Kurs:Riemannsche Flächen (Osnabrück 2022)/Vorlesung 22

Garbenkohomologie

Eine strukturell befriedigendere Kohomologietheorie erfordert stärkere Hilfsmittel aus der homologischen Algebra. Über injektive Auflösungen kann man zu einer Garbe ${}{\mathcal {F}}$ von kommutativen Gruppen kohomologische Funktoren ${}H^{i}(X,{\mathcal {F}})$, ${}i\in \mathbb {N}$, definieren. Dies werden wir nicht im Einzelnen ausführen. Wichtig ist für uns, dass diese „wahre Kohomologie“ häufig über Čech-Kohomologie berechnet werden kann. Der folgende Satz fasst die wichtigsten Eigenschaften dieser Kohomologietheorie zusammen.

Satz

Es sei ${}X$ ein topologischer Raum. Dann erfüllt die Garbenkohomologie folgende Eigenschaften.

1. Die ${}H^{n}(X,-)$ sind (für jedes ${}n\in \mathbb {N}$) additive Funktoren von der Kategorie der Garben von kommutativen Gruppen auf ${}X$ in die Kategorie der abelschen Gruppen.
2. Es liegt ein natürlicher Isomorphismus ${}H^{0}(X,{\mathcal {G}})\cong \Gamma (X,{\mathcal {G}})$ vor.
3. Zu einer kurzen exakten Garbensequenz

   $0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {F}}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {G}}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {H}}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0$

   gibt es eine lange exakte Kohomologiesequenz

   $0\longrightarrow \Gamma {\left(X,{\mathcal {F}}\right)}\longrightarrow \Gamma {\left(X,{\mathcal {G}}\right)}\longrightarrow \Gamma {\left(X,{\mathcal {H}}\right)}\longrightarrow H^{1}(X,{\mathcal {F}})\longrightarrow H^{1}(X,{\mathcal {G}})\longrightarrow H^{1}(X,{\mathcal {H}})\longrightarrow H^{2}(X,{\mathcal {F}})\longrightarrow \ldots .$

Beweis

Dies ist ein Spezialfall von Satz 24.7 (Bündel, Garben und Kohomologie (Osnabrück 2019-2020)).

$\Box$

Satz

Eine welke Garbe ${}{\mathcal {G}}$ auf einem topologischen Raum ${}X$

ist azyklisch, d.h. es ist ${}H^{n}(X,{\mathcal {G}})=0$ für ${}n\geq 1$.

Beweis

Nach Lemma 23.13 (Bündel, Garben und Kohomologie (Osnabrück 2019-2020)) gibt es eine Einbettung von ${}{\mathcal {G}}$ in eine injektive Garbe ${}{\mathcal {I}}$, wir betrachten die zugehörige kurze exakte Garbensequenz

$0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {G}}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {I}}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {I}}/{\mathcal {G}}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0.$

Nach Lemma 23.16 (Bündel, Garben und Kohomologie (Osnabrück 2019-2020)) ist ${}{\mathcal {I}}$ eine welke Garbe. Dann ist nach Lemma 23.15 (Bündel, Garben und Kohomologie (Osnabrück 2019-2020))  (2) auch die Quotientengarbe ${}{\mathcal {I}}/{\mathcal {G}}$ welk. Die lange exakte Kohomologiesequenz ergibt unter Verwendung von Satz 24.8 (Bündel, Garben und Kohomologie (Osnabrück 2019-2020)) einerseits

$0\longrightarrow \Gamma {\left(X,{\mathcal {G}}\right)}\longrightarrow \Gamma {\left(X,{\mathcal {I}}\right)}\longrightarrow \Gamma {\left(X,{\mathcal {I}}/{\mathcal {G}}\right)}\longrightarrow H^{1}(X,{\mathcal {G}})\longrightarrow 0$

und andererseits

$0\longrightarrow H^{n}(X,{\mathcal {I}}/{\mathcal {G}}){\stackrel {\delta ^{n}}{\longrightarrow }}H^{n+1}(X,{\mathcal {G}})\longrightarrow 0$

für ${}n\geq 1$. Aus dem ersten Ausschnitt folgt wegen der Surjektivität (siehe Lemma 23.15 (Bündel, Garben und Kohomologie (Osnabrück 2019-2020))  (1)) von

