Kurs:Singularitätentheorie (Osnabrück 2019)/Arbeitsblatt 7
Es sei eine Gruppe und eine Menge. Es sei die Gruppe der Permutationen auf . Zeige folgende Aussagen.
Zeige, dass die - Äquivalenz bei einer Gruppenoperation in der Tat eine Äquivalenzrelation ist.
Es sei . Betrachte die Gruppenoperation der -ten Einheitswurzeln durch Multiplikation auf . Bestimme die Bahnen und die Isotropiegruppen dieser Operation. Kann man die Quotientenabbildung durch eine polynomiale Funktion realisieren?
Es sei eine Gruppe, die auf einem kommutativen Ring als Gruppe von Ringautomorphismen operiere. Zeige die folgende Aussagen.
Es sei ein kommutativer Ring mit und . Zeige, dass die Gruppe auf der quadratischen Erweiterung
als Gruppe von - Algebrahomomorphismen operiert, indem durch wirkt. Bestimme den Fixring zu dieser Operation.
Es sei ein kommutativer Ring, auf dem eine Gruppe als Gruppe von Ringautomorphismen operiere. Es sei ein Ideal, das unter der Gruppenoperation invariant ist (es gelte also für und jedes ). Zeige die folgenden Aussagen.
- Es gibt eine natürliche Operation von auf dem Restklassenring .
- Es gibt einen
Ringhomomorphismus
- Die Abbildung aus Teil (2) ist injektiv.
- Wenn endlich ist und einen Körper der Charakteristik enthält, so ist surjektiv.
Es sei eine endliche Untergruppe mit der zugehörigen Operation auf dem affinen Raum . Es sei unendlich. Zeige, dass es eine nichtleere Zariski-offene Teilmmenge derart gibt, dass die Bahnen zu aus Elementen besteht.
Gemäß Aufgabe 7.1
ergibt eine Gruppenoperation für jedes eine Bijektion auf . Wenn zusätzliche Strukturen besitzt, so verlangt man häufig, dass diese Bijektionen diese Strukturen respektieren, also beispielsweise linear oder stetig sind. Man spricht dann von einer linearen oder von einer stetigen Operation oder sagt, dass die Gruppe als Gruppe von Automorphismen oder als Gruppe von Homöomorphismen operiert.
Es sei ein topologischer Raum, auf dem eine Gruppe operiere, wobei zu jedem die Abbildung stetig sei. Zeige, dass dadurch eine Operation (von rechts) von auf dem Ring der stetigen Funktionen als Gruppe von Ringautomorphismen gegeben ist.
Es sei
eine stetige Funktion. Zeige, dass die beiden folgenden Aussagen äquivalent sind.
- Es gibt eine stetige Funktion
mit für alle .
- Für alle -ten Einheitswurzeln (alle ) ist für alle .
- Für alle mit ist für alle .
Wir betrachten die Menge der quadratischen Polynome
über einem Körper , und es sei die Menge der Transformationen vom Typ mit .
a) Zeige, dass auf in natürlicher Weise operiert.
b) Zeige, dass auf durch Multiplikation mit operiert.
c) Zeige, dass die Diskriminante, also der Ausdruck , der einem quadratischen Polynom zugeordnet ist, - verträglich bezüglich dieser beiden Operationen ist.
Es sei ein Körper und eine Gruppe. Dann können wir den Monoidring betrachten. Es sei nun weiter ein -Modul. Zeige, dass
- nichts anderes ist als ein -Vektorraum zusammen mit einem Gruppenhomomorphismus .
- ein -Modulhomomorphismus eine -lineare Abbildung ist, für die zusätzlich für alle gilt.
Bemerkung: heißt dann eine Darstellung von . Solche Darstellungen sind oft einfacher zu handhaben als und man kann mit Hilfe von oft hilfreiche Erkenntnisse über selbst gewinnen.
Es sei eine -te primitive Einheitswurzel. Zeige, dass die zyklische Gruppe
auf der Punktmenge
treu operiert, dass sie bei ungerade auf der Geradenmenge
ebenfalls treu operiert und dass sie bei gerade auf der Geradenmenge
operiert, aber nicht treu. Was ist in diesem Fall der Kern der Operation?
