Kurs:Singularitätentheorie (Osnabrück 2019)/Vorlesung 10/latex
\setcounter{section}{10}
\zwischenueberschrift{Die lokale Fundamentalgruppe von Monoidringen}
In der letzten Vorlesung haben wir gesehen, dass im Falle der ADE-Singularitäten die operierende Gruppe als lokale Fundamentalgruppe des Invariantenringens, also als Fundamentalgruppe des punktierten Quotientenraumes wiederkehrt. Die A-Singularitäten sind Monoidringe der Form
\mathl{{\mathbb C}[X,Y,Z]/ { \left( XY-Z^n \right) }}{,} die operierende Gruppe ist die zyklische Gruppe
\mathl{\Z/(n)}{} und dies ist auch die lokale Fundamentalgruppe. In dieser Vorlesung beschäftigen wir uns generell mit der lokalen Fundamentalgruppe von Monoidringen, wobei wir diese
\zusatzklammer {vergleiche
Lemma 8.2
und
Aufgabe 8.8} {} {}
als Invariantenringe zu einer kommutativen Gruppe und als Ringe der neutralen Stufe einer Gradierung auf einem Polynomring auffassen.
Die Grundidee ist folgende: Wenn $M$ ein Monoid ist und
\maabbdisp {\gamma} {M} {\Z
} {}
ein Monoidhomomorphismus, so induziert dies
nach Korollar 6.8
einen
${\mathbb C}$-\definitionsverweis {Algebrahomomorphismus}{}{}
\maabbdisp {} {{\mathbb C}[M] } { {\mathbb C}[\Z] \cong {\mathbb C}[T,T^{-1}]
} {}
und damit eine
\definitionsverweis {Spektrumsabbildung}{}{}
\maabbdisp {} { \operatorname{Spek} { \left( {\mathbb C}[T,T^{-1}] \right) }} {\operatorname{Spek} { \left( {\mathbb C}[M] \right) }
} {,}
also einen Morphismus der punktierten Geraden in das Spektrum des Monidringes. In der natürlichen Topologie liegt somit eine stetige Abbildung
\maabbdisp {} {{\mathbb C}^\times \cong { \left( \operatorname{Spek} { \left( {\mathbb C}[T,T^{-1}] \right) } \right) }_{\mathbb C} } {Y_{\mathbb C} = { \left( \operatorname{Spek} { \left( {\mathbb C}[M] \right) } \right) }_{\mathbb C}
} {}
vor. Durch Einschränken dieser Abbildung auf den Einheitskreis
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ S^1
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}^\times
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
erhält man eine stetige Abbildung des Kreises nach $Y$
\zusatzklammer {bzw. in eine gewisse offene Teilmenge $U \subseteq Y$} {} {}
und damit einen geschlossenen Weg. Es wird sich herausstellen, dass diese Wege, unter bestimmten Voraussetzungen, zur Berechnung der Fundamentalgruppe entscheidend sind.
Zur weiteren Durchführung dieser Idee sei das Monoid als
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M
}
{ =} { \operatorname{kern} \delta \cap \N^r
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
zu einem surjektiven Gruppenhomomorphismus
\zusatzklammer {einer Graduierung} {} {}
\maabbdisp {\delta} {\Z^r} {D
} {}
gegeben. Dann ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathbb C}[M]
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}[X_1 , \ldots , X_r]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
der Ring der neutralen Stufe in dieser Graduierung und
nach Lemma 8.2
der Invariantenring zur zugehörigen Operation der
\definitionsverweis {Charaktergruppe}{}{}
$D^{ \vee }$ auf
\mathl{{ {\mathbb A}_{ {\mathbb C} }^{ r } }}{.} Die zugehörige Spektrumsabbildung
\maabbdisp {} {{ {\mathbb A}_{ {\mathbb C} }^{ r } } } { \operatorname{Spek} { \left( {\mathbb C}[M] \right) }
} {}
induziert, wenn man sie auf geeignete offene Teilmengen einschränkt, in der natürlichen Topologie eine Überlagerung, mit deren Hilfe man in vielen Fällen
\zusatzklammer {aber nicht ohne weitere Voraussetzungen} {} {}
die lokale Fundamentalgruppe von
\mathl{\operatorname{Spec} { \left( {\mathbb C}[M] \right) }_{\mathbb C}}{} berechnen kann. Eine wichtige Voraussetzung ist, dass $D$ endlich ist. Die Formulierung im folgenden Satz ist ziemlich aufwändig, vereinfacht sich aber wesentlich, wenn man an
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{r
}
{ = }{2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{T
}
{ = }{ \{(0,0)\}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
denkt.