$\Gamma {\left(X,{\mathcal {I}}\right)}\longrightarrow \Gamma {\left(X,{\mathcal {I}}/{\mathcal {G}}\right)},$

dass ${}H^{1}(X,{\mathcal {G}})=0$ ist. Dies gilt für alle welke Garben. Daher gilt aufgrund des zweiten Ausschnittes, angewendet für ${}n=2$, auch ${}H^{2}(X,{\mathcal {G}})=0$, u.s.w.

$\Box$

Satz

Es sei ${}(X,{\mathcal {O}}_{X})$ ein beringter Raum und ${}{\mathcal {M}}$ ein ${}{\mathcal {O}}_{X}$- Modul.

Dann sind die Garbenkohomologien ${}H^{i}(X,{\mathcal {M}})$ in natürlicher Weise ${}\Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X})$- Moduln.

Satz

Es sei ${}{\mathcal {F}}$ eine Garbe von kommutativen Gruppen auf einem topologischen Raum ${}X$ und es sei ${}X=\bigcup _{i\in I}U_{i}$ eine offene Überdeckung mit ${}H^{1}(U_{i},{\mathcal {F}})=0$ und ${}H^{1}(U_{i}\cap U_{j},{\mathcal {F}})=0$ für alle ${}i,j$.

Dann ist

${}{\check {H}}^{1}(U_{i},{\mathcal {F}})=H^{1}(X,{\mathcal {F}})\,.$

Beweis

Es sei ${}{\mathcal {F}}\subseteq {\mathcal {I}}$ eine Einbettung in eine injektive Garbe und

$0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {F}}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {I}}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {H}}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0$

die zugehörige kurze exakte Garbensequenz. Aufgrund der langen exakten Kohomologiesequenz (siehe Satz 22.1  (3)) und wegen Satz 24.8 (Bündel, Garben und Kohomologie (Osnabrück 2019-2020)) ist

${}H^{1}(X,{\mathcal {F}})=\Gamma {\left(X,{\mathcal {H}}\right)}/\operatorname {bild} {\left(\Gamma {\left(X,{\mathcal {I}}\right)}\rightarrow \Gamma {\left(X,{\mathcal {H}}\right)}\right)}\,.$

Wir definieren zuerst einen Homomorphismus

$\Gamma {\left(X,{\mathcal {H}}\right)}\longrightarrow {\check {H}}^{1}(U_{i},{\mathcal {F}}).$

Ein Schnitt ${}t\in \Gamma {\left(X,{\mathcal {H}}\right)}$ legt Restriktionen ${}t_{i}=t{|}_{U_{i}}$ fest. Da ${}{\mathcal {F}}$ auf den ${}U_{i}$ keine Kohomologie besitzt, gibt es

${}s_{i}\in \Gamma {\left(U_{i},{\mathcal {I}}\right)}\,,$

die auf die ${}t_{i}$ abbilden. Die Elemente (zu ${}i<j$)

${}r_{ij}:=s_{i}-s_{j}\,$

werden auf ${}0$ in ${}\Gamma {\left(U_{i}\cap U_{j},{\mathcal {H}}\right)}$ abgebildet, daher ist

