Kurs:Riemannsche Flächen (Osnabrück 2022)/Vorlesung 8/latex
\setcounter{section}{8}
In dieser Vorlesung führen wir die komplexen Tori als eine wichtige Beispielklasse für kompakte riemannsche Flächen ein.
\zwischenueberschrift{Gitter}
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Lattice in R2.svg} }
\end{center}
\bildtext {} }
\bildlizenz { Lattice in R2.svg } {} {Squizzz} {Commons} {CC-by-sa 3.0} {}
\inputdefinition
{}
{
Es seien
\mathl{v_1 , \ldots , v_n}{}
\definitionsverweis {linear unabhängige}{}{}
Vektoren im $\R^n$. Dann heißt die
\definitionsverweis {Untergruppe}{}{}
\mathl{\Z v_1 \oplus \cdots \oplus \Z v_n}{} ein \definitionswort {Gitter}{} im $\R^n$.
}
Manchmal spricht man auch von einem vollständigen Gitter, da die Erzeuger eine \definitionsverweis {Basis}{}{} des Raumes bilden. Als Gruppen sind sie isomorph zu $\Z^n$, hier interessieren aber auch Eigenschafen der Einbettung in $\R^n$. Ein Gitter heißt \stichwort {rational} {,} wenn die erzeugenden Vektoren zu $\Q^n$ gehören.
\inputfaktbeweis
{Euklidischer Raum/Gitter/Restklassengruppe/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Zu einem
\definitionsverweis {Gitter}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Gamma
}
{ = }{ \Z v_1 \oplus \cdots \oplus \Z v_n
}
{ \subseteq }{ \R^n
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}}
\faktfolgerung {ist die topologische Restklassengruppe
\mathl{\R^n/\Gamma}{} isomorph zum $n$-dimensionalen Torus
\mathl{S^1 \times \cdots \times S^1}{}
\zusatzklammer {mit $n$ Faktoren} {} {.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Nach
Aufgabe 8.1
können wir davon ausgehen, dass $\Gamma$ das
\definitionsverweis {Standardgitter}{}{}
\mathl{\Z e_1 \oplus \cdots \oplus \Z e_n}{} ist. Für dieses gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \R^n/ { \left( \Z e_1 \oplus \cdots \oplus \Z e_n \right) }
}
{ =} { { \left( \R/ \Z e_1 \right) } \times \cdots \times { \left( \R/ \Z e_n \right) }
}
{ =} { S^1 \times \cdots \times S^1
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Topologisch und gruppentheoretisch sind alle vollständigen Gitter zueinander äquivalent. Ein Gitter ist durch seine Basis festgelegt, aber nicht umgekehrt. Man kann aber einfach charakterisieren, ob zwei Basiselemente das gleiche Gitter erzeugen.
\inputfaktbeweis
{Gitter/Basis/Übergang/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es seien
\mathl{v_1 , \ldots , v_n}{} und
\mathl{w_1 , \ldots , w_n}{}
\definitionsverweis {Basen}{}{}
im $\R^n$.}
\faktfolgerung {Dann stimmen die zugehörigen
\definitionsverweis {Gitter}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Gamma
}
{ = }{\Z v_1 \oplus \cdots \oplus \Z v_n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Delta
}
{ = }{\Z w_1 \oplus \cdots \oplus \Z w_n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
genau dann überein, wenn ihre
\definitionsverweis {Übergangsmatrix}{}{}
ganzzahlig mit
\definitionsverweis {Determinante}{}{}
$\pm 1$ ist.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Es seien
\mathkor {} {M} {und} {N} {}
die
\zusatzklammer {reellen} {} {}
\definitionsverweis {Übergangsmatrizen}{}{}
zwischen den beiden Basen, dabei gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M \circ N
}
{ =} { E_{ n }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \det M \cdot \det N
}
{ =} { 1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
nach
dem Determinantenmultiplikationsatz.
Es seien die Gitter gleich. Dann folgt aus
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{v_j
}
{ \in }{ \Delta
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
dass in
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ v_j
}
{ =} { \sum_{ i = 1 }^{ n } c_{ij} w_i
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die Koeffizienten
\mathl{c_{ij}}{} ganzzahlig sind und damit sind die Übergangsmatrizen ganzzahlig. Ihre Determinanten sind somit auch ganzzahlig und aus der Determinantenbedingung folgt, dass die Determinanten
\mathkor {} {1} {oder} {-1} {}
sein müssen, da dies die einzigen
\definitionsverweis {Einheiten}{}{}
in $\Z$ sind.