Zeige, dass die binäre Diedergruppe eine zyklische Gruppe der Ordnung ist.
Wir betrachten die binäre Diedergruppe . Zeige, dass bei die von
erzeugte Untergruppe kein Normalteiler ist.
Es sei eine -te primitive Einheitswurzel. Zeige, dass die binäre Diedergruppe auf der Geradenmenge
operiert.
Zeige, dass die in Beispiel 7.7, Beispiel 7.8, Beispiel 7.9 und Beispiel 7.10 beschriebenen Gruppen bereits Untergruppen der sind.
Zeige, dass die Matrix
zu gehört.
Es sei eine endliche Untergruppe und es sei das Standardskalarprodukt auf dem . Zeige, dass durch
ein Skalarprodukt auf definiert wird.
Es sei eine Matrix und
die zugehörige lineare Abbildung. Zeige, dass genau dann unitär ist, wenn die Einheitsmatrix ist.
Zeige, dass die Matrix
zur binären Oktaedergruppe gehört (dabei ist eine primitive achte Einheitswurzel). Gehört sie auch zur binären Tetraedergruppe?
Zeige, dass die binäre Ikosaedergruppe Elemente besitzt.
Es sei und . Betrachte die Untergruppe der Drehmatrizen
Zeige, dass diese Gruppe, aufgefasst in , konjugiert zu aus Beispiel 7.7 ist.
Es sei eine Untergruppe der allgemeinen linearen Gruppe über einem Körper und eine Körpererweiterung. Zeige
Betrachte die Untergruppe der Drehmatrizen, die durch die Vierteldrehung
erzeugt wird. Bestimme den reellen und den komplexen Invariantenring zur zugehörigen linearen Operation.
Zeige, dass zu einer speziellen unitären Matrix
die beiden Eigenvektoren, aufgefasst in , antipodal sind.
Es sei eine endliche Untergruppe. Zeige, dass man die natürlich Operation von auf dem auf einen jeden offenen Ball der Form einschränken kann.
Zeige, dass zu einer diagonalisierbaren Matrix
die beiden Eigenvektoren, aufgefasst in , nicht antipodal sein müssen.
Überprüfe, dass die in Vorlesung 24 angegebenen Abbildungen eine Homöomorphie zwischen und stiften.
Es sei eine spezielle Matrix mit der zugehörigen Abbildung
Zeige, dass keine längentreue Abbildung und nicht zu einer linearen Abbildung von nach fortsetzbar sein muss.
Zeige, dass die (komponentenweise) komplexe Konjugation einen Gruppenautomorphismus auf induziert, der unter der in Satz 7.13 beschriebenen Abbildung
mit der Konjugation mit auf verträglich ist. Zeige ferner, dass die komplexe Konjugation auf auch als Konjugation mit der Matrix realisiert werden kann.
Zeige, dass man die Kleinsche Vierergruppe nicht als Untergruppe der , wohl aber als Untergruppe der realisieren kann.
Man gebe ein Beispiel von zwei endlichen Untergruppen , die zueinander isomorph, aber nicht zueinander konjugiert sind.
Man gebe ein Beispiel von zwei endlichen Untergruppen , die zueinander isomorph, aber nicht zueinander konjugiert sind.
Zeige, dass die binäre Ikosaedergruppe nicht isomorph zur Permutationsgruppe ist.
Bestimme die Ordnungen der Elemente der binären Ikosaedergruppe.
Zeige, dass die in Beispiel 7.8, Beispiel 7.9, Beispiel 7.10 und Beispiel 7.11 beschriebenen Gruppen unter dem surjektiven Gruppenhomomorphismus
die Urbildgruppen der entsprechenden reellen Gruppen sind.
Wir betrachten die Gruppenoperation
Bestimme die Bahnen der Operation. Ist der Quotient (versehen mit der Bildtopologie) ein Hausdorff-Raum?
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