${}r_{ij}\in \Gamma {\left(U_{i}\cap U_{j},{\mathcal {F}}\right)}\,.$

Für Indizes ${}i<j<k$ ist

${}r_{ij}-r_{ik}+r_{jk}=s_{i}-s_{j}-(s_{i}-s_{k})+s_{j}-s_{k}=0\,,$

deshalb ist die Kozykelbedingung erfüllt. Somit ist die Familie ${}{\left(r_{ij}\right)}_{i<j}$ ein Čech-Kozykel und definiert ein Element in ${}{\check {H}}^{1}(U_{i},{\mathcal {F}})$. Diese Zuordnung ist unabhängig von den gewählten ${}s_{i}$ und ein Gruppenhomomorphismus, siehe Aufgabe 22.1. Es sei nun ${}t\in \Gamma {\left(X,{\mathcal {H}}\right)}$ das Bild eines globalen Elementes ${}s\in \Gamma {\left(X,{\mathcal {I}}\right)}$. Dann kann man die ${}s_{i}$ als ${}s{|}_{U_{i}}$ ansetzen und daher sind die zu ${}t$ konstruierten ${}r_{ij}$ alle gleich ${}0$. Ein solches Element ${}t$ wird also unter der angegebenen Abbildung auf ${}0$ abgebildet. Dies ergibt nach Satz 47.1 (Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)) eine Faktorisierung

$H^{1}(X,{\mathcal {F}})=\Gamma {\left(X,{\mathcal {H}}\right)}/\operatorname {bild} {\left(\Gamma {\left(X,{\mathcal {I}}\right)}\rightarrow \Gamma {\left(X,{\mathcal {I}}\right)}\right)}\longrightarrow {\check {H}}^{1}(U_{i},{\mathcal {F}}).$

Es sei nun umgekehrt ein erster Čech-Kozykel von ${}{\mathcal {F}}$ gegeben, der durch

${}{\left(r_{ij}\right)}_{i<j}\in \Gamma {\left(U_{i}\cap U_{j},{\mathcal {F}}\right)}\,$

mit ${}r_{ij}-r_{ik}+r_{jk}=0$ repräsentiert sei. Wir fassen die ${}r_{ij}$ in ${}{\mathcal {I}}$ auf, und zwar als globale Elemente, was aufgrund der Welkheit von injektiven Garben möglich ist. Wir definieren

${}s_{i}:=r_{i1}\,$

(mit ${}s_{1}=0$) und fassen diese als Elemente in ${}\Gamma {\left(U_{i},{\mathcal {I}}\right)}$ auf. Diese Schnitte erfüllen ${}s_{i}-s_{j}=r_{i1}-r_{j1}=r_{ij}$. Diese Elemente ${}s_{i}$ definieren Elemente

${}t_{i}\in \Gamma {\left(U_{i},{\mathcal {H}}\right)}\,.$

Da ihre Differenzen von ${}{\mathcal {F}}$ herrühren, sind sie verträglich und definieren ein globales Element

${}t\in \Gamma {\left(X,{\mathcal {H}}\right)}\,.$

Dies definiert über den verbindenden Homomorphismus ${}\delta$ die Kohomologieklasse

${}\delta (t)\in H^{1}(X,{\mathcal {F}})\,.$

Wenn der Čech-Kozykel ${}r_{ij}$ durch andere Elemente ${}s_{i}'\in \Gamma {\left(X,{\mathcal {I}}\right)}$ repräsentiert werden, so sind die Elemente ${}s_{i}-s_{i}'$, ${}i\in I$, wegen

${}(s_{i}-s_{i}')-(s_{j}-s_{j}')=s_{i}-s_{j}-(s_{i}'-s_{j}')=r_{ij}-r_{ij}=0\,$

verträglich und definieren ein globales Element in ${}\Gamma {\left(X,{\mathcal {I}}\right)}$. Daher geht die Differenz der beiden Repräsentierungen in ${}H^{1}(X,{\mathcal {F}})$ auf ${}0$. Insgesamt liegt daher eine wohldefinierte Abbildung

${\check {Z}}^{1}(U_{i},{\mathcal {F}})\longrightarrow H^{1}(X,{\mathcal {F}})=\Gamma {\left(X,{\mathcal {H}}\right)}/\operatorname {bild} {\left(\Gamma {\left(X,{\mathcal {I}}\right)}\rightarrow \Gamma {\left(X,{\mathcal {H}}\right)}\right)}$

vor. Es sei nun der Čech-Kozykel so, dass er die Nullklasse in der ersten Čech-Kohomologie definiert. Dann gibt es nach Definition Elemente ${}r_{i}\in \Gamma {\left(U_{i},{\mathcal {F}}\right)}$ mit

