Kurs:Singularitätentheorie (Osnabrück 2019)/Arbeitsblatt 7

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Aufgabe

Es sei eine Gruppe und eine Menge. Es sei die Gruppe der Permutationen auf . Zeige folgende Aussagen.

  1. Wenn auf operiert, so ist die Abbildung

    ein Gruppenhomomorphismus.

  2. Wenn umgekehrt ein Gruppenhomomorphismus

    vorliegt, so wird durch

    eine Gruppenoperation von auf definiert.


Aufgabe

Zeige, dass die -Äquivalenz bei einer Gruppenoperation in der Tat eine Äquivalenzrelation ist.


Aufgabe

Sei . Betrachte die Gruppenoperation der -ten Einheitswurzeln durch Multiplikation auf . Bestimme die Bahnen und die Isotropiegruppen dieser Operation. Kann man die Quotientenabbildung durch eine polynomiale Funktion realisieren?


Aufgabe

Es sei eine Gruppe, die auf einem kommutativen Ring als Gruppe von Ringautomorphismen operiere. Zeige die folgende Aussagen.

  1. Für die Einheiten gilt
  2. Wenn ein Körper ist, so ist auch ein Körper.


Aufgabe

Es sei ein kommutativer Ring mit und . Zeige, dass die Gruppe auf der quadratischen Erweiterung

als Gruppe von -Algebrahomomorphismen operiert, indem durch wirkt. Bestimme den Fixring zu dieser Operation.


Aufgabe

Es sei ein kommutativer Ring, auf dem eine Gruppe als Gruppe von Ringautomorphismen operiere. Es sei ein Ideal, das unter der Gruppenoperation invariant ist (es gelte also für und jedes ). Zeige die folgenden Aussagen.

  1. Es gibt eine natürliche Operation von auf dem Restklassenring .
  2. Es gibt einen Ringhomomorphismus
  3. Die Abbildung aus Teil (2) ist injektiv.
  4. Wenn endlich ist und einen Körper der Charakteristik enthält, so ist surjektiv.


Aufgabe

Es sei eine endliche Untergruppe mit der zugehörigen Operation auf dem affinen Raum . Es sei unendlich. Zeige, dass es eine nichtleere Zariski-offene Teilmmenge derart gibt, dass die Bahnen zu aus Elementen besteht.


Gemäß Aufgabe 7.1 ergibt eine Gruppenoperation für jedes eine Bijektion auf . Wenn zusätzliche Strukturen besitzt, so verlangt man häufig, dass diese Bijektionen diese Strukturen respektieren, also beispielsweise linear oder stetig sind. Man spricht dann von einer linearen oder von einer stetigen Operation oder sagt, dass die Gruppe als Gruppe von Automorphismen oder als Gruppe von Homöomorphismen operiert.

Aufgabe

Es sei ein topologischer Raum, auf dem eine Gruppe operiere, wobei zu jedem die Abbildung stetig sei. Zeige, dass dadurch eine Operation (von rechts) von auf dem Ring der stetigen Funktionen als Gruppe von Ringautomorphismen gegeben ist.


Aufgabe

Es sei

eine stetige Funktion. Zeige, dass die beiden folgenden Aussagen äquivalent sind.

  1. Es gibt eine stetige Funtion

    mit für alle .

  2. Für alle -ten Einheitswurzeln (alle ) ist für alle .
  3. Für alle mit ist für alle .


Aufgabe

Wir betrachten die Menge der quadratischen Polynome

über einem Körper , und es sei die Menge der Transformationen vom Typ mit .

a) Zeige, dass auf in natürlicher Weise operiert.

b) Zeige, dass auf durch Multiplikation mit operiert.

c) Zeige, dass die Diskriminante, also der Ausdruck , der einem quadratischen Polynom zugeordnet ist, -verträglich bezüglich dieser beiden Operationen ist.


Aufgabe

Es sei ein Körper und eine Gruppe. Dann können wir den Monoidring betrachten. Sei nun weiter ein -Modul. Zeige, dass

  1. nichts anderes ist als ein -Vektorraum zusammen mit einem Gruppenhomomorphismus .
  2. ein -Modulhomomorphismus eine -lineare Abbildung ist, für die zusätzlich für alle gilt.

Bemerkung: heißt dann eine Darstellung von . Solche Darstellungen sind oft einfacher zu handhaben als und man kann mit Hilfe von oft hilfreiche Erkenntnisse über selbst gewinnen.

Aufgabe

Es sei eine -te primitive Einheitswurzel. Zeige, dass die zyklische Gruppe

auf der Punktmenge

treu operiert, dass sie bei ungerade auf der Geradenmenge

ebenfalls treu operiert und dass sie bei gerade auf der Geradenmenge

operiert, aber nicht treu. Was ist in diesem Fall der Kern der Operation?


