Kurs:Riemannsche Flächen (Osnabrück 2022)/Vorlesung 22/latex
\setcounter{section}{22}
\zwischenueberschrift{Garbenkohomologie}
Eine strukturell befriedigendere Kohomologietheorie erfordert stärkere Hilfsmittel aus der homologischen Algebra. Über injektive Auflösungen kann man zu einer Garbe ${ \mathcal F }$ von kommutativen Gruppen
kohomologische Funktoren
\mathbed {H^i(X, { \mathcal F } )} {}
{i \in \N} {}
{} {} {} {,}
definieren. Dies werden wir nicht im Einzelnen ausführen. Wichtig ist für uns, dass diese \anfuehrung{wahre Kohomologie}{} häufig über Čech-Kohomologie berechnet werden kann. Der folgende Satz fasst die wichtigsten Eigenschaften dieser Kohomologietheorie zusammen.
\inputfaktbeweis
{Topologischer Raum/Garbe/Kohomologie/Grundlegende Eigenschaften/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei $X$ ein
\definitionsverweis {topologischer Raum}{}{.}}
\faktuebergang {Dann erfüllt die
\definitionsverweis {Garbenkohomologie}{}{}
folgende Eigenschaften.}
\faktfolgerung {\aufzaehlungdrei{Die $H^n(X, -)$ sind
\zusatzklammer {für jedes
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{n
}
{ \in }{\N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}} {} {}
\definitionsverweis {additive Funktoren}{}{}
von der Kategorie der
\definitionsverweis {Garben von kommutativen Gruppen}{}{}
auf $X$ in die Kategorie der abelschen Gruppen.
}{Es liegt ein natürlicher Isomorphismus
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{H^0(X, { \mathcal G } )
}
{ \cong }{\Gamma(X, { \mathcal G } )
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
vor.
}{Zu einer kurzen exakten Garbensequenz
\mathdisp {0 \, \stackrel{ }{\longrightarrow} \, { \mathcal F } \, \stackrel{ }{ \longrightarrow} \, { \mathcal G } \, \stackrel{ }{\longrightarrow} \, { \mathcal H } \,\stackrel{ } {\longrightarrow} \, 0} { }
gibt es eine lange exakte Kohomologiesequenz
\mathdisp {0 \longrightarrow \Gamma { \left( X, { \mathcal F } \right) } \longrightarrow \Gamma { \left( X, { \mathcal G } \right) }\longrightarrow \Gamma { \left( X, { \mathcal H } \right) } \longrightarrow H^1(X,{ \mathcal F }) \longrightarrow H^1(X, { \mathcal G } ) \longrightarrow H^1(X, { \mathcal H } ) \longrightarrow H^2(X, { \mathcal F } ) \longrightarrow \ldots} { . }
}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Dies ist ein Spezialfall von Satz 24.7 (Bündel, Garben und Kohomologie (Osnabrück 2019-2020)).
\inputfaktbeweis
{Topologischer Raum/Welke Garbe/Azyklisch/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Eine
\definitionsverweis {welke Garbe}{}{}
${ \mathcal G }$ auf einem
\definitionsverweis {topologischen Raum}{}{}
$X$}
\faktfolgerung {ist
\definitionsverweis {azyklisch}{}{,}
d.h. es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{H^n(X, { \mathcal G } )
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \geq }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Nach
Lemma 23.13 (Bündel, Garben und Kohomologie (Osnabrück 2019-2020))
gibt es eine Einbettung von ${ \mathcal G }$ in eine
\definitionsverweis {injektive Garbe}{}{}
${ \mathcal I }$, wir betrachten die zugehörige kurze exakte Garbensequenz
\mathdisp {0 \, \stackrel{ }{\longrightarrow} \, { \mathcal G } \, \stackrel{ }{ \longrightarrow} \, { \mathcal I } \, \stackrel{ }{\longrightarrow} \, { \mathcal I }/ { \mathcal G } \,\stackrel{ } {\longrightarrow} \, 0} { . }
Nach
Lemma 23.16 (Bündel, Garben und Kohomologie (Osnabrück 2019-2020))
ist ${ \mathcal I }$ eine welke Garbe. Dann ist nach
Lemma 23.15 (Bündel, Garben und Kohomologie (Osnabrück 2019-2020)) (2)
auch die Quotientengarbe
\mathl{{ \mathcal I }/ { \mathcal G }}{} welk. Die lange exakte Kohomologiesequenz ergibt unter Verwendung von
Satz 24.8 (Bündel, Garben und Kohomologie (Osnabrück 2019-2020))
einerseits
\mathdisp {0 \longrightarrow \Gamma { \left( X, { \mathcal G } \right) } \longrightarrow \Gamma { \left( X, { \mathcal I } \right) } \longrightarrow \Gamma { \left( X, { \mathcal I }/{ \mathcal G } \right) } \longrightarrow H^1 (X, { \mathcal G } ) \longrightarrow 0} { }
und andererseits
\mathdisp {0 \longrightarrow H^n (X, { \mathcal I }/{ \mathcal G } ) \stackrel{\delta^n}{ \longrightarrow} H^{n+1} (X, { \mathcal G } ) \longrightarrow 0} { }
für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \geq }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Aus dem ersten Ausschnitt folgt wegen der Surjektivität
