wegen der ersten Garbeneigenschaft ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\varphi(r)
}
{ = }{t
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
da dies auf den $V_P$ gilt.
Diese Aussage gilt weder für Prägarben
\zusatzklammer {man betrachte beispielsweise eine Vergarbung einer Prägarbe} {} {}
noch ohne die Voraussetzung, dass es überhaupt einen Homomorphismus gibt. Zwei Garben, die halmweise zueinander isomorph sind, müssen nicht isomorph sein. Wichtige Beispiele dazu sind lokal freie Garben, die lokal isomorph zu freien Garben sind, aber im Allgemeinen selbst nicht frei sind.
Es ist auf den ersten Blick sicher überraschend und vielleicht auch enttäuschend, dass sich bei einem Garbenmorphismus die Surjektivität auf der Ebene der offenen Mengen und auf der Halmebene unterscheiden. Was aber zunächst wie ein Defizit aussieht, ist in Wirklichkeit eine Stärke der Garbentheorie, da sich in der globalen Nichtsurjektivität von halmweise surjektiven Morphismen topologische Eigenschaften des zugrunde liegenden Raumes widerspiegeln.
\inputdefinition
{}
{
Ein
\definitionsverweis {Garbenmorphismus}{}{}
\maabb {\varphi} { { \mathcal F } } { { \mathcal G }
} {}
zwischen
\definitionsverweis {Garben}{}{}
auf einem
\definitionsverweis {topologischer Raum}{}{}
$X$ heißt
\definitionswort {surjektiv}{,}
wenn für jeden Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ \in }{X
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die
\definitionsverweis {Halmabbildung}{}{}
\maabbdisp {\varphi_P} { { \mathcal F }_P } { { \mathcal G }_P
} {}
\definitionsverweis {surjektiv}{}{}
ist.
}
Diese Eigenschaft ist deutlich schwächer als die Eigenschaft, dass auf jeder offenen Menge eine surjektive Abbildung vorliegt.
\inputbeispiel{}
{
Wir betrachten den
\definitionsverweis {stetigen}{}{}
\definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{}
\maabbeledisp {\varphi} {\R} {S^1
} {t} { \left( \cos t , \, \sin t \right)
} {,}
also die periodische
\definitionsverweis {trigonometrische Parametrisierung}{}{}
des Einheitskreises. Dies induziert einen
\definitionsverweis {Garbenmorphismus}{}{}
\maabbdisp {} { C^0(-, \R)} { C^0(- , S^1)
} {}
auf jedem
\definitionsverweis {topologischen Raum}{}{}
$X$. Einer stetigen reellwertigen Funktion
\maabb {f} {U} { \R
} {}
auf
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U
}
{ \subseteq }{X
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
wird die Hintereinanderschaltung
\maabbdisp {\varphi \circ f} {U} {S^1
} {}
zugeordnet. Dieser Garbenmorphismus ist
\definitionsverweis {surjektiv}{}{,}
da $\varphi$ lokal umkehrbar ist. Er ist aber im Allgemeinen nicht auf jeder offenen Teilmenge surjektiv. Wenn beispielsweise
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{X
}
{ = }{S^1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist, so besitzt die Identität auf $S^1$ keine stetige Liftung nach $\R$
}
\inputdefinition
{}
{
Es sei $X$ ein
\definitionsverweis {topologischer Raum}{}{}
und seien
\mathkor {} {{ \mathcal F }} {und} {{ \mathcal G }} {}
\definitionsverweis {Garben von kommutativen Gruppen}{}{}
auf $X$. Ein
\definitionsverweis {Garbenmorphismus}{}{}
\maabb {\varphi} { { \mathcal F } } { { \mathcal G }
} {}
heißt
\definitionswort {Homomorphismus von Garben kommutativer Gruppen}{,}
wenn für jede
\definitionsverweis {offene Teilmenge}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U
}
{ \subseteq }{X
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Abbildung
\maabbdisp {\varphi_U} { { \mathcal F } { \left( U \right) } } { { \mathcal G } { \left( U \right) }
} {}
ein
\definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{}
ist.