${}r_{i}-r_{j}=r_{ij}\,.$

Wir fassen diese Elemente wieder als globale Elemente in ${}{\mathcal {I}}$ auf und die ${}r_{i}$ können direkt die Rolle der ${}s_{i}$ von oben übernehmen. Dann sind die ${}t_{i}$ alle gleich ${}0$ und damit ist das Bild in ${}H^{1}(X,{\mathcal {F}})$ ebenfalls gleich ${}0$. Somit hat man eine Abbildung

${\check {H}}^{1}(U_{i},{\mathcal {F}})\longrightarrow H^{1}(X,{\mathcal {F}}).$

Diese ist ein Gruppenhomomorphismus und invers zu der zuvor konstruierten Abbildung.

$\Box$

Lemma

Es sei ${}{\mathcal {F}}$ eine Garbe von kommutativen Gruppen auf einem topologischen Raum ${}X$ und sei

${}X=\bigcup _{i\in I}U_{i}\,$

eine Überdeckung ${}{\mathfrak {U}}$.

Dann ist die Abbildung

${\check {H}}^{1}({\mathfrak {U}},{\mathcal {F}})\longrightarrow H^{1}(X,{\mathcal {F}})$

injektiv.

Beweis

Wir schließen an den Beweis zu Satz 22.4 an und rekapitulieren die Konstruktion der Abbildung. Es sei ${}{\mathcal {F}}\subseteq {\mathcal {I}}$ eine Einbettung in eine injektive Garbe und

$0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {F}}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {I}}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {H}}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0$

die zugehörige kurze exakte Garbensequenz. Es sei ein erster Čech-Kozykel von ${}{\mathcal {F}}$ durch

${}{\left(r_{ij}\right)}_{i<j}\in \Gamma {\left(U_{i}\cap U_{j},{\mathcal {F}}\right)}\,$

mit ${}r_{ij}-r_{ik}+r_{jk}=0$ gegeben. Die ${}r_{ij}$ fassen wir in ${}{\mathcal {I}}$ als globale Elemente auf und definieren

${}s_{i}:=r_{i1}\,,$

die wir auf ${}U_{i}$ auffassen. Diese Elemente ${}s_{i}$ definieren Elemente

${}t_{i}\in \Gamma {\left(U_{i},{\mathcal {H}}\right)}\,$

die einem globalen Element

${}t\in \Gamma {\left(X,{\mathcal {H}}\right)}\,$

entsprechen. Dieses legt

${}\delta (t)\in H^{1}(X,{\mathcal {F}})\,$

fest und das ist das Bild der Čech-Klasse. Es sei nun

${}\delta (t)=0\,$

vorausgesetzt. Dann gibt es ein globales Element ${}s\in \Gamma {\left(X,{\mathcal {I}}\right)}$, das auf ${}I$ abbildet. Es werden dann die ${}s-s_{i}$ auf ${}0$ abgebildet und daher ist ${}s-s_{i}\in \Gamma {\left(X,{\mathcal {F}}\right)}$. Daher ist

${}s-s_{j}-(s-s_{i})=s_{i}-s_{j}=r_{i1}-r_{j1}=r_{ij}\,$

und die Čech-Klasse ist trivial.

$\Box$

Satz

Es sei ${}{\mathcal {F}}$ eine Garbe von kommutativen Gruppen auf einem topologischen Raum ${}X$.