\zusatzklammer {siehe
Lemma 23.15 (Bündel, Garben und Kohomologie (Osnabrück 2019-2020)) (1)} {} {}
von
\maabbdisp {} { \Gamma { \left( X, { \mathcal I } \right) } } { \Gamma { \left( X, { \mathcal I }/ { \mathcal G } \right) }} {,}
dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{H^1(X, { \mathcal G } )
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist. Dies gilt für alle welke Garben. Daher gilt aufgrund des zweiten Ausschnittes, angewendet für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ = }{2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
auch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{H^2(X, { \mathcal G } )
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
u.s.w.
\inputfakt{Beringter Raum/Modul/Garbenkohomologie/Modulstruktur/Fakt}{Satz}{}
{
\faktsituation {Es sei
\mathl{(X, {\mathcal O}_{ X })}{} ein
\definitionsverweis {beringter Raum}{}{}
und ${ \mathcal M }$ ein
${\mathcal O}_{ X }$-\definitionsverweis {Modul}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann sind die
\definitionsverweis {Garbenkohomologien}{}{}
\mathl{H^i(X , { \mathcal M } )}{} in natürlicher Weise
$\Gamma (X, {\mathcal O}_X )$-\definitionsverweis {Moduln}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
\inputfaktbeweis
{Cech-Kohomologie/Abgeleitete Kohomologie/Endliche azyklische Überdeckung/Übereinstimmung/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei ${ \mathcal F }$ eine
\definitionsverweis {Garbe}{}{}
von
\definitionsverweis {kommutativen Gruppen}{}{}
auf einem
\definitionsverweis {topologischen Raum}{}{}
$X$ und es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{X
}
{ = }{ \bigcup_{i \in I} U_i
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {offene Überdeckung}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{H^1 (U_i, { \mathcal F } )
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{H^1 (U_i \cap U_j, { \mathcal F } )
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle $i,j$.}
\faktfolgerung {Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \check{H}^{ 1 } ( U_i,{ \mathcal F } )
}
{ =} { H^1(X, { \mathcal F } )
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ { \mathcal F }
}
{ \subseteq }{ { \mathcal I }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Einbettung in eine
\definitionsverweis {injektive Garbe}{}{}
und
\mathdisp {0 \, \stackrel{ }{\longrightarrow} \, { \mathcal F } \, \stackrel{ }{ \longrightarrow} \, { \mathcal I } \, \stackrel{ }{\longrightarrow} \, { \mathcal H } \,\stackrel{ } {\longrightarrow} \, 0} { }
die zugehörige kurze exakte Garbensequenz. Aufgrund der langen exakten Kohomologiesequenz
\zusatzklammer {siehe
Satz 22.1 (3)} {} {}
und wegen
Satz 24.8 (Bündel, Garben und Kohomologie (Osnabrück 2019-2020))
ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{H^1 ( X, { \mathcal F } )
}
{ =} { \Gamma { \left( X, { \mathcal H } \right) } / \operatorname{bild} { \left( \Gamma { \left( X, { \mathcal I } \right) } \rightarrow \Gamma { \left( X, { \mathcal H } \right) } \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Wir definieren zuerst einen Homomorphismus
\maabbdisp {} { \Gamma { \left( X, { \mathcal H } \right) } } { \check{H}^{ 1 } ( U_i, { \mathcal F } )
} {.}
Ein Schnitt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{t
}
{ \in }{ \Gamma { \left( X, { \mathcal H } \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
legt Restriktionen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{t_i
}
{ = }{t {{|}}_{U_i}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
fest. Da ${ \mathcal F }$ auf den $U_i$ keine Kohomologie besitzt, gibt es
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{s_i
}
{ \in} { \Gamma { \left( U_i, { \mathcal I } \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
die auf die $t_i$ abbilden. Die Elemente
\zusatzklammer {zu
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{i
}
{ < }{j
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}} {} {}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{r_{ij}
}
{ \defeq} { s_i -s_j
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
werden auf $0$ in
\mathl{\Gamma { \left( U_i \cap U_j, { \mathcal H } \right) }}{} abgebildet, daher ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ r_{ij}