}
\inputbeispiel{}
{
Zu einem \definitionsverweis {stetigen}{}{} \definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{} \maabb {\varphi} { F } {G } {} zwischen \definitionsverweis {topologischen Gruppen}{}{} \mathkor {} {F} {und} {G} {} wird auf jedem \definitionsverweis {topologischen Raum}{}{} $X$ ein \definitionsverweis {Homomorphismus von Garben von Gruppen}{}{} festgelegt, indem auf jeder offenen Teilmenge $U$ die Zuordnung \maabbeledisp {} {C^0(U,F) } {C^0(U,G) } {f} { \varphi \circ f } {,} betrachtet wird.
}
\inputdefinition
{}
{
Es sei $X$ ein
\definitionsverweis {topologischer Raum}{}{}
und es sei
\maabb {\varphi} { { \mathcal F } } { { \mathcal G }
} {}
ein
\definitionsverweis {Homomorphismus}{}{}
von
\definitionsverweis {Garben}{}{}
von
\definitionsverweis {kommutativen Gruppen}{}{.}
Dann nennt man die durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( \operatorname{kern} \varphi \right) } (U)
}
{ \defeq} { \operatorname{kern} \varphi_U
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
definierte
\definitionsverweis {Untergarbe}{}{}
von ${ \mathcal F }$
die
\definitionswort {Kerngarbe}{}
zu $\varphi$.
}
Es handelt sich dabei genauer um eine Untergarbe von kommutativen Gruppen, d.h. für jede offene Teilmenge liegt eine Untergruppe von ${ \mathcal F }$ vor, siehe Aufgabe 11.12.
\zwischenueberschrift{Quotientengarbe}
Zu einer Untergarbe
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ { \mathcal F }
}
{ \subseteq }{ { \mathcal G }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
von
\definitionsverweis {Garben von kommutativen Gruppen}{}{}
auf einem
\definitionsverweis {topologischen Raum}{}{}
$X$ hätte man gerne eine Quotientengarbe
\mathl{{ \mathcal G } / { \mathcal F }}{,} wie es zu einer Untergruppe einer kommutativen Gruppe eine wohldefinierte Restklassengruppe gibt. Die naheliegende Idee, zu jeder offenen Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{ X
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Restklassengruppe
\mathl{{ \mathcal G } { \left( U \right) } / { \mathcal F } { \left( U \right) }}{} zu betrachten, stößt auf dass Problem, dass diese Konstruktion zwar eine Prägarbe, aber keine Garbe ist. Dieses Problem bekommt man durch das Konzept der
\definitionsverweis {Vergarbung}{}{}
in den Griff. Die Vergarbung ist ein Konstruktionsprozess, der jeder Prägarbe eine Garbe zuordnet, wobei die Halme in jedem Punkt übereinstimmen. Diese Eigenschaft ist wichtiger als die genaue Konstruktion der Vergarbung.
\inputdefinition
{}
{
Zu einer
\definitionsverweis {Garbe}{}{}
${ \mathcal G }$ von
\definitionsverweis {kommutativen Gruppen}{}{}
und einer
\definitionsverweis {Untergarbe}{}{}
von Gruppen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ { \mathcal F }
}
{ \subseteq }{ { \mathcal G }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
nennt man die
\definitionsverweis {Vergarbung}{}{}
der
\definitionsverweis {Prägarbe}{}{}
\mathl{U \mapsto { \mathcal G } { \left( U \right) }/ { \mathcal F } { \left( U \right) }}{} die
\definitionswort {Quotientengarbe}{}
zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ { \mathcal F }
}
{ \subseteq }{ { \mathcal G }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
}
Die Quotientengarbe wird mit ${ \mathcal G }/ { \mathcal F }$ bezeichnet. Da vergarbt wird, muss nicht unbedingt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ { \left( { \mathcal G }/ { \mathcal F } \right) } (U)
}
{ = }{ { \mathcal G } { \left( U \right) }/ { \mathcal F } { \left( U \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gelten. Es gilt aber
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ { \left( { \mathcal G }/ { \mathcal F } \right) }_P
}
{ = }{ { \mathcal G }_P/ { \mathcal F }_P
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für jeden Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ \in }{X
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
siehe
Aufgabe 11.17.
