Kurs:Singularitätentheorie (Osnabrück 2019)/Arbeitsblatt 7/latex
\setcounter{section}{7}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $G$ eine
\definitionsverweis {Gruppe}{}{} und $M$ eine Menge. Es sei
\mathl{\operatorname{Perm} \,( M)}{} die
\definitionsverweis {Gruppe der Permutationen}{}{}
auf $M$. Zeige folgende Aussagen.
\aufzaehlungzwei {Wenn $G$ auf $M$
\definitionsverweis {operiert}{}{,}
so ist die
\definitionsverweis {Abbildung}{}{}
\maabbeledisp {} {G} { \operatorname{Perm} \,( M)
} {g} { (x \mapsto gx)
} {,}
ein
\definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{.}
} {Wenn umgekehrt ein Gruppenhomomorphismus
\maabbeledisp {\varphi} {G} {\operatorname{Perm} \,( M)
} {g} { \varphi(x)
} {,}
vorliegt, so wird durch
\maabbeledisp {} {G\times M} {M
} {(g,x)} { (\varphi(g))(x)
} {,}
eine Gruppenoperation von $G$ auf $M$ definiert.
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die $G$-\definitionsverweis {Äquivalenz}{}{} bei einer \definitionsverweis {Gruppenoperation}{}{} in der Tat eine \definitionsverweis {Äquivalenzrelation}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Betrachte die
\definitionsverweis {Gruppenoperation}{}{}
der $n$-ten Einheitswurzeln durch Multiplikation auf ${\mathbb C}$. Bestimme die
\definitionsverweis {Bahnen}{}{}
und die
\definitionsverweis {Isotropiegruppen}{}{}
dieser Operation. Kann man die
\definitionsverweis {Quotientenabbildung}{}{}
durch eine polynomiale Funktion realisieren?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $G$ eine
\definitionsverweis {Gruppe}{}{,}
die auf einem
\definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{}
$R$ als Gruppe von
\definitionsverweis {Ringautomorphismen}{}{}
\definitionsverweis {operiere}{}{.}
Zeige die folgende Aussagen.
\aufzaehlungzwei {Für die
\definitionsverweis {Einheiten}{}{}
gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( R^G \right) }^{\times}
}
{ =} { R^G \cap R^{\times}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
} {
Wenn $R$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
ist, so ist auch $R^G$ ein Körper.
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $S$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{}
mit
\mathl{2 \neq 0}{} und
\mathl{a \in S}{.} Zeige, dass die Gruppe
\mathl{\Z/(2) \cong \{1,-1\}}{} auf der
\definitionsverweis {quadratischen Erweiterung}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{R
}
{ \defeq} {S[X]/(X^2-a)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
als Gruppe von
$S$-\definitionsverweis {Algebrahomomorphismen}{}{}
operiert, indem $-1$ durch $X \mapsto -X$ wirkt. Bestimme den
\definitionsverweis {Fixring}{}{}
zu dieser Operation.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{,}
auf dem eine
\definitionsverweis {Gruppe}{}{} $G$ als Gruppe von
\definitionsverweis {Ringautomorphismen}{}{}
\definitionsverweis {operiere}{}{.}
Es sei
\mathl{{\mathfrak a} \subseteq R}{} ein
\definitionsverweis {Ideal}{}{,}
das unter der Gruppenoperation
\definitionsverweis {invariant}{}{} ist
\zusatzklammer {es gelte also
\mathl{f \sigma \in {\mathfrak a}}{} für
\mathl{f \in {\mathfrak a}}{} und jedes
\mathl{\sigma \in G}{}} {} {.}
Zeige die folgenden Aussagen.
\aufzaehlungvier{Es gibt eine natürliche Operation von $G$ auf dem
\definitionsverweis {Restklassenring}{}{}
\mathl{R/ {\mathfrak a}}{.}
}{Es gibt einen
\definitionsverweis {Ringhomomorphismus}{}{}
\maabbdisp {\psi} {R^G/ { \left( {\mathfrak a} \cap R^G \right) } } { { \left( R/ {\mathfrak a} \right) }^G
} {.}
}{Die Abbildung $\psi$ aus Teil (2) ist injektiv.