}
{ \in} { \Gamma { \left( U_i \cap U_j, { \mathcal F } \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Für Indizes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{i
}
{ < }{j
}
{ < }{k
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ r_{ij} - r_{ik} + r_{jk}
}
{ =} { s_i -s_j - (s_i-s_k) + s_j -s_k
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
deshalb ist die Kozykelbedingung erfüllt. Somit ist die Familie
\mathl{{ \left( r_{ij} \right) }_{ i < j }}{} ein Čech-Kozykel und definiert ein Element in
\mathl{\check{H}^{ 1 } ( U_i, { \mathcal F } )}{.} Diese Zuordnung ist unabhängig von den gewählten $s_i$ und ein Gruppenhomomorphismus, siehe
Aufgabe 22.1.
Es sei nun
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{t
}
{ \in }{ \Gamma { \left( X, { \mathcal H } \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
das Bild eines globalen Elementes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{s
}
{ \in }{ \Gamma { \left( X, { \mathcal I } \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dann kann man die $s_i$ als
\mathl{s {{|}}_{U_i}}{} ansetzen und daher sind die zu $t$ konstruierten $r_{ij}$ alle gleich $0$. Ein solches Element $t$ wird also unter der angegebenen Abbildung auf $0$ abgebildet. Dies ergibt nach
Satz 47.1 (Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018))
eine Faktorisierung
\maabbdisp {} {H^1(X, { \mathcal F }) = \Gamma { \left( X, { \mathcal H } \right) } / \operatorname{bild} { \left( \Gamma { \left( X, { \mathcal I } \right) } \rightarrow \Gamma { \left( X, { \mathcal I } \right) } \right) } } { \check{H}^{ 1 } ( U_i, { \mathcal F } )
} {.}
Es sei nun umgekehrt ein erster Čech-Kozykel von ${ \mathcal F }$ gegeben, der durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( r_{ij} \right) }_{i < j}
}
{ \in} { \Gamma { \left( U_i \cap U_j, { \mathcal F } \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{r_{ij} - r_{ik} +r_{jk}
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
repräsentiert sei. Wir fassen die $r_{ij}$ in ${ \mathcal I }$ auf, und zwar als globale Elemente, was aufgrund der Welkheit von injektiven Garben möglich ist. Wir definieren
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{s_i
}
{ \defeq} { r_{i1}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
\zusatzklammer {mit
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{s_1
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}} {} {}
und fassen diese als Elemente in
\mathl{\Gamma { \left( U_i, { \mathcal I } \right) }}{} auf. Diese Schnitte erfüllen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{s_i-s_j
}
{ = }{ r_{i1} - r_{j1}
}
{ = }{ r_{ij}
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Diese Elemente $s_i$ definieren Elemente
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{t_i
}
{ \in} { \Gamma { \left( U_i, { \mathcal H } \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Da ihre Differenzen von ${ \mathcal F }$ herrühren, sind sie verträglich und definieren ein globales Element
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{t
}
{ \in} { \Gamma { \left( X, { \mathcal H } \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Dies definiert über den
\definitionsverweis {verbindenden Homomorphismus}{}{}
$\delta$ die Kohomologieklasse
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \delta(t)
}
{ \in} {H^1(X, { \mathcal F } )
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Wenn der Čech-Kozykel $r_{ij}$ durch andere Elemente
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ s_i'
}
{ \in }{\Gamma { \left( X, { \mathcal I } \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
repräsentiert werden, so sind die Elemente
\mathbed {s_i-s_i'} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {,}
wegen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (s_i-s_i')- (s_j-s_j')
}
{ =} { s_i-s_j - (s_i'-s_j')
}
{ =} { r_{ij} -r_{ij}
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
}
{}{}{}
verträglich und definieren ein globales Element in
\mathl{\Gamma { \left( X, { \mathcal I } \right) }}{.} Daher geht die Differenz der beiden Repräsentierungen in $H^1(X, { \mathcal F })$ auf $0$. Insgesamt liegt daher eine wohldefinierte Abbildung