Dann gibt es einen natürlichen Isomorphismus

${}{\check {H}}^{1}(X,{\mathcal {F}})\cong H^{1}(X,{\mathcal {F}})\,.$

Beweis

Die Injektivität wurde in Lemma 22.5 gezeigt. Zum Nachweis der Surjektivität sei ${}c\in H^{1}(X,{\mathcal {F}})$. Es sei

$0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {F}}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {I}}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {I}}/{\mathcal {F}}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0$

eine kurze exakte Garbensequenz mit ${}{\mathcal {I}}$

injektiv. Die Kohomologieklasse ${}c$ wird repräsentiert durch einen globalen Schnitt ${}t\in \Gamma {\left(X,{\mathcal {I}}/{\mathcal {F}}\right)}$. Für diesen gibt es eine offene Überdeckung

${}X=\bigcup _{i\in I}U_{i}\,$

und Schnitte ${}s_{i}\in \Gamma {\left(X,{\mathcal {I}}\right)}$ derart, dass ${}s_{i}$ unter der Quotientenabbildung auf ${}s{|}_{U_{i}}$ abbildet. Dann ist die Familie ${}s_{i}-s_{j}\in \Gamma {\left(U_{i}\cap U_{j},{\mathcal {F}}\right)}$, ${}(i,j)$, ein erster Čech-Kozykel von ${}{\mathcal {F}}$. Die zugehörige Čech-Kohomologieklasse bildet auf ${}c$ ab.

$\Box$

Beispiel

Wir betrachten ein Gitter ${}\Gamma =\langle v_{1},v_{2}\rangle \subseteq {\mathbb {C} }$ und die Restklassengruppe

${}T={\mathbb {C} }/\Gamma \cong S^{1}\times S^{1}\,.$

Wir arbeiten mit der offenen Überdeckung zu den offenen Mengen ${}U_{1},U_{2},U_{3},U_{4}\subseteq T$, die aus den homöomorphen Bildern von

${}{\tilde {U}}_{1}={\left\{rv_{1}+sv_{2}\mid -{\frac {1}{8}}<r<{\frac {5}{8}},\,-{\frac {1}{8}}<s<{\frac {5}{8}}\right\}}\,,$

${}{\tilde {U}}_{2}={\left\{rv_{1}+sv_{2}\mid -{\frac {1}{8}}<r<{\frac {5}{8}},\,{\frac {3}{8}}<s<{\frac {9}{8}}\right\}}\,,$

${}{\tilde {U}}_{3}={\left\{rv_{1}+sv_{2}\mid {\frac {3}{8}}<r<{\frac {9}{8}},\,-{\frac {1}{8}}<s<{\frac {5}{8}}\right\}}\,$

und

${}{\tilde {U}}_{4}={\left\{rv_{1}+sv_{2}\mid {\frac {3}{8}}<r<{\frac {9}{8}},\,{\frac {3}{8}}<s<{\frac {9}{8}}\right\}}\,$

besteht. Wenn man diese Mengen in das Fundamentalparallelogramm malt, bestehen sie jeweils aus vier Teilen. Die Durchschnitte ${}U_{i}\cap U_{j}$ bestehen aus zwei oder aus vier disjunkten Rechtecken, es liegt eine offene Überdeckung mit der Eigenschaft aus Satz 22.4 für die Garbe der lokal konstanten Funktionen vor. Wenn man einen Kreis durch zwei offene Kreissegmente ${}C_{1}$ und ${}C_{2}$ überdeckt, deren Durchschnitt aus zwei Intervallen besteht, und für einen weiteren Kreis die Segmente ${}D_{1}$ und ${}D_{2}$ nennt, so geht es einfach um die Produktmengen ${}C_{i}\times D_{j}$ auf dem Torus. Es sei