}{Wenn $G$ endlich ist und $R$ einen Körper der
\definitionsverweis {Charakteristik}{}{} $0$ enthält, so ist $\psi$ surjektiv.
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{G
}
{ \subseteq }{ \operatorname{GL}_{ n } \! { \left( K \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {endliche Untergruppe}{}{}
mit der zugehörigen
\definitionsverweis {Operation}{}{}
auf dem
\definitionsverweis {affinen Raum}{}{}
$K^n$. Es sei $K$ unendlich. Zeige, dass es eine nichtleere
\definitionsverweis {Zariski-offene}{}{}
Teilmmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U
}
{ \subseteq }{K^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart gibt, dass die
\definitionsverweis {Bahnen}{}{}
zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \in }{U
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
aus
\mathl{{ \# \left( G \right) }}{} Elementen besteht.
}
{} {}
Gemäß Aufgabe 7.1
ergibt eine Gruppenoperation für jedes
\mathl{g \in G}{} eine Bijektion
\mathl{x \mapsto gx}{} auf $M$. Wenn $M$ zusätzliche Strukturen besitzt, so verlangt man häufig, dass diese Bijektionen diese Strukturen respektieren, also beispielsweise linear oder stetig sind. Man spricht dann von einer linearen oder von einer stetigen Operation oder sagt, dass die Gruppe als Gruppe von Automorphismen oder als Gruppe von Homöomorphismen operiert.
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $X$ ein
\definitionsverweis {topologischer Raum}{}{,} auf dem eine
\definitionsverweis {Gruppe}{}{} $G$ operiere, wobei zu jedem
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ g
}
{ \in }{ G
}
{ }{}
{ }{}
{ }{}
}
{}{}{}
die Abbildung
\mathl{x \mapsto gx}{}
\definitionsverweis {stetig}{}{} sei. Zeige, dass dadurch eine Operation
\zusatzklammer {von rechts} {} {} von $G$ auf dem Ring der stetigen Funktionen
\mathl{C(X, \R)}{} als Gruppe von Ringautomorphismen gegeben ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\maabbdisp {f} {{\mathbb C}} {{\mathbb C}
} {}
eine
\definitionsverweis {stetige Funktion}{}{.}
Zeige, dass die beiden folgenden Aussagen äquivalent sind.
\aufzaehlungdrei{Es gibt eine stetige Funktion
\maabbdisp {g} {\R_{\geq 0}} {{\mathbb C}
} {}
mit
\mathl{f(z) = g ( \betrag { z })}{} für alle
\mathl{z \in {\mathbb C}}{.}
}{Für alle $n$-ten Einheitswurzeln
\mathl{\zeta \in {\mathbb C}}{}
\zusatzklammer {alle \mathlk{n \in \N}{}} {} {}
ist
\mathl{f (\zeta z)= f(z)}{} für alle
\mathl{z \in {\mathbb C}}{.}
}{Für alle
\mathl{w \in {\mathbb C}}{} mit
\mathl{\betrag { w } =1}{} ist
\mathl{f (w z)= f(z)}{} für alle
\mathl{z \in {\mathbb C}}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Wir betrachten die Menge der quadratischen Polynome
\mathdisp {M= { \left\{ aX^2+bX+c \mid a,b,c \in K,\, a \neq 0 \right\} }} { }
über einem
\definitionsverweis {Körper}{}{} $K$, und es sei $G$ die Menge der Transformationen vom Typ
\mathl{X \mapsto \alpha X + \beta}{} mit
\mathl{\alpha \neq 0}{.}
a) Zeige, dass $G$ auf $M$ in natürlicher Weise operiert.
b) Zeige, dass $G$ auf $K$ durch Multiplikation mit $\alpha^2$ operiert.
