Kurs:Studienprojekt:Modultheorie über Hauptidealbereichen (Osnabrück 2011-2012)/Zerlegung von Moduln über Hauptidealbereichen/Textabschnitt/latex
\setcounter{section}{4}
\zwischenueberschrift{Torsionsfreie Moduln}
\inputfaktbeweis
{Modultheorie/Ideale_r_Erzeuger/Modul_n_Erzeuger/Untermoduln_nr_Erzeuger/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{,}
in dem jedes
\definitionsverweis {Ideal}{}{}
von höchstens $r$ Elementen erzeugt werden kann. Es sei außerdem $M$ ein
$R$-\definitionsverweis {Modul}{}{}
mit $n$ Erzeugern.}
\faktfolgerung {Dann besitzt jeder
\definitionsverweis {Untermodul}{}{}
\mathl{U\subseteq M}{} ein
\definitionsverweis {Erzeugendensystem}{}{}
aus höchstens
\mathl{n\cdot r}{} Elementen.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Wir führen Induktion über $n$. Der Induktionsanfang $(n=0)$ ist klar, denn der \definitionsverweis {Nullmodul}{}{,} der von $0$ Elementen erzeugt wird, hat nur sich selbst als \definitionsverweis {Untermodul}{}{.}
Es sei der Sachverhalt also für Moduln, die von weniger als $n$ Elementen erzeugt werden, bewiesen. Es sei $U\subseteq M$ ein Untermodul eines Moduls $M$ mit $n$ Erzeugern
\mathl{x_1,\ldots,x_n}{.}
Wir betrachten
\mathl{M/Rx_1}{.} Es sei
\mathl{p}{} die zugehörige kanonische Projektion. Diese hat die Eigenschaft
\mathl{\operatorname{kern}p=Rx_1}{.} Der Restklassenmodul
\mathl{M/Rx_1}{} wird von
\mathl{[x_2],\ldots,[x_n]}{} erzeugt. Nach Induktionsvoraussetzung hat daher
\mathl{p(U)}{} ein Erzeugendensystem mit
\mathl{(n-1)\cdot r}{} Erzeugern:
\mathbeddisp {[y_j]} {}
{1 \leq j \leq (n-1)\cdot r} {}
{} {} {} {,}
wobei die
\mathl{y_{j}}{} aus $U$ gewählt seien.
\mathl{(\operatorname{kern}p) \cap U \subseteq Rx_1}{} ist ein Untermodul von
\mathl{Rx_1\cong R/\operatorname{Ann}_R(x_1)}{} und damit gemäß Lemma 2.2 isomorph zu einem
\definitionsverweis {Ideal}{}{} von $R/\operatorname{Ann}_R(x_1)$. Ein Ideal von
\mathl{R/\operatorname{Ann}_R(x_1)}{} ist bezüglich der
\definitionsverweis {kanonischen Projektion}{}{} das Bild eines Ideals in $R$ und für alle Ideale in $R$ gibt es nach Voraussetzung ein Erzeugendensystem aus $r$ Elementen. Deshalb kann der Untermodul
\mathl{(\operatorname{kern} p) \cap U}{} von $r$ Elementen
\mathdisp {z_{1}=c_1x_1,\ldots,z_{r}=c_rx_1} { }
erzeugt werden, wobei die $c_i$ aus dem Ideal stammen.
Wir behaupten, dass $U$ von den
\mathbed {z_i} {}
{1 \leq i \leq r} {}
{} {} {} {,} und den
\mathbed {y_j} {}
{1 \leq j \leq (n-1)r} {}
{} {} {} {,} zusammen erzeugt wird. Es sei dazu
\mathl{u \in U}{.} Dann ist
\mathl{p(u) = \sum_{j =1}^{(n-1)r} a_j p(y_j)}{} und somit ist
\mathdisp {u - \sum _{j = 1}^{(n-1)r} a_j y_j \in (\operatorname{kern} p) \cap U} { . }
Also ist
\mathdisp {u - \sum _{j = 1}^{(n-1)r} a_j y_j = \sum_{i=1}^r b_i z_i} { }
und $u$ lässt sich als Linearkombination der angegebenen
\mathl{nr}{} Elemente schreiben.