${}C_{1}\cap C_{2}=F_{1}\uplus F_{2}\,$

und

${}D_{1}\cap D_{2}=G_{1}\uplus G_{2}\,.$

Dann ist beispielsweise

${}{\begin{aligned}C_{1}\times D_{1}\cap C_{1}\times D_{2}&=C_{1}\times {\left(D_{1}\cap D_{2}\right)}\\&=C_{1}\times {\left(G_{1}\uplus G_{2}\right)}\\&=C_{1}\times G_{1}\uplus C_{1}\times G_{2}\end{aligned}}$

und

${}{\begin{aligned}C_{1}\times D_{1}\cap C_{2}\times D_{2}&={\left(C_{1}\cap C_{2}\right)}\times {\left(D_{1}\cap D_{2}\right)}\\&={\left(F_{1}\uplus F_{2}\right)}\times {\left(G_{1}\uplus G_{2}\right)}\\&=F_{1}\times G_{1}\uplus F_{1}\times G_{2}\uplus F_{2}\times G_{1}\uplus F_{2}\times G_{2}.\end{aligned}}$

Jede Kohomologieklasse für der Garbe der lokal konstanten Funktionen mit Werten in ${}{\mathbb {C} }$ wird repräsentiert als eine Summe von zwei Kohomologieklassen, die sich jeweils im Wesentlichen von einem Kreis herrührt: Auf der Überdeckung ${}C_{1}\times S^{1},C_{2}\times S^{1}$ mit dem Wert ${}a\in {\mathbb {C} }$ auf ${}F_{1}\times S^{1}$ und dem Wert ${}0$ auf ${}F_{2}\times S^{1}$ und auf der Überdeckung ${}S^{1}\times D_{1},S^{1}\times D_{2}$ mit dem Wert ${}b\in {\mathbb {C} }$ auf ${}S^{1}\times G_{1}$ und dem Wert ${}0$ auf ${}S^{1}\times G_{2}$. Die Kohomologie rührt also von den Projektionen her. Es ist also

${}H^{1}(T,{\mathbb {C} })\cong {\mathbb {C} }^{2}\,.$

Wie kann man darin das Bild von ${}H^{0}(T,\Omega _{T})$ charakterisieren? Auf der oben angebenen offenen Überdeckung erhält man überall ${}dz$. Die holomorphe Funktion ${}z$ auf ${}{\mathbb {C} }$ liefert für jedes ${}U_{i}$ eine holomorphe Funktion ${}z_{i}$, die allerdings nicht zu einer globalen holomorphen Funktion zusammenkleben. Dies sieht man, wenn man das Fundamentalparallelogramm betrachtet. Wir bestimmen also ${}z_{i}$ auf dem Fundamentalparallelogramm, wobei wir mit ${}z$ darauf vergleichen. Die Funktion ${}z_{1}$ auf ${}U_{1}$ liefert links unten in der Tat ${}z$, aber auf den Umklappungen links oben die Funktion ${}z-v_{2}$, rechts unten ${}z-v_{1}$ und rechts oben ${}z-v_{1}-v_{2}$. Die Funktion ${}z_{2}$ ist links unten ${}z+v_{2}$, links oben ${}z$, rechts oben ${}z-v_{2}$ und rechts unten ${}z-v_{1}+v_{2}$. Die Funktion ${}z_{3}$ ist links unten ${}z-v_{1}$, links oben ${}z-v_{1}+v_{2}$, rechts oben ${}z+v_{2}$ und rechts unten ${}z$. Die Funktion ${}z_{4}$ ist links unten ${}z+v_{1}+v_{2}$, links oben ${}z+v_{1}$, rechts oben ${}z$ und rechts unten ${}z+v_{2}$. Die Differenzen sind.

Auf ${}U_{1}\cap U_{2}$ die Werte ${}0$ bzw. ${}-v_{2}$, auf ${}U_{1}\cap U_{3}$ die Werte ${}0$ bzw. ${}v_{1}$. Der Durchschnitt ${}U_{1}\cap U_{4}$ besteht aus vier Teilen, die im Parallelogramm neun Teile zerfallen. Die vier Eckteile gehören zusammen, die beiden mittleren Randteile links und rechts, die beiden mittleren Randteile oben und unten und der mittlere Teil. Die Werte von ${}z_{1}-z_{4}$ darauf sind in dieser Reihenfolge gleich ${}-v_{1}-v_{2},-v_{2},-v_{1},0$.

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