c) Zeige, dass die
\betonung{Diskriminante}{,} also der Ausdruck
\mathl{b^2-4ac}{,} der einem quadratischen Polynom zugeordnet ist,
$G$-\definitionsverweis {verträglich}{}{} bezüglich dieser beiden Operationen ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein Körper und $G$ eine Gruppe. Dann können wir den
\definitionsverweis {Monoidring}{}{}
$K[G]$ betrachten. Es sei nun weiter $M$ ein $K[G]$-Modul. Zeige, dass
\aufzaehlungzwei { $M$ nichts anderes ist als ein $K$-Vektorraum $V$ zusammen mit einem
\definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{}
\maabb {\rho} { G} { \operatorname{Aut}_K(V)
} {.}
} {ein $K[G]$-Modulhomomorphismus
\maabb {\varphi} {M} {M
} {}
eine $K$-lineare Abbildung ist, für die zusätzlich
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi \circ \rho(g)
}
{ = }{ \rho \circ \varphi
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ g
}
{ \in }{ G
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt.
}
}
{Bemerkung: $\rho$ heißt dann eine \stichwort {Darstellung} {} von $G$. Solche Darstellungen sind oft einfacher zu handhaben als $G$ und man kann mit Hilfe von $\rho$ oft hilfreiche Erkenntnisse über $G$ selbst gewinnen.} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathl{\zeta \in {\mathbb C}}{} eine $n$-te
\definitionsverweis {primitive Einheitswurzel}{}{.}
Zeige, dass die zyklische Gruppe
\mathdisp {Z_n = { \left\{ \begin{pmatrix} \zeta^{j} & 0 \\ 0 & \zeta^{-j} \end{pmatrix} \mid j = 0 , \ldots , n-1 \right\} } \subseteq \operatorname{SL}_{ 2 } \! { \left( {\mathbb C} \right) }} { }
auf der Punktmenge
\mathdisp {{ \left\{ \begin{pmatrix} \zeta^{j} \\ \zeta^{-j} \end{pmatrix} \mid j =0 , \ldots , n-1 \right\} }} { }
\definitionsverweis {treu operiert}{}{,}
dass sie bei $n$ ungerade auf der Geradenmenge
\mathdisp {{ \left\{ \langle \begin{pmatrix} \zeta^{j} \\ \zeta^{-j} \end{pmatrix} \rangle \mid j =0 , \ldots , n-1 \right\} }} { }
ebenfalls treu operiert und dass sie bei $n$ gerade auf der Geradenmenge
\mathdisp {{ \left\{ \langle \begin{pmatrix} \zeta^{j} \\ \zeta^{-j} \end{pmatrix} \rangle \mid j =0 , \ldots , { \frac{ n }{ 2 } }-1 \right\} }} { }
operiert, aber nicht treu. Was ist in diesem Fall der
\definitionsverweis {Kern der Operation}{}{?}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die
\definitionsverweis {binäre Diedergruppe}{}{}
\mathl{BD_1}{} eine
\definitionsverweis {zyklische Gruppe}{}{}
der
\definitionsverweis {Ordnung}{}{}
$4$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Wir betrachten die
\definitionsverweis {binäre Diedergruppe}{}{}
\mathl{BD_n}{.} Zeige, dass bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \geq }{3
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die von
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{B
}
{ =} {\begin{pmatrix} 0 & { \mathrm i} \\ { \mathrm i} & 0 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
erzeugte Untergruppe kein
\definitionsverweis {Normalteiler}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathl{\zeta \in {\mathbb C}}{} eine $2n$-te
\definitionsverweis {primitive Einheitswurzel}{}{.}
Zeige, dass die
\definitionsverweis {binäre Diedergruppe}{}{}
\mathl{BD_n}{} auf der Geradenmenge
\mathdisp {{ \left\{ \langle \begin{pmatrix} \zeta^j \\\zeta^{-j} \end{pmatrix} \rangle \mid j = 0 , \ldots , n-1 \right\} } \cup \{ \langle \begin{pmatrix} 1 \\0 \end{pmatrix} \rangle ,\, \langle \begin{pmatrix} 0 \\1 \end{pmatrix} \rangle\}} { }