\inputfaktbeweis
{Monoidring/C/Graduierung/Endlicher Kokern/Fundamentalgruppe/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei $D$ eine kommutative
\definitionsverweis {endliche Gruppe}{}{}
und
\maabb {\delta} {\Z^r} {D
} {}
ein
\definitionsverweis {surjektiver}{}{}
\definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ r
}
{ \geq }{ 2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Diesen Gruppenhomomorphismus fassen wir als
$D$-\definitionsverweis {Graduierung}{}{}
auf dem
\definitionsverweis {Polynomring}{}{}
\mathl{{\mathbb C}[X_1 , \ldots , X_r ]}{} und als Operation der
\definitionsverweis {Charaktergruppe}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{G
}
{ = }{ D^{ \vee }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
auf dem ${\mathbb C}^r$ auf. Es sei $\Gamma$ der
\definitionsverweis {Kern}{}{}
von $\delta$,
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M
}
{ = }{ \Gamma \cap \N^r
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
das zugehörige Monoid und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{{\mathbb C}[M]
}
{ \subseteq} { {\mathbb C}[X_1 , \ldots , X_r]
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die zugehörige Inklusion des Monoidringes. Es sei
\maabbdisp {q} { {\mathbb C}^r} { Y = \operatorname{Spek} { \left( {\mathbb C}[M] \right) }_{\mathbb C}
} {}
die zugehörige
\definitionsverweis {Quotientenabbildung}{}{.}}
\faktvoraussetzung {Es sei eine
\definitionsverweis {Zariski-abgeschlossene}{}{}
$G$-\definitionsverweis {invariante}{}{}
Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{T
}
{ \subset }{{\mathbb C}^r
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart gegeben, dass $T$ ganz in der Vereinigung der Achsenhyperebenen liegt, dass $T$ mindestens die
Kodimension
$2$ besitzt und dass die induzierte Operation von $G$ auf
\mathl{{\mathbb C}^r \setminus T}{}
\definitionsverweis {fixpunktfrei}{}{}
sei.}
\faktuebergang {Dann gelten folgende Aussagen.}
\faktfolgerung {\aufzaehlungvier{Die
\definitionsverweis {Fundamentalgruppe}{}{}
von
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{Y \setminus q(T)
}
{ =} { { \left( {\mathbb C}^r \setminus T \right) } / G
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist $G$.
}{Es sei
\mathl{m \in \N_+}{} derart, dass\zusatzfussnote {Ein solches $m$ gibt es stets} {.} {}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ m \Z^r
}
{ \subseteq }{ \Gamma
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist. Die Zuordnung
\maabbeledisp {F} { \operatorname{Hom} \left( \Gamma , \Z \right)} { \operatorname{Hom} \left( \Z^r , {\mathbb C}^{\times} \right)
} {\gamma } { F(\gamma) = { \left( e_j \mapsto e^{ { \frac{ 2 \pi { \mathrm i} \gamma (m e_j) }{ m } } } \right) }
} {,}
induziert einen
\definitionsverweis {Gruppenisomorphismus}{}{}
\maabbdisp {} { \operatorname{Hom} \left( \Gamma , \Z \right)/ \operatorname{bild} \left( \operatorname{Hom} \left( \Z^r , \Z \right) \right) } { G
} {.}
}{Die zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \gamma
}
{ \in }{ \operatorname{Hom} \left( \Gamma , \Z \right)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gehörende Abbildung
\maabbeledisp {\gamma^*} {{\mathbb C}^{\times} } { { \left( {\mathbb C}^{\times} \right) }^r \subseteq Y \setminus q(T)
} {t} { (t^{\gamma(u_1)} , \ldots , t^{\gamma(u_r)} )
} {,}
\zusatzklammer {$u_j$ sei eine Basis von \mathlk{\Gamma \cong \Z^r}{}} {} {}
ergibt durch Einschränkung auf
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{S^1
}
{ \subseteq }{{\mathbb C}^{\times}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
einen stetigen geschlossenen Weg
\maabbdisp {} {[0, 2 \pi ]} { Y \setminus q(T)
} {.}
}{Die
\definitionsverweis {Liftung des Weges}{}{}
aus (3) nach
\mathl{{\mathbb C}^r \setminus T}{} mit dem Anfangspunkt
\mathl{(1 , \ldots , 1)}{} ist durch
\maabbeledisp {} {[0, 2 \pi ]} { {\mathbb C}^r \setminus T
} {s} { \left( e^{ { \frac{ { \mathrm i} s \gamma(m e_1) }{ m } } } , \, \ldots , \, e^{ { \frac{ { \mathrm i} s \gamma(m e_r) }{ m } } } \right)
} {,}
gegeben. Der Weg
\mathl{\gamma^*{{|}}_{S^1}}{} repräsentiert das nach (2) zu $\gamma$ gehörende Element in der Fundamentalgruppe $G$.