Wenn beide Übergangsmatrizen ganzzahlig sind, so gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Gamma
}
{ \subseteq} { \Delta
}
{ \subseteq} { \Gamma
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und damit Gleichheit.
Im Folgenden beschränken wir uns auf den folgenden Spezialfall.
\inputdefinition
{}
{
Unter einem
\definitionswort {Gitter}{}
in den
\definitionsverweis {komplexen Zahlen}{}{}
${\mathbb C}$ versteht man ein
\definitionsverweis {vollständiges Gitter}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Gamma
}
{ = }{ \Z v_1 \oplus \Z v_2
}
{ \subset }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
\inputfaktbeweis
{Komplexe Zahlen/Gitter/Basisauswahl/Fakt}
{Korollar}
{}
{
\faktsituation {Zwei reell linear unabhängige Paare
\mathkor {} {(u_1,u_2)} {und} {(v_1,v_2)} {}
vom komplexen Zahlen}
\faktfolgerung {definieren genau dann das gleiche
\definitionsverweis {Gitter}{}{,}
wenn es eine
\definitionsverweis {invertierbare Matrix}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M
}
{ =} { \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}
}
{ \in} { \operatorname{GL}_{ 2 } \! { \left( \Z \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} u_1 \\u_2 \end{pmatrix}
}
{ =} { M \begin{pmatrix} v_1 \\v_2 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gibt.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Dies ist ein Spezialfall von Lemma 8.3.
Beispielsweise stimmen die durch
\mathl{1, { \mathrm i}}{} bzw.
\mathl{1, 2+ { \mathrm i}}{} erzeugten Gitter überein, es besteht die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} 1 \\ 2+{ \mathrm i} \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ { \mathrm i} \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
bzw. umgekehrt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} 1 \\ { \mathrm i} \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 2+{ \mathrm i} \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
\zwischenueberschrift{Komplexe Tori}
\inputfaktbeweis
{Komplexe Zahlen/Gitter/Quotient/Komplexe Mannigfaltigkeit/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Zu einem
\definitionsverweis {Gitter}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Gamma
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}}
\faktfolgerung {ist die
\definitionsverweis {kanonische Abbildung}{}{}
\maabb {\pi} { {\mathbb C} } { {\mathbb C} /\Gamma
} {}
eine
\definitionsverweis {Überlagerung}{}{}
und der
\definitionsverweis {Quotientenraum}{}{}
\mathl{{\mathbb C}/\Gamma}{} ist in natürlicher Weise eine eindimensionale
\definitionsverweis {kompakte}{}{}
\definitionsverweis {komplexe Mannigfaltigkeit}{}{}
Dabei wird $\pi$ zu einer
\definitionsverweis {holomorphen Abbildung}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Zu jedem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ \in }{ {\mathbb C} /\Gamma
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und einem Urbildpunkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Q
}
{ \in }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt es eine offene Ballumgebung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Q
}
{ \in }{ U { \left( Q,\epsilon \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
auf der die Einschränkung einen Homöomorphismus
\maabbdisp {\pi} { U { \left( Q,\epsilon \right) } } { V
} {}
mit einer offenen Umgebung $V$ von $P$ induziert. Man wähle einfach $\epsilon$ kleiner als die Hälfte des minimalen Abstandes im Gitter. Dabei sind die
\mathl{U { \left( Q,\epsilon \right) }}{} zu verschiedenen Urbildpunkten von $P$ zueinander disjunkt und untereinander durch eine Verschiebung mit einem Gittervektor homöomorph. Damit ist die Abbildung
\maabb {\pi} { {\mathbb C} } { {\mathbb C} /\Gamma
} {}
eine
\definitionsverweis {Überlagerung}{}{}
mit der Faser $\Gamma$. Man erhält auf $V$ eine komplexe Karte, indem man einen Homöomorphismus zu einem
\mathl{U { \left( Q,\epsilon \right) }}{} auswählt. Zu zwei solchen offenen Mengen
\mathkor {} {V_1} {und} {V_2} {}
\zusatzklammer {zu Punkten
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{P_1,P_2
}
{ \in }{ {\mathbb C} /\Gamma
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}} {} {}
seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{B_1,B_2
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
offene Bälle derart, dass die Einschränkungen
\maabb {\pi_1} {B_1} {V_1
} {}
und
\maabb {\pi_2} {B_2} {V_2
} {}
Homöomorphismen sind. Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{W
}
{ = }{V_1 \cap V_2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U_1
}
{ \subseteq }{B_1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
das Urbild von $W$ unter $\pi_1$ und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U_2
}
{ \subseteq }{B_2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
das Urbild von $W$ unter $\pi_2$. Da das Urbild von $W$ unter $\pi$ die disjunkte Vereinigung von zu $W$ homöomorphen Teilmengen ist, die durch eine Translation mit einem Element aus $\Gamma$ ineinander übergehen, ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{U_1
}
{ =} { v + U_2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit einem
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{v
}
{ \in }{\Gamma
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Die Abbildung
\maabbeledisp {} {U_1} {U_2
} {z} {v+z
} {,}
beschreibt dann den Kartenwechsel, was zeigt, dass durch diese Karten eine wohldefinierte komplexe Struktur vorliegt.