operiert.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die in
Beispiel 7.7,
Beispiel 7.8,
Beispiel 7.9
und
Beispiel 7.10
beschriebenen Gruppen bereits Untergruppen der
\mathl{\operatorname{SU}_{ 2 } \! { \left( {\mathbb C} \right) }}{} sind.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die Matrix
\mathdisp {F= { \frac{ 1 }{ \sqrt{5} } } \begin{pmatrix} - \xi + \xi^4 & \xi^2-\xi^3 \\ \xi^2-\xi^3 & \xi -\xi^4 \end{pmatrix}} { }
zu
\mathl{\operatorname{SU}_{ 2 } \! { \left( {\mathbb C} \right) }}{} gehört.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathl{G \subseteq \operatorname{GL}_{ n } \! { \left( {\mathbb C} \right) }}{} eine
\definitionsverweis {endliche Untergruppe}{}{}
und es sei
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{} das
\definitionsverweis {Standardskalarprodukt}{}{}
auf dem ${\mathbb C}^n$. Zeige, dass durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\Phi(w,z)
}
{ \defeq} { { \frac{ 1 }{ { \# \left( G \right) } } } \sum_{ \sigma \in G} \left\langle \sigma w , \sigma z \right\rangle
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Skalarprodukt}{}{}
auf ${\mathbb C}^n$ definiert wird.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathl{M \in \operatorname{Mat}_{ n } ({\mathbb C})}{} eine
\definitionsverweis {Matrix}{}{}
und
\maabbdisp {\varphi} {{\mathbb C}^n} {{\mathbb C}^n
} {}
die zugehörige
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{.}
Zeige, dass $\varphi$ genau dann
\definitionsverweis {unitär}{}{}
ist, wenn
\mathl{{}^t M \cdot \overline{M}}{} die
\definitionsverweis {Einheitsmatrix}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die
\definitionsverweis {Eigenwerte}{}{}
und die
\definitionsverweis {Eigenvektoren}{}{}
der
\definitionsverweis {Matrix}{}{}
\mathdisp {{ \frac{ 1 }{ \sqrt{2} } } \begin{pmatrix} \zeta^7 & \zeta^7 \\ \zeta^5 & \zeta \end{pmatrix}} { }
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\zeta
}
{ = }{ { \frac{ 1+ { \mathrm i} }{ \sqrt{2} } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die Matrix
\mathdisp {{ \frac{ 1 }{ \sqrt{2} } } \begin{pmatrix} { \mathrm i} & - { \mathrm i} \\ \zeta & - { \mathrm i} \end{pmatrix}} { }
zur
\definitionsverweis {binären Oktaedergruppe}{}{}
gehört
\zusatzklammer {dabei ist $\zeta$ eine primitive achte Einheitswurzel} {} {.}
Gehört sie auch zur
\definitionsverweis {binären Tetraedergruppe}{}{?}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die
\definitionsverweis {binäre Ikosaedergruppe}{}{}
\mathl{120}{} Elemente besitzt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathl{n \in \N_+}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\alpha
}
{ = }{ { \frac{ 360 }{ n } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Betrachte die Untergruppe der
\definitionsverweis {Drehmatrizen}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{G
}
{ =} { { \left\{ \begin{pmatrix}
\operatorname{cos} \, \alpha & - \operatorname{sin} \, \alpha \\
\operatorname{sin} \, \alpha & \operatorname{cos} \, \alpha
\end{pmatrix}^{j} \mid j = 0 , \ldots , n-1 \right\} }
}
{ \subseteq} { \operatorname{SL}_{ 2 } \! { \left( \R \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass diese Gruppe, aufgefasst in
\mathl{\operatorname{SL}_{ 2 } \! { \left( {\mathbb C} \right) }}{,}
\definitionsverweis {konjugiert}{}{}
zu $Z_n$ aus
Beispiel 7.7
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ G
}