}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
\teilbeweis {}{}{}
{(1) folgt aus
Satz 9.6,
da
\mathl{{\mathbb C}^r \setminus T}{} wegen der Bedingung an die Kodimension\zusatzfussnote {Dies beruht auf dem Satz, dass bei einer reellen Mannigfaltigkeit $M$ und einer abgeschlossenen Untermannigfaltigkeit
\mathl{N \subseteq M}{} der reellen Kodimension $\geq 3$ die natürliche Abbildung
\maabb {} { \pi_1(M \setminus N) } { \pi_1(M)
} {}
ein Isomorphismus ist. In unserer Situation ist die reelle Kodimension zumindest $4$, allerdings ist $T$ nicht unbedingt eine glatte Untervarietät. Man kann aber mit einer Stratifizierung von $T$ durch glatte Untervarietäten arbeiten und so das Ergebnis erhalten} {.} {}
\definitionsverweis {einfach zusammenhängend}{}{}
und die Operation darauf nach Voraussetzung fixpunktfrei ist.}
{}
\teilbeweis {}{}{}
{(2). Die Abbildung $F$ ist wegen der Funktionalgleichung der Exponentialfunktion ein Gruppenhomomorphismus. Die Abbildung
\mathl{F(\gamma)}{} ist auf der Untergruppe
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Gamma
}
{ \subseteq }{\Z^r
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
trivial. Für
\mathl{u \in \Gamma}{} ist ja
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\gamma(m u)
}
{ = }{ m \gamma (u)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und somit ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ e^{ { \frac{ 2 \pi { \mathrm i} \gamma (m u) }{ m } } }
}
{ =} { e^{ { \frac{ 2 \pi { \mathrm i} m \gamma ( u) }{ m } } }
}
{ =} { e^{ 2 \pi { \mathrm i} \gamma ( u) }
}
{ =} { 1
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Daher ist
\mathl{F(\gamma)}{} in natürlicher Weise ein Gruppenhomomorphismus
\maabbdisp {} {\Z^r/\Gamma \cong D} { {\mathbb C}^{\times}
} {,}
also ein Charakter auf $D$. Zur Bestimmung des Kerns von $F$ sei zunächst $\gamma$ die Einschränkung eines Gruppenhomomorphismus
\maabbdisp {\tilde{\gamma}} {\Z^r} {\Z
} {}
auf
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Gamma
}
{ \subseteq }{\Z^r
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Doch dann ist natürlich
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \gamma(me_j)
}
{ = }{ m \tilde{\gamma}(e_j)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für die Basis $e_j$ von $\Z^r$ und somit ist der zugehörige Charakter trivial. Wenn umgekehrt der zugehörige Charakter trivial ist, so muss
\mathl{{ \frac{ \gamma(me_j) }{ m } } \in \Z}{} für jedes $e_j$ gelten. Doch dann ist durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \tilde{\gamma} (e_j)
}
{ \defeq} { { \frac{ \gamma(me_j) }{ m } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
eine Fortsetzung von $\gamma$ nach $\Z^r$ gegeben. Es liegt also ein injektiver Gruppenhomomorphismus
\maabbdisp {} { \operatorname{Hom} \left( \Gamma , \Z \right) / \operatorname{bild} \left( \operatorname{Hom} \left( \Z^r , \Z \right) \right) } { G