\maabbdisp {} { \check{Z}^{ 1 } ( U_i, { \mathcal F } ) } {H^1(X, { \mathcal F }) = \Gamma { \left( X, { \mathcal H } \right) } / \operatorname{bild} { \left( \Gamma { \left( X, { \mathcal I } \right) } \rightarrow \Gamma { \left( X, { \mathcal H } \right) } \right) }
} {}
vor. Es sei nun der Čech-Kozykel so, dass er die Nullklasse in der ersten Čech-Kohomologie definiert. Dann gibt es nach Definition Elemente
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{r_i
}
{ \in }{ \Gamma { \left( U_i, { \mathcal F } \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{r_i-r_j
}
{ =} { r_{ij}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Wir fassen diese Elemente wieder als globale Elemente in ${ \mathcal I }$ auf und die $r_i$ können direkt die Rolle der $s_i$ von oben übernehmen. Dann sind die $t_i$ alle gleich $0$ und damit ist das Bild in
\mathl{H^1(X, { \mathcal F })}{} ebenfalls gleich $0$. Somit hat man eine Abbildung
\maabbdisp {} { \check{H}^{ 1 } ( U_i, { \mathcal F } ) } {H^1(X, { \mathcal F })
} {.}
Diese ist ein Gruppenhomomorphismus und invers zu der zuvor konstruierten Abbildung.
\inputfaktbeweis
{Cech-Kohomologie/Abgeleitete erste Kohomologie/Injektiv/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei ${ \mathcal F }$ eine
\definitionsverweis {Garbe}{}{}
von
\definitionsverweis {kommutativen Gruppen}{}{}
auf einem
\definitionsverweis {topologischen Raum}{}{}
$X$ und sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{X
}
{ =} { \bigcup_{i \in I} U_i
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
eine Überdeckung ${\mathfrak U}$.}
\faktfolgerung {Dann ist die Abbildung
\maabbdisp {} { \check{H}^{ 1 } ( {\mathfrak U} ,{ \mathcal F } ) } { H^1(X, { \mathcal F } )
} {}
\definitionsverweis {injektiv}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Wir schließen an den Beweis zu
Satz 22.4
an und rekapitulieren die Konstruktion der Abbildung. Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ { \mathcal F }
}
{ \subseteq }{ { \mathcal I }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Einbettung in eine
\definitionsverweis {injektive Garbe}{}{}
und
\mathdisp {0 \, \stackrel{ }{\longrightarrow} \, { \mathcal F } \, \stackrel{ }{ \longrightarrow} \, { \mathcal I } \, \stackrel{ }{\longrightarrow} \, { \mathcal H } \,\stackrel{ } {\longrightarrow} \, 0} { }
die zugehörige kurze exakte Garbensequenz. Es sei ein erster
\definitionsverweis {Čech-Kozykel}{}{}
von ${ \mathcal F }$ durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( r_{ij} \right) }_{i < j}
}
{ \in} { \Gamma { \left( U_i \cap U_j, { \mathcal F } \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{r_{ij} - r_{ik} +r_{jk}
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gegeben. Die $r_{ij}$ fassen wir in ${ \mathcal I }$ als globale Elemente auf und definieren
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{s_i
}
{ \defeq} { r_{i1}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
die wir auf $U_i$ auffassen. Diese Elemente $s_i$ definieren Elemente
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{t_i
}
{ \in} { \Gamma { \left( U_i, { \mathcal H } \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die einem globalen Element
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{t
}
{ \in} { \Gamma { \left( X, { \mathcal H } \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
entsprechen. Dieses legt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \delta(t)
}
{ \in} {H^1(X, { \mathcal F } )
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
fest und das ist das Bild der Čech-Klasse. Es sei nun
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \delta(t)
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
vorausgesetzt. Dann gibt es ein globales Element
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{s
}
{ \in }{ \Gamma { \left( X, { \mathcal I } \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
das auf $I$ abbildet. Es werden dann die
\mathl{s-s_i}{} auf $0$ abgebildet und daher ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{s-s_i
}
{ \in }{ \Gamma { \left( X, { \mathcal F } \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Daher ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{s-s_j- (s-s_i)
}
{ =} { s_i -s_j
}
{ =} { r_{i1} -r_{j1}
}
{ =} { r_{ij}
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und die Čech-Klasse ist trivial.