{ \subseteq }{ \operatorname{GL}_{ n } \! { \left( K \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Untergruppe der
\definitionsverweis {allgemeinen linearen Gruppe}{}{}
über einem
\definitionsverweis {Körper}{}{}
$K$ und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K
}
{ \subseteq }{ L
}
{ }{
}
{ }{}
{ }{}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{.}
Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{K[ X_1 , \ldots , X_n]^G
}
{ =} {K[ X_1 , \ldots , X_n] \cap L[ X_1 , \ldots , X_n]^G
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Betrachte die Untergruppe der
\definitionsverweis {Drehmatrizen}{}{,}
die durch die Vierteldrehung
\mathdisp {\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}} { }
erzeugt wird. Bestimme den reellen und den komplexen
\definitionsverweis {Invariantenring}{}{}
zur zugehörigen
\definitionsverweis {linearen Operation}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme zu einer
\definitionsverweis {speziellen unitären Matrix}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} u & - \overline{v} \\ v & \overline{u} \end{pmatrix} \in \operatorname{SU}_{ 2 } \! { \left( {\mathbb C} \right) }} { }
die
\definitionsverweis {Eigenwerte}{}{}
und die
\definitionsverweis {Eigenvektoren}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass zu einer
\definitionsverweis {speziellen unitären Matrix}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} u & - \overline{v} \\ v & \overline{u} \end{pmatrix} \in \operatorname{SU}_{ 2 } \! { \left( {\mathbb C} \right) }} { }
die beiden
\definitionsverweis {Eigenvektoren}{}{,}
aufgefasst in
\mathl{{\mathbb P}^{1}_{{\mathbb C}} \cong S^2}{,}
\definitionsverweis {antipodal}{}{}
sind.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{G
}
{ \subseteq }{ \operatorname{SU}_{ n } \!
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine endliche Untergruppe. Zeige, dass man die natürlich
\definitionsverweis {Operation}{}{}
von $G$ auf dem ${\mathbb C}^n$ auf einen jeden
\definitionsverweis {offenen Ball}{}{}
der Form
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U { \left( 0,r \right) }
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
einschränken kann.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass zu einer
\definitionsverweis {diagonalisierbaren Matrix}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} u & v \\ w & z \end{pmatrix} \in \operatorname{SL}_{ 2 } \! { \left( {\mathbb C} \right) }} { }
die beiden
\definitionsverweis {Eigenvektoren}{}{,}
aufgefasst in
\mathl{{\mathbb P}^{1}_{{\mathbb C}} \cong S^2}{,} nicht
\definitionsverweis {antipodal}{}{}
sein müssen.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Überprüfe, dass die in Vorlesung 24 angegebenen Abbildungen eine
\definitionsverweis {Homöomorphie}{}{} zwischen
\mathl{{\mathbb P}^{1}_{{\mathbb C}}}{} und $S^2$ stiften.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathl{M \in \operatorname{SL}_{ 2 } \! { \left( {\mathbb C} \right) }}{} eine
\definitionsverweis {spezielle Matrix}{}{}
mit der zugehörigen Abbildung
\maabbdisp {\varphi} {{\mathbb P}^{1}_{{\mathbb C}} \cong S^2 } {{\mathbb P}^{1}_{{\mathbb C}} \cong S^2
} {.}
Zeige, dass $\varphi$ keine
\definitionsverweis {längentreue Abbildung}{}{}
und nicht zu einer linearen Abbildung von $\R^3$ nach $\R^3$ fortsetzbar sein muss.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien
\mathl{a,b,c,d}{}
\definitionsverweis {reelle Zahlen}{}{}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a^2+b^2+c^2+d^2