} {}
vor. Die Surjektivität folgt aus
Aufgabe 10.5.}
{}
\teilbeweis {}{}{}
{(3). Der
\definitionsverweis {Monoidhomomorphismus}{}{}
\mathdisp {M \hookrightarrow \Gamma \stackrel{\gamma}{\longrightarrow} \Z} { }
führt zu einem
${\mathbb C}$-\definitionsverweis {Algebrahomomorphismus}{}{}
\maabbdisp {} {{\mathbb C}[M]} { {\mathbb C}[\Z] \cong {\mathbb C}[W,W^{-1}]
} {}
und damit zu einem Morphismus der zugehörigen
Spektren,
der ${\mathbb C}$-\definitionsverweis {Spektren}{}{,}
und der entsprechenden metrischen Räume, also zu einer
\zusatzklammer {in der natürlichen Topologie} {} {}
stetigen Abbildung
\maabbdisp {\gamma^*} { {\mathbb C}^{\times} } {Y = \operatorname{Spek} { \left( {\mathbb C}[M] \right) }_{\mathbb C}
} {.}
Da diese Abbildung über
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \operatorname{Spek} { \left( {\mathbb C}[\Gamma] \right) }_{\mathbb C}
}
{ \cong }{ { \left( {\mathbb C}^{\times} \right) }^r
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
faktorisiert, liegt das Bild dieser Abbildung ganz in
\mathl{Y \setminus q(T)}{.} Die Einschränkung auf den Einheitskreis
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{S^1
}
{ \subseteq }{{\mathbb C}^{\times}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist natürlich ebenfalls stetig.}
{}
\teilbeweis {}{}{}
{(4). Wir haben ein kommutatives Diagramm
\mathdisp {\begin{matrix} M & \stackrel{ }{\longrightarrow} & \Gamma & \stackrel{ \gamma }{\longrightarrow} & \Z & \\ \downarrow & & \downarrow & & \downarrow \cdot m \!\!\!\!\! \!\!\!\!\! & & \\ \N^r & \stackrel{ }{\longrightarrow} & \Z^r & \stackrel{ \tilde{\gamma} }{\longrightarrow} & \Z &\!\!\!\!\! , \\ \end{matrix}} { }
wobei $\tilde{\gamma}$
durch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \tilde{\gamma}(e_j)
}
{ \defeq }{\gamma(m e_j)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
definiert ist. Diesem Diagramm entspricht das Diagramm
\mathdisp {\begin{matrix} {\mathbb C}^{\times} & \stackrel{ \tilde{\gamma}^* }{\longrightarrow} & {\mathbb C}^r & \\ \!\!\!\!\! \!\!\!\!\! {t}^m \downarrow & & \downarrow & \\ {\mathbb C}^{\times} & \stackrel{ \gamma^* }{\longrightarrow} & Y & \!\!\!\!\! . \\ \end{matrix}} { }
Die Liftung spielt sich nun im Wesentlichen links ab, d.h. es muss der einfach geschlossene Weg
\maabbeledisp {\iota} {[0,2 \pi]} { {\mathbb C}^\times
} {s} {e^{s { \mathrm i} }
} {,}
bezüglich der $m$-ten Potenz
\mathl{t \mapsto t^m}{} geliftet werden. Dies geschieht aber durch die Zuordnung
\maabbeledisp {\tilde{\iota}} {[0,2 \pi]} { {\mathbb C}^{\times}
} {s} { e^{ { \frac{ s { \mathrm i} }{ m } } }
} {.}
Die $j$-te Komponente des Endpunkts dieser Liftung in ${\mathbb C}^r$ ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \tilde{\gamma}_j^* \tilde{\iota} (2 \pi)
}
{ =} { \tilde{\gamma}_j^* { \left( e^{ { \frac{ 2 \pi { \mathrm i} }{ m } } } \right) }