Die Kompaktheit folgt aus Satz 8.2 oder daraus, dass eine Gittermasche ganz in einer beschränkten und abgeschlossenen, also kompakten Teilmenge von ${\mathbb C}$ liegt und dass Bilder kompakter Mengen unter stetigen Abbildungen kompakt sind.
Die Holomorphie der Abbildung bezüglich der soeben etablierten komplexen Struktur auf dem Quotienten ist klar.
\inputdefinition
{}
{
Eine \definitionswort {topologische Gruppe}{} ist eine \definitionsverweis {Gruppe}{}{} $G$, die zugleich ein \definitionsverweis {topologischer Raum}{}{} ist derart, dass die Verknüpfung \maabbeledisp {} {G \times G} {G } {(g,h)} {g \circ h } {,} und die Inversenbildung \maabbeledisp {} {G} {G } {g} {g^{-1} } {,} \definitionsverweis {stetige Abbildungen}{}{} sind.
}
Topologische Gruppen sind
\mathl{(\R,+)}{,}
\mathl{(\R \setminus \{0\}, \cdot)}{,}
\mathl{( {\mathbb C} ,+)}{,}
\mathl{( {\mathbb C} \setminus \{0\}, \cdot)}{,}
\mathl{(\R^n,+)}{,}
\mathl{(S^1,\text{ mit der Winkeladdition} )}{,} die
\definitionsverweis {allgemeine lineare Gruppe}{}{}
\mathl{\operatorname{GL}_{ n } \! { \left( \R \right) }}{} bzw.
\mathl{\operatorname{GL}_{ n } \! { \left( {\mathbb C} \right) }}{,} ein, wie wir gleich zeigen werden,
\definitionsverweis {komplexer Torus}{}{}
${\mathbb C}/\Gamma$ zu einem
\definitionsverweis {Gitter}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Gamma
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Man kann jede Gruppe mit der
\definitionsverweis {diskreten Topologie}{}{}
zu einer topologischen Gruppe machen. Mit topologischen Gruppen kann man wichtige
\definitionsverweis {Garben}{}{}
definieren, siehe
Beispiel 10.10.
Eine Verschärfung des Begriffs einer topologischen Gruppe ist das folgende Konzept.
\inputdefinition
{}
{
Eine \definitionsverweis {komplexe Mannigfaltigkeit}{}{} $M$, die zugleich eine \definitionsverweis {Gruppe}{}{} ist, für die die Gruppenverknüpfung \maabbeledisp {\circ} {M \times M} {M } {(x,y)} { x \circ y } {,} und die Inversenbildung \maabbeledisp {} {M} {M } {x} {x^{-1} } {,} \definitionsverweis {holomorph}{}{} sind, heißt \definitionswort {komplexe Lie-Gruppe}{.}
}
\inputfaktbeweis
{Komplexe Zahlen/Gitter/Quotient/Komplexe Lie-Gruppe/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Zu einem
\definitionsverweis {Gitter}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Gamma
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}}
\faktfolgerung {ist der
\definitionsverweis {Quotientenraum}{}{}
\mathl{{\mathbb C}/\Gamma}{} in natürlicher Weise eine eindimensionale
\definitionsverweis {kompakte}{}{}
\definitionsverweis {kommutative}{}{}
\definitionsverweis {komplexe Lie-Gruppe}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Da
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Gamma
}
{ \subset }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Untergruppe ist, ist die Restklassengruppe
\mathl{{\mathbb C}/\Gamma}{} eine kommutative Gruppe. Nach
Satz 8.6
ist
\mathl{{\mathbb C}/\Gamma}{} auch eine kompakte komplexe Mannigfaltigkeit. Es ist also noch zu zeigen, dass die Gruppenaddition auf
\mathl{{\mathbb C}/\Gamma}{} und das Negative
\definitionsverweis {holomorphe Abbildungen}{}{}
sind. Dies ergibt sich aber im Wesentlichen aus den kommutativen Diagrammen
\mathdisp {\begin{matrix} {\mathbb C} \times {\mathbb C} & \stackrel{ + }{\longrightarrow} & {\mathbb C} & \\ \!\!\!\!\! \pi \times \pi \downarrow & & \downarrow \pi \!\!\!\!\! & \\ {\mathbb C}/\Gamma \times {\mathbb C}/\Gamma & \stackrel{ + }{\longrightarrow} & {\mathbb C}/\Gamma & \!\!\!\!\! \\ \end{matrix}} { }
und