\inputfaktbeweis
{Modultheorie/Hauptidealbereich/Modul_n_Erzeuger/Untermoduln_n_Erzeuger/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {Hauptidealbereich}{}{}
und $M$ ein
$R$-\definitionsverweis {Modul}{}{}
mit $n$ Erzeugern.}
\faktfolgerung {Dann besitzt jeder
\definitionsverweis {Untermodul}{}{}
\mathl{U\subseteq M}{} ein
\definitionsverweis {Erzeugendensystem}{}{}
aus höchstens
\mathl{n}{} Elementen.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Dies folgt direkt aus Lemma 4.1.
\inputfaktbeweis
{Modultheorie/Hauptidealbereiche/endliche_torsionsfreie_Moduln_sind_frei/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {Hauptidealbereich}{}{}}
\faktvoraussetzung {und $M$ ein
\definitionsverweis {endlicher}{}{}
\definitionsverweis {torsionsfreier}{}{}
\definitionsverweis {Modul}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist $M$
\definitionsverweis {frei}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Wir führen Induktion über die Anzahl $n$ der Erzeugenden der endlichen, torsionsfreien Moduln. Für
\mathl{n=0}{} gibt es nur den
\definitionsverweis {Nullmodul}{}{,} der trivialerweise frei ist.
Es sei daher jeder endliche, torsionsfreie Modul mit weniger als n Erzeugern frei. Es sei
\mathl{M = Ax_1+\ldots+Ax_n}{} torsionsfrei.
Sind die Erzeuger $x_1,\ldots,x_n$ \definitionsverweis {linear unabhängig}{}{,} so handelt es sich um eine \definitionsverweis {Basis}{}{} und wir sind fertig.
Sind die Erzeuger nicht linear unabhängig, so gibt es eine nichttriviale Relation
\mathl{a_1x_1+\cdots+a_nx_n=0}{,} wobei o.B.d.A. $a_1\neq 0$ ist.
Es sei $m\in M$ ein beliebiges Element mit einer Darstellung
\mathl{m = b_1x_1+\cdots+b_nx_n}{.} Dann gilt
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{a_1m
}
{ =} {b_1a_1x_1+\cdots+b_na_1x_n
}
{ =} {-b_1(a_2x_2+\cdots+a_nx_n)+b_2a_1x_2+\cdots+b_na_1x_n
}
{ =} {(b_2a_1-b_1a_2)x_2+\cdots+(b_na_1-b_1a_n)x_n
}
{ } {
}
}
{}
{}{}
$a_1M$ liegt daher im von
\mathl{x_2,\ldots,x_n}{} erzeugten
\definitionsverweis {Untermodul}{}{}
\mathl{M' = Rx_2+\ldots+Rx_n}{.} Weil $M$ torsionsfrei ist, ist $a_1M$ isomorph zu $M$ und hat als Untermodul von $M'$ nach Lemma 4.2 ein Erzeugendensystem aus $n-1$ Erzeugern. Daher ist $a_1M$ nach Induktionsvoraussetzung frei.
\zwischenueberschrift{Torsionsmoduln}
\inputdefinition
{}
{
Es sei $R$ ein \definitionsverweis {Hauptidealbereich}{}{} und $M$ ein \definitionsverweis {Modul}{}{.}
Es sei nun $p$ ein
\definitionsverweis {Primelement}{}{} in $R$. Der
\definitionsverweis {Untermodul}{}{}
\mathl{M(p)}{} aller von einer Potenz von $p$ annullierten Elemente von $M$ heißt die
\definitionswortpraemath {p}{ Primärkomponente }{}
von $M$.
Es ist also
\mathdisp {M(p) := \bigcup_{\nu\in\N}M^{\nu}(p) := \bigcup_{\nu\in\N}\left\{x\in M : p^\nu x = 0\right\}} { . }
\mathl{M^1(p)}{} wird
\definitionswortpraemath {p}{ Sockel }{} von $M$ genannt.
Bei
\mathl{M=M(p)}{} für ein Primelement $p$ heißt
\mathl{M}{} ein
\definitionswort {Primärmodul}{.}
}
Zur Motivation zwei einfache Beispiele.
\inputbeispiel{}
{
Jede
\definitionsverweis {abelsche Gruppe}{}{}
$G$ ist nach
Beispiel 1.7
auf natürliche Weise ein $\Z$-Modul. Ein Element
\mathl{g\in G}{} gehört genau dann zur Primärkomponente
\mathl{G(p)}{,} wenn
\mathl{\operatorname{ord} \, (g) = p^{\nu}}{} für ein
\mathl{\nu\in\N}{} ist.