}
{ =} { { \left( e^{ { \frac{ 2 \pi { \mathrm i} }{ m } } } \right) }^{ \tilde{\gamma} (e_j) }
}
{ =} { { \left( e^{ { \frac{ 2 \pi { \mathrm i} }{ m } } } \right) }^{ \gamma (m e_j) }
}
{ =} { e^{ { \frac{ 2 \pi { \mathrm i} \gamma (m e_j) }{ m } } }
}
}
{}{}{.}
Durch diese Zahlen ist auch der zu $\gamma$ gehörende Charakter
\mathl{F(\gamma)}{} aus Teil (2) gegeben.}
{}
\inputbemerkung
{}
{
Wir betrachten eine
\definitionsverweis {Graduierung}{}{}
des
\definitionsverweis {Polynomringes}{}{}
\mathl{{\mathbb C}[X_1 , \ldots , X_r]}{} durch einen
\definitionsverweis {surjektiven}{}{}
\definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{}
\maabbdisp {\delta} {\Z^r} { \Z/(\ell) \defeq D
} {}
in eine endliche
\definitionsverweis {zyklische Gruppe}{}{.}
Es sei vorausgesetzt, dass
\mathl{\delta(e_j)}{} ein
\definitionsverweis {Erzeuger}{}{}
von
\mathl{\Z/(\ell)}{} für jeden Standardvektor
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ e_j }
{ \in }{ \Z^r
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist. Dann ist die
zugehörige Operation
der Charaktergruppe
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{G
}
{ = }{ D^{ \vee }
}
{ = }{ \mu_{ \ell } { \left( {\mathbb C} \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
auf
\mathl{{\mathbb C}^r \setminus \{0\}}{}
\definitionsverweis {fixpunktfrei}{}{.}
Zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x_j
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Für jeden Charakter
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \chi
}
{ \neq }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\chi( x )
}
{ =} { ( \ldots, \chi(\delta(e_j) ) x_j , \ldots)
}
{ \neq} { ( \ldots, x_j , \ldots)
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
da
\mathl{\delta(e_j)}{} nach Voraussetzung ein Erzeuger ist und somit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \chi(\delta(e_j) )
}
{ \neq }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist. Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ r
}
{ \geq }{ 2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist in einem solchen Fall die Fundamentalgruppe von
\mathdisp {\operatorname{Spek} { \left( {\mathbb C}[X_1 , \ldots , X_r]^G \right) }_{\mathbb C} \setminus \{P\}} { }
\zusatzklammer {wobei $P$ das Bild des Nullpunktes sei} {} {}
aufgrund von
Satz 10.1
gleich
\mathl{\Z/(\ell)}{.}
}
\inputbeispiel{}
{
Wir betrachten die durch
\maabbdisp {\delta} {\Z^2} { \Z/(\ell) \defeqr D
} {}
mit
\mathdisp {\delta(e_1) = 1 ,\, \delta(e_2) = \ell -1} { }
gegebene Graduierung auf
\mathl{{\mathbb C}[U,V]}{,} die der
\definitionsverweis {linearen Operation}{}{}
der Matrizen
\mathdisp {\begin{pmatrix} \zeta^{i} & 0 \\ 0 & \zeta^{-i} \end{pmatrix} ,\, i = 1 , \ldots , \ell-1} { }
zu einer $\ell$-ten
\definitionsverweis {primitiven Einheitswurzel}{}{}
$\zeta$ entspricht, vergleiche dazu
Beispiel 8.3.