}
{ =} {1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Zeige, das die
\definitionsverweis {Determinante}{}{}
der Matrix
\mathdisp {\begin{pmatrix} a^2+b^2-c^2-d^2 & 2(-ad+bc) & 2( ac+bd) \\ 2(ad+bc) & a^2-b^2+c^2-d^2 & 2(-ab+cd) \\2(-ac+bd) & 2(ab+cd) & a^2-b^2-c^2+d^2 \end{pmatrix}} { }
gleich $1$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die (komponentenweise) komplexe Konjugation einen Gruppenautomorphismus auf
\mathl{\operatorname{SU}_{ 2 } \! { \left( {\mathbb C} \right) } }{} induziert, der unter der in
Satz 7.13
beschriebenen Abbildung
\maabbdisp {} { \operatorname{SU}_{ 2 } \! { \left( {\mathbb C} \right) } } { \operatorname{SO}_{ 3 } \! { \left( \R \right) }
} {,}
mit der Konjugation mit
\mathl{\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\0 & 0 & 1 \end{pmatrix}}{}
auf
\mathl{\operatorname{SO}_{ 3 } \! { \left( \R \right) } }{} verträglich ist. Zeige ferner, dass die komplexe Konjugation auf
\mathl{\operatorname{SU}_{ 2 } \! { \left( {\mathbb C} \right) } }{} auch als Konjugation mit der Matrix
\mathl{\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}}{} realisiert werden kann.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass man die
\definitionsverweis {Kleinsche Vierergruppe}{}{}
nicht als
\definitionsverweis {Untergruppe}{}{}
der
\mathl{\operatorname{SL}_{ 2 } \! { \left( {\mathbb C} \right) }}{,} wohl aber als Untergruppe der
\mathl{\operatorname{GL}_{ 2 } \! { \left( {\mathbb C} \right) }}{} realisieren kann.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Man gebe ein Beispiel von zwei endlichen
\definitionsverweis {Untergruppen}{}{}
\mathl{G,H \subseteq \operatorname{GL}_{ 2 } \! { \left( {\mathbb C} \right) }}{,} die zueinander
\definitionsverweis {isomorph}{}{,}
aber nicht zueinander
\definitionsverweis {konjugiert}{}{}
sind.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Man gebe ein Beispiel von zwei endlichen
\definitionsverweis {Untergruppen}{}{}
\mathl{G,H \subseteq \operatorname{SL}_{ 3 } \! { \left( {\mathbb C} \right) }}{,} die zueinander
\definitionsverweis {isomorph}{}{,}
aber nicht zueinander
\definitionsverweis {konjugiert}{}{}
sind.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die \definitionsverweis {binäre Ikosaedergruppe}{}{} nicht \definitionsverweis {isomorph}{}{} zur \definitionsverweis {Permutationsgruppe}{}{} $S_5$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die \definitionsverweis {Ordnungen}{}{} der Elemente der \definitionsverweis {binären Ikosaedergruppe}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die in Beispiel 7.8, Beispiel 7.9, Beispiel 7.10 und Beispiel 7.11 beschriebenen Gruppen unter dem \definitionsverweis {surjektiven}{}{} \definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{} \maabbdisp {} { \operatorname{SU}_{ 2 } \! { \left( {\mathbb C} \right) } } { \operatorname{SO}_{ 3 } \! { \left( \R \right) } } {} die Urbildgruppen der entsprechenden reellen Gruppen sind.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Wir betrachten die \definitionsverweis {Gruppenoperation}{}{} \maabbeledisp {} { {\mathbb K} ^{\times} \times {\mathbb K}^2 } { {\mathbb K}^2 } {(u,x,y)} { (ux,u^{-1}y) } {.} Bestimme die \definitionsverweis {Bahnen}{}{} der Operation. Ist der \definitionsverweis {Quotient}{}{} \zusatzklammer {versehen mit der \definitionsverweis {Bildtopologie}{}{}} {} {} ein \definitionsverweis {Hausdorff-Raum}{}{?}
}
{} {}