Aufgabe

Zeige, dass die binäre Diedergruppe eine zyklische Gruppe der Ordnung ist.


Aufgabe

Wir betrachten die binäre Diedergruppe . Zeige, dass bei die von

erzeugte Untergruppe kein Normalteiler ist.


Aufgabe

Es sei eine -te primitive Einheitswurzel. Zeige, dass die binäre Diedergruppe auf der Geradenmenge

operiert.


Aufgabe

Zeige, dass die in Beispiel 7.7, Beispiel 7.8, Beispiel 7.9 und Beispiel 7.10 beschriebenen Gruppen bereits Untergruppen der sind.


Aufgabe

Zeige, dass die Matrix

zu gehört.


Aufgabe

Es sei eine endliche Untergruppe und es sei das Standardskalarprodukt auf dem . Zeige, dass durch

ein Skalarprodukt auf definiert wird.


Aufgabe

Es sei eine Matrix und

die zugehörige lineare Abbildung. Zeige, dass genau dann unitär ist, wenn die Einheitsmatrix ist.


Aufgabe

Bestimme die Eigenwerte und die Eigenvektoren der Matrix

mit .


Aufgabe

Zeige, dass die Matrix

zur binären Oktaedergruppe gehört (dabei ist eine primitive achte Einheitswurzel). Gehört sie auch zur binären Tetraedergruppe?


Aufgabe

Zeige, dass die binäre Ikosaedergruppe Elemente besitzt.


Aufgabe

Sei und . Betrachte die Untergruppe der Drehmatrizen

Zeige, dass diese Gruppe, aufgefasst in , konjugiert zu aus Beispiel 7.7 ist.


Aufgabe

Es sei eine Untergruppe der allgemeinen linearen Gruppe über einem Körper und eine Körpererweiterung. Zeige


Aufgabe

Betrachte die Untergruppe der Drehmatrizen, die durch die Vierteldrehung

erzeugt wird. Bestimme den reellen und den komplexen Invariantenring zur zugehörigen linearen Operation.


Aufgabe

Bestimme zu einer speziellen unitären Matrix

die Eigenwerte und die Eigenvektoren.


Aufgabe

Zeige, dass zu einer speziellen unitären Matrix

die beiden Eigenvektoren, aufgefasst in , antipodal sind.


Aufgabe

Es sei eine endliche Untergruppe. Zeige, dass man die natürlich Operation von auf dem auf einen jeden offenen Ball der Form einschränken kann.


Aufgabe

Zeige, dass zu einer diagonalisierbaren Matrix

die beiden Eigenvektoren, aufgefasst in , nicht antipodal sein müssen.


Aufgabe

Überprüfe, dass die in Vorlesung 24 angegebenen Abbildungen eine Homöomorphie zwischen und stiften.


Aufgabe

Es sei eine spezielle Matrix mit der zugehörigen Abbildung

Zeige, dass keine längentreue Abbildung und nicht zu einer linearen Abbildung von nach fortsetzbar sein muss.


Aufgabe

Seien reelle Zahlen mit

Zeige, das die Determinante der Matrix

gleich ist.


Aufgabe

Zeige, dass die (komponentenweise) komplexe Konjugation einen Gruppenautomorphismus auf induziert, der unter der in Satz 7.13 beschriebenen Abbildung

mit der Konjugation mit auf verträglich ist. Zeige ferner, dass die komplexe Konjugation auf auch als Konjugation mit der Matrix realisiert werden kann.


Aufgabe

Zeige, dass man die Kleinsche Vierergruppe nicht als Untergruppe der , wohl aber als Untergruppe der realisieren kann.


Aufgabe

Man gebe ein Beispiel von zwei endlichen Untergruppen , die zueinander isomorph, aber nicht zueinander konjugiert sind.


Aufgabe

Man gebe ein Beispiel von zwei endlichen Untergruppen , die zueinander isomorph, aber nicht zueinander konjugiert sind.


Aufgabe

Zeige, dass die binäre Ikosaedergruppe nicht isomorph zur Permutationsgruppe ist.


Aufgabe

Bestimme die Ordnungen der Elemente der binären Ikosaedergruppe.


Aufgabe

Zeige, dass die in Beispiel 7.8, Beispiel 7.9, Beispiel 7.10 und Beispiel 7.11 beschriebenen Gruppen unter dem surjektiven Gruppenhomomorphismus

die Urbildgruppen der entsprechenden reellen Gruppen sind.


Aufgabe

Wir betrachten die Gruppenoperation

Bestimme die Bahnen der Operation. Ist der Quotient (versehen mit der Bildtopologie) ein Hausdorff-Raum?



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