\inputfaktbeweis
{Cech-Kohomologie/Abgeleitete erste Kohomologie/Verfeinerung/Übereinstimmung/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei ${ \mathcal F }$ eine
\definitionsverweis {Garbe}{}{}
von
\definitionsverweis {kommutativen Gruppen}{}{}
auf einem
\definitionsverweis {topologischen Raum}{}{}
$X$.}
\faktfolgerung {Dann gibt es einen natürlichen Isomorphismus
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \check{H}^{ 1 } ( X ,{ \mathcal F } )
}
{ \cong} { H^1(X, { \mathcal F } )
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Die Injektivität wurde in
Lemma 22.5
gezeigt. Zum Nachweis der Surjektivität sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ c
}
{ \in }{ H^1(X, { \mathcal F } )
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Es sei
\mathdisp {0 \, \stackrel{ }{\longrightarrow} \, { \mathcal F } \, \stackrel{ }{ \longrightarrow} \, { \mathcal I } \, \stackrel{ }{\longrightarrow} \, { \mathcal I }/ { \mathcal F } \,\stackrel{ } {\longrightarrow} \, 0} { }
eine kurze exakte Garbensequenz mit ${ \mathcal I }$
\definitionsverweis {injektiv}{}{.}
Die Kohomologieklasse $c$ wird repräsentiert durch einen globalen Schnitt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ t
}
{ \in }{ \Gamma { \left( X , { \mathcal I }/ { \mathcal F } \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Für diesen gibt es eine offene Überdeckung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ X
}
{ =} { \bigcup_{i \in I} U_i
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und Schnitte
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ s_i
}
{ \in }{ \Gamma { \left( X , { \mathcal I } \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart, dass $s_i$ unter der Quotientenabbildung auf $s {{|}}_{U_i}$ abbildet.
Dann ist die Familie
\mathbed {s_i-s_j \in \Gamma { \left( U_i \cap U_j , { \mathcal F } \right) }} {}
{(i,j)} {}
{} {} {} {,}
ein erster
\definitionsverweis {Čech-Kozykel}{}{}
von ${ \mathcal F }$. Die zugehörige Čech-Kohomologieklasse bildet auf $c$ ab.
\inputbeispiel{}
{
Wir betrachten ein
\definitionsverweis {Gitter}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Gamma
}
{ = }{ \langle v_1,v_2 \rangle
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und die Restklassengruppe
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ T
}
{ =} { {\mathbb C} /\Gamma
}
{ \cong} { S^1 \times S^1
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Wir arbeiten mit der offenen Überdeckung zu den offenen Mengen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U_1,U_2,U_3,U_4
}
{ \subseteq }{ T
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
die aus den homöomorphen Bildern von
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \tilde{U}_1
}
{ =} { { \left\{ rv_1+sv_2 \mid - { \frac{ 1 }{ 8 } } < r < { \frac{ 5 }{ 8 } } , \, - { \frac{ 1 }{ 8 } } < s < { \frac{ 5 }{ 8 } } \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \tilde{U}_2
}
{ =} { { \left\{ rv_1+sv_2 \mid - { \frac{ 1 }{ 8 } } < r < { \frac{ 5 }{ 8 } } , \, { \frac{ 3 }{ 8 } } < s < { \frac{ 9 }{ 8 } } \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \tilde{U}_3
}
{ =} { { \left\{ rv_1+sv_2 \mid { \frac{ 3 }{ 8 } } < r < { \frac{ 9 }{ 8 } } , \, - { \frac{ 1 }{ 8 } } < s < { \frac{ 5 }{ 8 } } \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \tilde{U}_4
}
{ =} { { \left\{ rv_1+sv_2 \mid { \frac{ 3 }{ 8 } } < r < { \frac{ 9 }{ 8 } } , \, { \frac{ 3 }{ 8 } } < s < { \frac{ 9 }{ 8 } } \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
besteht. Wenn man diese Mengen in das Fundamentalparallelogramm malt, bestehen sie jeweils aus vier Teilen. Die Durchschnitte $U_i \cap U_j$ bestehen aus zwei oder aus vier disjunkten Rechtecken, es liegt eine offene Überdeckung mit der Eigenschaft aus