}
\inputbeispiel{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{,} $V$ ein
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} und
\mathl{\varphi\in\operatorname{End}_KV}{} ein
\definitionsverweis {Endomorphismus}{}{} in $V$. Dann trägt $V$ eine
\definitionsverweis {Modulstruktur}{}{} über dem
\definitionsverweis {Polynomring}{}{} $K[X]$, die vermittelt wird durch die
\definitionsverweis {Skalarmultiplikation}{}{}
\maabbeledisp {} {K[X]\times V} {V
} {P\times v} {P(\varphi)(v)
} {.}
Die linearen Polynome
\mathl{X-a}{} für
\mathl{a\in K}{} sind
\definitionsverweis {Primpolynome}{}{,} also
\definitionsverweis {Primelemente}{}{} in
\mathl{K[X]}{} .
Der
$(X-a)$-\definitionsverweis {Sockel}{}{}
\mathdisp {V^1(X-a) = \left\{x\in V: (\varphi-a\cdot
\operatorname{Id})(x) = \varphi(x)-ax = 0 \right \}} { }
ist gerade der
\definitionsverweis {Eigenraum}{}{} zum Wert $a$.
Die Verallgemeinerung
\mathl{V(X-a)}{} heißt der zugehörige \stichwort {Hauptraum} {} (dies ist also der Raum, in dem
\mathl{\varphi(x)-ax}{}
\definitionsverweis {nilpotent}{}{} ist).
} Dieser Sachverhalt soll im folgenden motivierendes Beispiel dafür bilden die Zerlegung von Torsionsmoduln genauer zu betrachten.
Dass ein nicht torsionsfreier Modul frei ist, können wir nicht erwarten, da jedes Torsionselement schon für sich genommen linear abhängig ist und damit ist erst recht ein Erzeugendensystem des ganzen Moduls linear abhängig. Wir können einen Torsionsmodul über einem Hauptidealbereich aber als direkte Summe seiner Primärkomponenten darstellen, wie folgender Satz zeigt.
\inputfaktbeweis
{Modultheorie/Hauptidealbereiche/Primärzerlegung/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {Hauptidealbereich}{}{} und $M$ ein
$R$-\definitionsverweis {Torsionsmodul}{}{.}
Enthalte außerdem die Teilmenge
\mathl{P\subseteq R}{} zu jeder
\definitionsverweis {Äquivalenzklasse}{}{}
\definitionsverweis {assoziierter}{}{}
\definitionsverweis {Primelemente}{}{} je einen
\definitionsverweis {Repräsentanten}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann lässt sich $M$ darstellen als
\definitionsverweis {direkte Summe}{}{} seiner
\definitionsverweis {Primärkomponenten}{}{:}
\mathdisp {M = \bigoplus_{p\in P} M(p)} { . }
}
\faktzusatz {Ebenso lässt sich auch der Torsionsuntermodul
\mathl{\operatorname{t}M'}{} eines beliebigen
$R$-\definitionsverweis {Moduls}{}{}
\mathl{M'}{} als direkte Summe der Primärkomponenten von $M'$ darstellen.}
\faktzusatz {}
}
{
Wir wollen die Zerlegung für
\definitionsverweis {endliche}{}{}
\definitionsverweis {Untermoduln}{}{} von $M$ zeigen. Wenn jeder endliche Untermodul eine
\definitionsverweis {direkte Summenzerlegung}{}{} aus
\definitionsverweis {Primärkomponenten}{}{} besitzt, dann gilt das auch für $M$, weil jedes Element von $M$ in einem endlichen Untermodul liegt. Es sei daher
\mathl{U\subseteq M}{} ein beliebiger
\definitionsverweis {endlicher}{}{}
\definitionsverweis {Untermodul}{}{} von $M$. $U$ ist als Untermodul des
\definitionsverweis {Torsionsmoduls}{}{} $M$ ein Torsionsmodul. Jedes Element
\mathl{x_i}{} eines
\definitionsverweis {Erzeugendensystems}{}{}
\mathl{x_1,\ldots,x_n}{} wird daher annulliert von einem
\definitionsverweis {Nichtnullteiler}{}{}
\mathl{r_i\in R}{.} Jedes Element von
\mathl{U}{} wird daher annulliert von
\mathl{r:=r_1\cdots r_n\neq 0}{,} deshalb gilt
\mathl{r\in \operatorname{Ann}_RU}{.} Dieses $r$ besitzt als Element eines
\definitionsverweis {Hauptidealbereichs}{}{} eine
\definitionsverweis {kanonische Primfaktorzerlegung}{}{}
\mathdisp {r = ap_1^{e_1}\cdots p_k^{e_k}} { , }
wobei $a$ eine
\definitionsverweis {Einheit}{}{} ist und
\mathl{p_1,\ldots,p_k}{} paarweise verschiedene
\definitionsverweis {Primelemente}{}{.}
Wir behaupten, dass
\mathdisp {U = U^{e_1}(p_1)\oplus\cdots\oplus U^{e_k}(p_k) = \left\{x\in U:p_1^{e_1}x = 0\right\}\oplus\cdots\oplus\left\{x\in U:p_k^{e_k}x = 0\right\}} { }
gilt.