Der Kern ist durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Gamma
}
{ =} { \langle \ell e_1, e_1+e_2 \rangle
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und das Monoid durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ M
}
{ =} { \langle \ell e_1, \ell e_2, e_1+e_2 \rangle
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gegeben, der
\definitionsverweis {Invariantenring}{}{}
ist
\mathl{{\mathbb C}[X,Y,Z]/{ \left( XY-Z^\ell \right) }}{.} Die Bedingungen von
Bemerkung 10.2
sind dabei erfüllt, es ist also
\mathl{0 \in {\mathbb C}^2}{} der einzige Fixpunkt und die Operation auf
\mathl{{\mathbb C}^2 \setminus \{0\}}{} ist
\definitionsverweis {fixpunktfrei}{}{.}
Daher kann man
Satz 10.1
anwenden und erhält, dass die Fundamentalgruppe des punktierten Spektrum des Invariantenringes, also
\mathdisp {\operatorname{Spek} { \left( {\mathbb C}[X,Y,Z]/ { \left( XY - Z^\ell \right) } \right) }_{\mathbb C} \setminus \{P\}} { , }
gleich
\mathl{\Z/(\ell)}{} ist. Ein erzeugendes Element der Fundamentalgruppe wird auf der Monoidebene
\zusatzklammer {bzw. auf dem Differenzengitter} {} {}
durch
\maabbdisp {\gamma} {\Gamma = \operatorname{kern} \delta } { \Z
} {}
mit
\mathdisp {\gamma(\ell e_1) =1,\, \gamma( e_1+e_2) = 0 \text{ und } \gamma(\ell e_2) =-1} { }
gegeben. Dieser Homomorphismus lässt sich nicht nach $\Z^2$ fortsetzen, allerdings lässt sich das $\ell$-fache davon fortsetzen. Auf der Ringebene entspricht dies dem
${\mathbb C}$-\definitionsverweis {Algebrahomomorphismus}{}{}
\maabbdisp {\varphi} { {\mathbb C}[X,Y,Z]/ { \left( XY - Z^\ell \right) } } {{\mathbb C}[T,T^{-1}]
} {}
mit
\mathl{\varphi(X)= T}{,}
\mathl{\varphi(Y)= T^{-1}}{} und
\mathl{\varphi(Z)=1}{,} was wiederum der stetigen Abbildung
\maabbeledisp {} { {\mathbb C}^{\times} } { \operatorname{Spek} { \left( {\mathbb C}[X,Y,Z]/(XY - Z^\ell) \right) }_{\mathbb C} = V { \left( XY-Z^\ell \right) }
} { t} { (t,t^{-1},1)
} {,}
\zusatzklammer {bzw. ins punktierte Spektrum} {} {} entspricht. Somit ist
\maabbeledisp {} {[0,2 \pi]} { \operatorname{Spek} { \left( {\mathbb C}[X,Y,Z]/ { \left( XY - Z^\ell \right) } \right) }_{\mathbb C} \setminus \{P\}
} {s} { \left( e^{ { \mathrm i} s} , \, e^{- { \mathrm i} s} , \, 1 \right)
} {,}
ein Erzeuger der
\definitionsverweis {lokalen Fundamentalgruppe}{}{}
dieses Monoidringes.
}
\inputdefinition
{}
{
Es sei $A$ eine
$\Z$-\definitionsverweis {graduierte}{}{}
$R$-\definitionsverweis {Algebra}{}{} und
\mathl{s \in \N_+}{.} Dann nennt man
\mathdisp {A^{( s )} \defeq \oplus_{n \in \Z} A_{ s n} \subseteq A} { }
den $s$-ten
\definitionswort {Veronese-Ring}{} von $A$.
}
Der Veronese-Ring zu
\mathl{K[U,V]}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ s
}
{ = }{3
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist beispielsweise
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K[U^3,U^2V,UV^2,V^3]
}
{ \subseteq }{ K[U,V]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
\inputbeispiel{}
{
Wir betrachten die durch