Satz 22.4
für die Garbe der lokal konstanten Funktionen vor. Wenn man einen Kreis durch zwei offene Kreissegmente $C_1$ und $C_2$ überdeckt, deren Durchschnitt aus zwei Intervallen besteht, und für einen weiteren Kreis die Segmente $D_1$ und $D_2$ nennt, so geht es einfach um die Produktmengen
\mathl{C_i \times D_j}{} auf dem Torus. Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ C_1 \cap C_2
}
{ =} { F_1 \uplus F_2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ D_1 \cap D_2
}
{ =} { G_1 \uplus G_2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Dann ist beispielsweise
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ C_1 \times D_1 \cap C_1 \times D_2
}
{ =} { C_1 \times { \left( D_1 \cap D_2 \right) }
}
{ =} { C_1 \times { \left( G_1 \uplus G_2 \right) }
}
{ =} { C_1 \times G_1 \uplus C_1 \times G_2
}
{ } {
}
}
{}
{}{}
und
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ C_1 \times D_1 \cap C_2 \times D_2
}
{ =} { { \left( C_1 \cap C_2 \right) } \times { \left( D_1 \cap D_2 \right) }
}
{ =} { { \left( F_1 \uplus F_2 \right) } \times { \left( G_1 \uplus G_2 \right) }
}
{ =} { F_1 \times G_1 \uplus F_1 \times G_2 \uplus F_2 \times G_1 \uplus F_2 \times G_2
}
{ } {
}
}
{}
{}{.}
Jede Kohomologieklasse für der Garbe der lokal konstanten Funktionen mit Werten in ${\mathbb C}$ wird repräsentiert als eine Summe von zwei Kohomologieklassen, die sich jeweils im Wesentlichen von einem Kreis herrührt: Auf der Überdeckung $C_1 \times S^1, C_2 \times S^1$ mit dem Wert
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a
}
{ \in }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
auf $F_1 \times S^1$ und dem Wert $0$ auf $F_2 \times S^1$ und auf der Überdeckung $S^1 \times D_1, S^1 \times D_2$ mit dem Wert
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ b
}
{ \in }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
auf $S^1 \times G_1$ und dem Wert $0$ auf $S^1 \times G_2$. Die Kohomologie rührt also von den Projektionen her. Es ist also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ H^1(T, {\mathbb C})
}
{ \cong} { {\mathbb C}^2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Wie kann man darin das Bild von $H^0 (T, \Omega_T)$ charakterisieren? Auf der oben angebenen offenen Überdeckung erhält man überall $dz$. Die holomorphe Funktion $z$ auf ${\mathbb C}$ liefert für jedes $U_i$ eine holomorphe Funktion $z_i$, die allerdings nicht zu einer globalen holomorphen Funktion zusammenkleben. Dies sieht man, wenn man das Fundamentalparallelogramm betrachtet. Wir bestimmen also $z_i$ auf dem Fundamentalparallelogramm, wobei wir mit $z$ darauf vergleichen. Die Funktion $z_1$ auf $U_1$ liefert links unten in der Tat $z$, aber auf den Umklappungen links oben die Funktion $z-v_2$, rechts unten $z-v_1$ und rechts oben $z-v_1-v_2$. Die Funktion $z_2$ ist links unten $z+v_2$, links oben $z$, rechts oben $z-v_2$ und rechts unten $z-v_1+v_2$. Die Funktion $z_3$ ist links unten $z-v_1$, links oben $z-v_1+v_2$, rechts oben $z+v_2$ und rechts unten $z$. Die Funktion $z_4$ ist links unten $z+v_1 +v_2$, links oben $z+v_1$, rechts oben $z$ und rechts unten $z +v_2$. Die Differenzen sind.
Auf
\mathl{U_1 \cap U_2}{} die Werte
\mathkor {} {0} {bzw.} {-v_2} {,}
auf
\mathl{U_1 \cap U_3}{} die Werte
\mathkor {} {0} {bzw.} {v_1} {.}
Der Durchschnitt
\mathl{U_1 \cap U_4}{} besteht aus vier Teilen, die im Parallelogramm neun Teile zerfallen. Die vier Eckteile gehören zusammen, die beiden mittleren Randteile links und rechts, die beiden mittleren Randteile oben und unten und der mittlere Teil. Die Werte von
\mathl{z_1-z_4}{} darauf sind in dieser Reihenfolge gleich
\mathl{-v_1-v_2, -v_2,-v_1 ,0}{.}
}