{Garbe von Gruppen/Untergarbe/Quotientengarbe/Explizite Beschreibung/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei ${ \mathcal G }$ eine
\definitionsverweis {Garbe}{}{}
von
\definitionsverweis {kommutativen Gruppen}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ { \mathcal F }
}
{ \subseteq }{ { \mathcal G }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
einer
\definitionsverweis {Untergarbe}{}{}
von Gruppen mit der
\definitionsverweis {Quotientengarbe}{}{}
\mathl{{ \mathcal G }/ { \mathcal F }}{.}}
\faktuebergang {Dann gelten die folgenden Aussagen.}
\faktfolgerung {\aufzaehlungdrei{Jedes Element
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{s
}
{ \in }{ \Gamma { \left( X, { \mathcal G }/ { \mathcal F } \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
wird repräsentiert durch eine Familie
\mathbed {(U_i, g_i)} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {,}
wobei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{X
}
{ = }{ \bigcup_{i \in I} U_i
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine offene Überdeckung ist und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{g_i
}
{ \in }{ \Gamma { \left( U_i, { \mathcal G } \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
Schnitte sind mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{g_i {{|}}_{U_i \cap U_j} - g_j {{|}}_{U_i \cap U_j}
}
{ \in} { \Gamma { \left( U_i \cap U_j, { \mathcal F } \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
und jede solche Familie liegt ein Element in
\mathl{\Gamma { \left( X, { \mathcal G }/ { \mathcal F } \right) }}{} fest.
}{Zwei solche Familien
\mathkor {} {(U_i, g_i)} {} {(U_i, h_i)} {}
\zusatzklammer {also zur gleichen Überdeckung} {} {}
definieren genau dann das gleiche Element in
\mathl{\Gamma { \left( X, { \mathcal G }/ { \mathcal F } \right) }}{,} wenn
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{g_i -h_i
}
{ \in} { \Gamma { \left( U_i, { \mathcal F } \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle $i$ ist.
}{Zwei Familien
\mathkor {} {(U_i, g_i)} {und} {(V_j, h_j)} {}
definieren genau dann das gleiche Element in
\mathl{\Gamma { \left( X, { \mathcal G }/ { \mathcal F } \right) }}{,} wenn auf einer
\zusatzklammer {jeder} {} {}
gemeinsamen Verfeinerung der beiden Überdeckungen die Differenzen zu ${ \mathcal F }$ gehören.
}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
{ Siehe Aufgabe 11.18. }
\inputbeispiel{}
{
Es sei $X$ eine
\definitionsverweis {riemannsche Fläche}{}{.}
Wir versehen die ganzen Zahlen $\Z$ mit der
\definitionsverweis {diskreten Topologie}{}{}
und betrachten dazu auf $X$ die Garbe der stetigen Abbildungen nach $\Z$ im Sinne von
Beispiel 11.3.