\maabbdisp {\delta} {\Z^r} { \Z/(\ell) \defeqr D
} {}
mit
\mathdisp {\delta(e_j) = 1 \text{ für alle } j} { }
gegebene Graduierung auf
\mathl{{\mathbb C}[X_1 , \ldots , X_r]}{,} die der
\definitionsverweis {linearen Operation}{}{}
der Matrizen
\mathdisp {\begin{pmatrix} \zeta^{ i } & 0 & \cdots & \cdots & 0 \\ 0 & \zeta^{ i } & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots \\ 0 & \cdots & 0 & \zeta^{ i } & 0 \\ 0 & \cdots & \cdots & 0 & \zeta^{ i } \end{pmatrix} ,\, i =1 , \ldots , \ell-1} { , }
zu einer $\ell$-ten
\definitionsverweis {primitiven Einheitswurzel}{}{}
$\zeta$ entspricht. Nach
Aufgabe 10.14
ist der
\definitionsverweis {Invariantenring}{}{}
zu dieser Operation der $\ell$-te
\definitionsverweis {Veronese-Ring}{}{}
\mathdisp {{\mathbb C}[X_1 , \ldots , X_r]^{(\ell)}} { . }
Die Bedingungen von
Bemerkung 10.2
sind dabei erfüllt, es ist also
\mathl{0 \in {\mathbb C}^r}{} der einzige Fixpunkt und die Operation auf
\mathl{{\mathbb C}^r \setminus \{0\}}{} ist
\definitionsverweis {fixpunktfrei}{}{.}
Daher kann man bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ r
}
{ \geq }{ 2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
Satz 10.1
anwenden und erhält, dass die Fundamentalgruppe des punktierten Spektrum des Invariantenringes, also
\mathdisp {\operatorname{Spek} { \left( {\mathbb C}[X_1 , \ldots , X_r ]^{(\ell)} \right) }_{\mathbb C} \setminus \{P\}} { , }
gleich
\mathl{\Z/(\ell)}{} ist. Ein erzeugendes Element der Fundamentalgruppe wird auf der Monoidebene
\zusatzklammer {bzw. auf dem Differenzengitter} {} {}
durch den Homomorphismus
\maabbdisp {\gamma} {\Gamma = \operatorname{kern} \delta } { \Z
} {}
gegeben, der die Erzeuger $e_j$ des umgebenden $\Z^r$ auf ${ \frac{ 1 }{ \ell } }$ abbildet. Somit wird jeder Erzeuger des Monoids auf $1$ abgebildet. Auf der Ringebene entspricht dies dem
${\mathbb C}$-\definitionsverweis {Algebrahomomorphismus}{}{}
\maabbdisp {\varphi} { {\mathbb C}[X_1 , \ldots , X_r ]^{(\ell)} } {{\mathbb C}[T,T^{-1}]
} {}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi { \left( X^\nu \right) }
}
{ =} {T^{ { \frac{ \betrag { \nu } }{ \ell } } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle Monome $X^\nu$ aus dem Veronese-Ring
\zusatzklammer {die Erzeuger des Veronese-Ringes, also die Monome
\mathbed {X^{\nu}} {}
{\betrag { \nu } = \ell} {}
{} {} {} {,}
werden einfach auf $W$ abgebildet} {} {.}
Dies führt wiederum zur stetigen Abbildung
\maabbeledisp {} { {\mathbb C}^{\times} } { \operatorname{Spek} { \left( {\mathbb C}[X_1 , \ldots , X_r]^{(\ell)} \right) }_{\mathbb C}
} { t} { (t : \, \betrag { \nu } = \ell )
} {}
\zusatzklammer {bzw. ins punktierte Spektrum} {} {.}
Somit ist
\maabbeledisp {} {[0,2 \pi]} { \operatorname{Spek} { \left( {\mathbb C}[X_1 , \ldots , X_r]^{(\ell)} \right) }_{\mathbb C} \setminus \{P\}
} {s} { { \left( e^{ { \mathrm i} s } :\, \betrag { \nu } = \ell \right) }
} {,}
ein Erzeuger der
\definitionsverweis {lokalen Fundamentalgruppe}{}{}
des Veronese-Ringes.