Nach dem
Lemma von Bezout
gibt es für die Elemente
\mathl{q_1,\ldots,q_k}{} mit
\mathl{q_i = \prod_{j\neq i}p_j^{e_j}}{,} die nach Konstruktion keinen gemeinsamen Teiler besitzen, eine Darstellung der
\mathl{1}{:}
\mathdisp {c_1q_1+\cdots+c_kq_k = 1} { . }
Es sei nun
\mathl{x\in U}{.} Dann ist für alle
\mathl{i\in\{1,\ldots,k\}}{}
\mathdisp {c_iq_ix\in U^{e_i}(p_i)} { , }
weil
\mathl{ac_iq_ip_i^{e_i} = c_ir}{} als Vielfaches von $r$ den Untermodul $U$ und damit auch $x$ annulliert. Weil
\mathl{c_iq_ix+\ldots+c_kq_kx = 1x = x}{} gilt, gibt es für jedes
\mathl{x\in U}{} eine Darstellung in
\mathl{U^{e_1}(p_1)\oplus\cdots\oplus U^{e_k}(p_k)}{.}
Es sei nun
\mathl{x=u_1+\cdots+u_k}{} eine Darstellung eines Elements
\mathl{x\in U}{} mit
\mathl{u_i\in U^{e_i}(p_i)}{.} Dann ist
\mathdisp {c_iq_ix = c_iq_iu_1+\cdots+c_iq_iu_k = c_iq_iu_i = (1-\sum_{j\neq i}c_jq_j)u_i = u_i} { , }
weil
\mathl{u_j\in U^{e_j}(p_j) = \left\{x\in U:p_j^{e_j}x = 0\right\}}{} für
\mathl{j\neq i}{} jeweils von
\mathl{q_i}{} annulliert wird.
Deshalb ist die Darstellung eindeutig und $U$ direkte Summe seiner Primärkomponenten und damit auch $M$ direkte Summe seiner Primärkomponenten.
Manchmal ist der betrachtete Modul nicht nur ein Torsionsmodul, sondern hat auch einen nichttrivialen Annullator. Dies ist genau dann der Fall, wenn es Ringelemente
\mathl{r\neq 0}{} gibt, die alle Modulelemente annullieren. Im Beweis zu
Satz 4.7 haben wir benutzt (und gezeigt), dass es dies für endliche Torsionsmoduln immer gibt.
Im Falle eines nichttrivialen Annullators kann man sogar eine Zerlegung in zyklische Primärmoduln finden. Im Beweis dafür benutzen wir folgendes Lemma, das wir vorweg nehmen wollen:
\inputfaktbeweis
{Modultheorie/Hauptidealbereiche/Sockel_ist_RmodRp-Vektorraum/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {Hauptidealbereich}{}{,} $M$ ein
$R$-\definitionsverweis {Modul}{}{} und
\mathl{p\in R}{} ein
\definitionsverweis {Primelement}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist der
$p$-\definitionsverweis {Sockel}{}{}
\mathl{M^1(p)}{} ein
\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} über dem
\definitionsverweis {Körper}{}{}
\mathl{R/Rp}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
\mathl{M^1(p)}{} besteht aus allen Elementen, die sich durch $p$ annullieren lassen. Das bedeutet, dass das
\definitionsverweis {Ideal}{}{}
\mathl{(p) = Rp}{} genau wie $0$ auf
\mathl{M^1(p)}{} agiert. Aufgrund der Distributivität der
\definitionsverweis {skalaren Multiplikation}{}{} hat das notwendig zur Folge, dass auch alle anderen Ringelemente \anfuehrung{modulo
\mathl{Rp}{} }{} agieren. Deshalb ist
\mathl{M^1(p)}{} ein Modul über
\mathl{R/Rp}{.}
\mathl{R/Rp}{} ist nach
Satz 3.14
ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und ein Modul über einem Körper ist ein
\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.}
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Prüfer,Heinz_1930_Jena.jpg} }
\end{center}
\bildtext {Heinz Prüfer (1896-1934)} }
\bildlizenz { Prüfer,Heinz_1930_Jena.jpg } {} {GFHund} {Commons} {CC-by-sa 3.0} {}
\inputfaktbeweis
{Modultheorie/Hauptidealbereiche/Satz_von_Prüfer/Fakt}
{Satz}
{Satz von Prüfer}
{
\faktsituation {Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {Hauptidealbereich}{}{} und $M$ ein
$R$-\definitionsverweis {Modul}{}{.}}
\faktvoraussetzung {Es sei außerdem
\mathl{\operatorname{Ann}_RM \neq 0}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist $M$
\definitionsverweis {direkte Summe}{}{}
\definitionsverweis {zyklischer}{}{}
\definitionsverweis {Primärmoduln}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Die Aussage von Satz 4.7 ist gerade, dass $M$ \definitionsverweis {direkte Summe}{}{} seiner \definitionsverweis {Primärkomponenten}{}{} ist (weil ein \definitionsverweis {Modul}{}{} über einem \definitionsverweis {Hauptidealbereich}{}{} mit nichttrivialem \definitionsverweis {Annullator}{}{} in jedem Fall ein \definitionsverweis {Torsionsmodul}{}{} ist).