Es handelt sich um eine Garbe von lokal-konstanten Abbildungen. Über den Gruppenhomomorphismus
\maabbeledisp {} { \Z} { {\mathbb C}
} {n} { 2 \pi { \mathrm i} n
} {,}
können wir diese Garbe als eine Untergarbe der Garbe der
\definitionsverweis {holomorphen Funktionen}{}{}
auf $X$ auffassen, da ja stetige lokal-konstante Funktionen insbesondere holomorph sind. In diesem Fall besitzt die
\definitionsverweis {Quotientengarbe}{}{}
\mathl{{\mathcal O}_{ X }/ 2 \pi { \mathrm i} \Z}{} eine einfachere Beschreibung, als die Definition der Quotientengarbe als Vergarbung einer Prägarbe vermuten lässt. Die Quotientengarbe ist nämlich die Garbe der holomorphen Funktionen mit Werten in
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathbb C} ^{\times}
}
{ = }{ {\mathbb C} \setminus \{0\}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Diese Garbe nennt man die Garbe der holomorphen Einheiten auf $X$ und bezeichnet sie mit ${\mathcal O}_{ X }^\times$. Die
\definitionsverweis {Exponentialfunktion}{}{}
ist eine holomorphe surjektive Funktion
\maabbdisp {\exp} { {\mathbb C} } { {\mathbb C} ^{\times}
} {,}
diese definiert im Sinne von
Beispiel 11.10
einen Garbenhomomorphismus
\maabbdisp {\exp} { {\mathcal O}_{ X } } { {\mathcal O}_{ X }^\times
} {,}
wobei eine holomorphe Funktion $f$ auf einer offenen Menge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{ X
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
auf
\mathl{\exp \circ f}{} abgebildet wird. Der
\definitionsverweis {Kern}{}{}
dieses Garbenhomomorphismus ergibt die Garbe der lokal-konstanten Funktionen mit Werten in $2 \pi { \mathrm i} \Z$, da genau diese Zahlen unter der Exponentialfunktion auf $1$ abbilden. Wir behaupten, dass der durch die Exponentialabbildung gegebene Garbenhomomorphismus
\definitionsverweis {surjektiv}{}{}
ist. Dies ist eine lokale Eigenschaft, die wir für jeden Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ X
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
nachweisen müssen. Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ U
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine offene Umgebung und sei
\maabbdisp {h} {U} { {\mathbb C} ^{\times}
} {}
eine holomorphe Funktion. Zu $h(P)$ gibt es, da die komplexe Exponentialfunktion nach
Beispiel 6.3
eine
\definitionsverweis {Überlagerung}{}{}
ist, auf einer offenen Umgebung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ h(P)
}
{ \in }{ V
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C} ^{\times}
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
einen holomorphen Schnitt
\zusatzklammer {einen lokalen Logarithmus} {} {}
\maabbdisp {s} {V} { {\mathbb C}
} {}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \exp \left( s(z) \right)
}
{ = }{ z
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ z
}
{ \in }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Auf
\mathl{h^{-1} (V)}{} ist somit $s \circ h$ eine holomorphe Funktion, die unter der Exponentialfunktion auf $h$ abbildet.
Die Exponentialfunktion ist nicht global surjektiv. Wenn man beispielsweise
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{X
}
{ = }{ {\mathbb C} ^{\times}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
setzt, so ist die globale Auswertung der Exponentialabbildung nicht surjektiv, da die Identität nicht im Bild liegt.
}
In der Theorie der riemannschen Flächen spielen neben der Strukturgarbe der holomorphen Funktionen die Garbe der invertierbaren holomorphen Funktionen \zusatzklammer {Einheitengarbe} {} {,} die Garbe der lokal-konstanten Funktionen \zusatzklammer {mit Werten in $\Z, \R, {\mathbb C}$} {} {,} die \definitionsverweis {Garbe der reell-partiell differenzierbaren Funktionen}{}{,} die Garbe der differenzierbaren Differentialformen, die Garbe der holomorphen Differentialformen, die Garbe der meromorphen Funktionen, die Garbe der Hauptteile, die Garbe der meromorphen Diffeentialformen, die Garbe der Divisoren, invertierbare Garben eine wichtige Rolle. Garben sind miteinander durch kurze exakte Sequenzen verbunden und die Beziehung zwischen lokalen und globalen Aspekten wird systematisch durch die Kohomologie der Garbe erfasst.