\mathdisp {\begin{matrix} {\mathbb C} & \stackrel{ - }{\longrightarrow} & {\mathbb C} & \\ \!\!\!\!\! \pi \downarrow & & \downarrow \pi \!\!\!\!\! & \\ {\mathbb C}/\Gamma & \stackrel{ - }{\longrightarrow} & {\mathbb C}/\Gamma & \!\!\!\!\! . \\ \end{matrix}} { }
\inputdefinition
{}
{
Unter einem
\definitionswort {komplexen Torus}{}
versteht man den
\definitionsverweis {Quotientenraum}{}{}
\mathl{{\mathbb C}/\Gamma}{} zu einem
\definitionsverweis {Gitter}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Gamma
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
Statt von einem \zusatzklammer {eindimensionalen} {} {} komplexen Torus spricht man auch von einer komplex-elliptischen Kurve, dies vor allem aber dann, wenn man den Torus als glatte kubische Kurve in der projektiven Ebene realisiert hat, siehe Satz 12.14 (Elliptische Kurven (Osnabrück 2021-2022)).
\zwischenueberschrift{Liftungen }
\inputfaktbeweis
{Gitter/Komplexe Zahlen/Universelle Überlagerung/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Zu einem
\definitionsverweis {Gitter}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Gamma
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}}
\faktfolgerung {ist die
\definitionsverweis {Quotientenabbildung}{}{}
\maabbdisp {\pi} { {\mathbb C} } { {\mathbb C} / \Gamma
} {}
die
\definitionsverweis {universelle Überlagerung}{}{}
des
\definitionsverweis {komplexen Torus}{}{}
${\mathbb C}/\Gamma$.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Dass eine Überlagerung vorliegt, wurde schon in
Satz 8.6
mitbewiesen. Da
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathbb C}
}
{ = }{ \R^2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {einfach zusammenhängend}{}{}
ist, handelt es sich um die universelle Überlagerung.
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Torus cycles001.svg} }
\end{center}
\bildtext {Die beiden bunten Kreise zeigen die Erzeuger der Fundamentalgruppe.} }
\bildlizenz { Torus cycles001.svg } {} {Pk0001} {Commons} {CC0 1.0} {}
\inputfaktbeweis
{Elliptische Kurve/Fundamentalgruppe/Fakt}
{Korollar}
{}
{
\faktsituation {Die
\definitionsverweis {Fundamentalgruppe}{}{}
eines
\definitionsverweis {komplexen Torus}{}{}
ist}
\faktfolgerung {$\Z \times \Z$.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
\zwischenueberschrift{Isogenien}
\inputfaktbeweis
{Gitter/Komplexe_Zahlen/Untergitter/Quotient/Gruppenhomomorphismus/Endlicher Kern/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Zu
\definitionsverweis {Gittern}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Gamma_1
}
{ \subseteq }{ \Gamma_2
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}}
\faktfolgerung {gibt es einen kanonischen
\definitionsverweis {surjektiven}{}{}
\definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{}
\maabbdisp {} { {\mathbb C}/\Gamma_1 } { {\mathbb C}/\Gamma_2
} {,}
dessen
\definitionsverweis {Kern}{}{}
gleich
\mathl{\Gamma_2/\Gamma_1}{} und insbesondere endlich ist.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Unter dem Gruppenhomomorphismus
\maabbdisp {\pi_2} { {\mathbb C} } { {\mathbb C} /\Gamma_2
} {}
wird insbesondere auch das Untergitter
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Gamma_1
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
auf $0$ abgebildet, d.h. $\Gamma_1$ gehört zum Kern von $\pi_2$. Somit gibt es nach
dem Homomorphiesatz
einen induzierten Gruppenhomomorphismus
\maabbdisp {} { {\mathbb C}/\Gamma_1 } { {\mathbb C}/\Gamma_2
} {.}
Dieser ist surjektiv, und sein Kern ist isomorph zu
\mathl{\Gamma_2/ \Gamma_1}{.} Dies ist eine endliche Gruppe.