Es bleibt also nur zu zeigen, dass die
\definitionsverweis {Primärkomponenten}{}{} direkte Summe
\definitionsverweis {zyklischer}{}{} Moduln sind. Nehmen wir also an
\mathl{M = M(p)}{} für ein
\definitionsverweis {Primelement}{}{}
\mathl{p\in R}{.} Als
\definitionsverweis {Ideal}{}{} wird
\mathl{\operatorname{Ann}_RM}{} von $p^n$ erzeugt für ein
\mathl{n\in\N}{,} deshalb ist
\mathl{p^nx=0}{} für alle
\mathl{x\in M}{.}
Wir führen Induktion über
\mathl{n}{.}
Für
\mathl{n=0}{} ist
\mathl{p^0x=x=0}{} für alle
\mathl{x\in M}{,} daher wird $M$ von $0$ erzeugt.
Im Induktionsschritt müssen wir zeigen, dass aus
\mathl{p^{n+1}M = 0}{} folgt, dass $M$ direkte Summe zyklischer Moduln ist.
Die Induktionsvoraussetzung sagt uns, dass
\mathl{pM}{,} da es von
\mathl{p^n}{} annulliert wird, direkte Summe zyklischer Moduln ist:
\mathdisp {pM=\bigoplus_{i\in I}Rpx_i} { . }
Hierbei kann
\mathl{px_i\neq 0}{} für alle
\mathl{i\in I}{} erreicht werden, nehmen wir dies also an.
Es gilt für alle
\mathl{i\in I}{} die Aussage
\mathl{\operatorname{Ann}_R(Rpx_i)=Rp^{n_i}}{} für ein
\mathl{1\leq n_i\leq n}{,} weil auch
\mathl{Rpx_i\subseteq M}{} gilt und
\mathl{\operatorname{Ann}_R(Rpx_i)=R}{} zu $px_i = 0$ führen würde. Es folgt
\mathl{\operatorname{Ann}_R(Rx_i)=Rp^{n_i+1}}{.}
Es sei
\mathl{0=\sum r_ix_i}{} mit
\mathl{r_i\in R}{.} Weil
\mathl{pM}{} direkte Summe der
\mathl{px_i}{} ist, folgt daraus mit
\mathl{0=p\sum r_ix_i = \sum r_i(px_i)}{} auch
\mathl{r_i(px_i) = 0}{,} deshalb ist
\mathdisp {r_i\in \operatorname{Ann}_R(Rpx_i)=Rp^n_i\subseteq Rp} { }
für alle
\mathl{i\in I}{.} Aus diesem Grund können wir
\mathl{r_i = ps_i}{} schreiben, mit
\mathl{s_i\in R}{.} Daraus folgt mit
\mathl{0=\sum r_ix_i = 0=\sum s_i(px_i)}{} auch
\mathl{s_i(px_i) = r_ix_i = 0}{.}
Deshalb ist der Untermodul
\mathl{M_1 := \sum Rx_i}{} direkte Summe der zyklischen Moduln
\mathl{Rx_i}{.}
Es sei nun
\mathl{x\in M}{} beliebig. Dann ist
\mathl{px = \sum b_ipx_i}{.} Deshalb gilt für
\mathl{y=\sum b_ix_i}{} zum Einen
\mathl{y\in M_1}{} und zum Anderen
\mathl{px-py = p(x-y) = 0}{,} und daher
\mathl{x-y\in M^1(p)}{.}
Es gilt daher
\mathl{M = M_1+M^1(p)}{.}
Der \definitionsverweis {Restklassenmodul}{}{}
\mathl{M^1(p)/M_1\cap M^1(p)}{} ist
\definitionsverweis {isomorph}{}{} zu einem
\definitionsverweis {Untermodul}{}{} $M_2$ des
$p$-\definitionsverweis {Sockels}{}{}
\mathl{M^1(p)}{}, weil
\mathl{M^1(p)}{} nach
Lemma 4.8 ein
\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} über dem
\definitionsverweis {Körper}{}{}
\mathl{R/Rp}{} ist. Folglich ist auch
\mathl{M_2}{} ein Vektorraum über
\mathl{R/Rp}{.} Als Vektorraum besitzt $M_2$ eine
\definitionsverweis {Basis}{}{} und damit eine direkte Summenzerlegung in zyklische Moduln über
\mathl{R/Rp}{.} Dies liefert auch zyklische Primärmoduln über $R$.