}
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {3D coordinate system.svg} }
\end{center}
\bildtext {Außerhalb der drei schwarzen Achsen, die Kodimension $2$ besitzen, ist die Operation fixpunktfrei. Die relevanten Wege verlaufen ganz im Komplement der drei Ebenen. Das reelle Bild lässt nicht erkennen, dass dieses Komplement im komplexen
\zusatzklammer {auch einfach} {} {} zusammenhängend ist.} }
\bildlizenz { 3D coordinate system.svg } {} {Sakurambo} {Commons} {CC-by-sa 3.0} {}
\inputbeispiel{}
{
Wir betrachten die durch
\maabbdisp {\delta} {\Z^3} { \Z/(2) \times \Z/(2) \defeqr D
} {}
mit
\mathdisp {\delta(e_1) = (1,0),\, \delta(e_2) = (0,1),\, \delta(e_3) = (1,1)} { }
festgelegte
\definitionsverweis {Graduierung}{}{}
auf
\mathl{{\mathbb C}[U,V,W]}{.} Die zugehörige
\definitionsverweis {lineare Operation}{}{}
auf dem ${\mathbb C}^3$ ist durch die Matrizen
\mathdisp {\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\0 & 0 & 1 \end{pmatrix} ,\, \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\0 & 0 & -1 \end{pmatrix} ,\, \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\0 & 0 & -1 \end{pmatrix} ,\, \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\0 & 0 & 1 \end{pmatrix}} { }
gegeben. Die drei letzten Matrizen besitzen jeweils eine Fixgerade, daher ist die Operation auf
\mathl{{\mathbb C}^3 \setminus \{0\}}{} nicht
\definitionsverweis {fixpunktfrei}{}{,}
dagegen ist die Operation auf
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{X
}
{ = }{ {\mathbb C}^3 \setminus Z
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
wobei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Z
}
{ = }{ {\mathbb C} e_1 \cup {\mathbb C} e_2 \cup {\mathbb C} e_3
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Vereinigung der Achsen bezeichnet, frei. Da $Z$ die
\zusatzklammer {komplexe} {} {}
Kodimension
$2$ besitzt, ist $X$
\definitionsverweis {einfach zusammenhängend}{}{.}
Der Invariantenring ist
\mathl{{\mathbb C}[U^2,V^2,W^2,UVW]}{} mit der Relation
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ (UVW)^2
}
{ = }{ U^2V^2W^2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Daher ist nach
Satz 10.1
die Fundamentalgruppe von
\mathl{\operatorname{Spek} { \left( {\mathbb C}[U^2,V^2,W^2,UVW] \right) }_{\mathbb C} \setminus q(Z)}{} gleich
\mathl{\Z/(2) \times \Z/(2)}{.}
}
\inputbeispiel{}
{
Zum Restklassenhomomorphismus
\maabbdisp {\delta} {\Z} { \Z/(\ell) \defeqr D
} {}
ist der Kern durch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Gamma
}
{ = }{\Z \ell
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gegeben. Die zugehörige Operation ist die von
\mathl{\mu_{ \ell } { \left( {\mathbb C} \right) }}{} auf ${\mathbb C}$ durch Multiplikation mit dem einzigen Fixpunkt $0$ bzw. fixpunktfrei auf ${\mathbb C}^{\times}$. Die Quotientenabbildung ist durch das $\ell$-te Potenzieren
\maabbeledisp {} {{\mathbb C}} {{\mathbb C}
} {z} {z^\ell
} {,}
gegeben. Die
\definitionsverweis {Fundamentalgruppe}{}{}
von ${\mathbb C}^{\times}$ ist bekanntlich $\Z$. Hier kann man
Satz 10.1
nicht anwenden, da der Raum, auf dem fixpunktfrei operiert wird, nämlich
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{{\mathbb C}^{\times}
}
{ = }{ {\mathbb C} \setminus \{0\}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
nicht
\definitionsverweis {einfach zusammenhängend}{}{}
ist.
}
\inputbeispiel{}
{
Wir betrachten die durch
\maabbdisp {\delta} {\Z^2} { \Z/(2) \times \Z/(2) \defeqr D
} {}
mit
\mathdisp {\delta(e_1) = (1,0),\, \delta(e_2) = (0,1)} { }
festgelegte
\definitionsverweis {Graduierung}{}{}
auf
\mathl{{\mathbb C}[U,V]}{.} Die zugehörige
\definitionsverweis {lineare Operation}{}{}
auf dem ${\mathbb C}^2$ ist durch die Matrizen
\mathdisp {\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} ,\, \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} ,\, \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} ,\, \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}} { }
gegeben. Die beiden mittleren Matrizen besitzen jeweils eine Fixgerade, daher ist die Operation auf
\mathl{{\mathbb C}^2 \setminus \{0\}}{} nicht
\definitionsverweis {frei}{}{.}
Die Operation auf
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{X
}
{ = }{ {\mathbb C}^2 \setminus Z
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
wobei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Z
}
{ = }{ {\mathbb C} e_1 \cup {\mathbb C} e_2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
das Achsenkreuz bezeichnet, ist frei, doch besitzt $Z$ die
Kodimension
$1$ in der Ebene. Der Invariantenring ist
\mathl{{\mathbb C}[U^2,V^2]}{,} ein Polynomring in zwei Variablen,
Satz 10.1
ist in diesem Fall nicht anwendbar.
}