\inputfaktbeweis
{Gitter/Komplexe_Zahlen/Untergitter/Topologischer_Quotient/Endliche_Überlagerung/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Zu
\definitionsverweis {Gittern}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Gamma_1
}
{ \subseteq }{ \Gamma_2
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}}
\faktfolgerung {ist der kanonische
\definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{}
\maabbdisp {} { {\mathbb C}/\Gamma_1 } { {\mathbb C}/\Gamma_2
} {}
eine
\definitionsverweis {endliche Überlagerung}{}{,}
deren
\definitionsverweis {Fasern}{}{}
gleich
\mathl{\Gamma_2/\Gamma_1}{} sind. Die Gruppe der
\definitionsverweis {Decktransformationen}{}{}
ist isomorph zu
\mathl{\Gamma_2/\Gamma_1}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Es liegt das kommutative Diagramm
\mathdisp {\begin{matrix} {\mathbb C} & \stackrel{ \pi_1 }{\longrightarrow} & {\mathbb C}/\Gamma_1 & \\ & \!\!\! \!\! \pi_2 \searrow & \downarrow \pi \!\!\! \!\! & \\ & & {\mathbb C}/\Gamma_2 \, , & \!\!\!\!\! \!\!\! \\ \end{matrix}} { }
wobei
\mathkor {} {\pi_1} {und} {\pi_2} {}
nach
Satz 8.6
Überlagerungen sind. Zu einer offenen Umgebung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ \in }{U
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C} /\Gamma_2
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
für die es in ${\mathbb C}$ die disjunkten und zu $U$ homöomorphen offenen Umgebungen
\mathbed {g +\tilde{U}} {}
{g \in \Gamma_2} {}
{} {} {} {,}
gibt, ist das Urbild $\pi^{-1} (U)$ in ${\mathbb C}/\Gamma_1$ die disjunkte Vereinigung der offenen Mengen
\mathbed {\pi_1 (g +\tilde{U} )} {}
{[g] \in \Gamma_2/\Gamma_1} {}
{} {} {} {,}
wobei
\maabbdisp {} {\pi_1 (g +\tilde{U} ) } { U
} {}
Homöomorphismen sind. Daher liegt eine Überlagerung vor.
Ein Element
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{[g]
}
{ \in }{ \Gamma_2/\Gamma_1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
definiert einen stetigen Gruppenhomomorphismus
\maabbeledisp {g} { {\mathbb C}/\Gamma_1 } { {\mathbb C}/\Gamma_1
} {z} { z+g
} {,}
derart, dass das Diagramm
\mathdisp {\begin{matrix} {\mathbb C}/\Gamma_1 & \stackrel{ g }{\longrightarrow} & {\mathbb C}/\Gamma_1 & \\ & \!\!\! \!\! \pi \searrow & \downarrow \pi \!\!\! \!\! & \\ & & {\mathbb C}/\Gamma_2 & \!\!\!\!\! \!\!\! \\ \end{matrix}} { }
kommutiert. Dabei definiert $g$ genau dann die Identität auf ${\mathbb C}/\Gamma_1$, wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{g
}
{ \in }{ \Gamma_1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist, also wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ [g]
}
{ = }{ [0]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
in
\mathl{\Gamma_2/\Gamma_1}{} ist. Die Addition in $\Gamma_2/\Gamma_1$ entspricht dabei der Hintereinanderschaltung von Abbildungen.
\inputfaktbeweis
{Gitter/Komplexe_Zahlen/Untergitter/Quotientenabbildung/Holomorph/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Zu
\definitionsverweis {Gittern}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Gamma_1
}
{ \subseteq }{ \Gamma_2
}
{ \subset }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}}
\faktfolgerung {ist der kanonische
\definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{}
\maabbdisp {} { {\mathbb C}/\Gamma_1 } { {\mathbb C}/\Gamma_2
} {}
ein
\definitionsverweis {Homomorphismus}{}{}
von
\definitionsverweis {komplexen Lie-Gruppen}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Dies folgt aus Lemma 8.13 und aus Lemma 8.14, da die holomorphen Strukturen auf \mathkor {} {{\mathbb C} /\Gamma_1} {bzw.} {{\mathbb C} /\Gamma_2} {} beide von ${\mathbb C}$ geerbt sind \zusatzklammer {siehe Satz 8.6} {} {.}
\inputdefinition
{}
{
Zu \definitionsverweis {komplexen Tori}{}{} \mathkor {} {E_1} {und} {E_2} {} nennt man einen \definitionsverweis {holomorphen Gruppenhomomorphismus}{}{} \maabb {\varphi} {E_1} {E_2 } {} eine \definitionswort {Isogenie}{}
}