Daher besitzt
\mathl{M = M_1\oplus M_2}{} eine direkte Zerlegung in zyklische Primärmoduln.
\zwischenueberschrift{Allgemeine Moduln}
Nach diesen Überlegungen können wir nun unsere Aussage, dass endliche torsionsfreie Moduln frei sind, dergestalt erweitern, dass endliche Moduln sich generell in eine direkte Summe zyklischer Moduln zerlegen lassen.
\inputfaktbeweis
{Modultheorie/Hauptidealbereiche/Endlicher Modul/Direkte Summe zyklischer Moduln/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {Hauptidealbereich}{}{} und $M$ ein
\definitionsverweis {endlicher}{}{}
$R$-\definitionsverweis {Modul}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist $M$
\definitionsverweis {direkte Summe}{}{}
\definitionsverweis {zyklischer}{}{}
\definitionsverweis {Moduln}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Der
\definitionsverweis {Torsionsuntermodul}{}{}
\mathl{\operatorname{t}M}{} hat als
\definitionsverweis {endlicher}{}{}
\definitionsverweis {Torsionsmodul}{}{}
einen nichttrivialen
\definitionsverweis {Annullator}{}{.}
Daher besitzt er nach
Satz 4.9
eine direkte Summenzerlegung in
\definitionsverweis {zyklische}{}{}
Moduln.
Der
\definitionsverweis {Restklassenmodul}{}{}
\mathl{M/\operatorname{t}M}{} ist endlich und torsionsfrei und daher nach
Satz 4.3
frei. Als freier Modul besitzt er eine Basis und die Basiselemente erzeugen zyklische Untermoduln, als deren direkte Summe sich
\mathl{M/\operatorname{t}M}{} darstellen lässt.
Es bleibt also nur zu zeigen:
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M
}
{ =} { \operatorname{t}M\oplus M/\operatorname{t}M
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Es sei dazu
\mathl{x\in M}{.}
\mathl{M/\operatorname{t}M}{} ist ein
\definitionsverweis {freier}{}{}
Modul, daher gibt es eine
\definitionsverweis {Basis}{}{}
\mathl{[x_1],\ldots,[x_n]}{,} die durch nichtannullierbare Elemente
\mathl{x_1,\ldots,x_n \in M}{} repräsentiert wird.
Es sei nun
\mathl{x\in M}{} und
\mathl{[x] = a_1[x_1]+\cdots+a_n[x_n]\in M/\operatorname{t}M}{}. Dann gibt es nach Definition der
\definitionsverweis {Restklasse}{}{}
genau ein
\mathl{y\in \operatorname{t}M}{} mit
\mathl{x = y + a_1x_1+\cdots+a_nx_n}{.} Weil es auch umgekehrt für jedes Paar aus
\mathl{[x]=b_1[x_1]+\cdots+b_n[x_n] \in M/\operatorname{t}M}{} und
\mathl{y\in \operatorname{t}M}{} genau ein
\mathl{x' = b_1x_1+\cdots+b_nx_n + y \in M}{} gibt, ist die Summenzerlegung direkt.
Durch Einführung von bestimmten Kenngrößen kann man das sogar noch weiter spezifizieren.
\inputdefinition
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {Hauptidealbereich}{}{,} $M$ ein
\definitionsverweis {Modul}{}{} und
\mathl{p\in R}{} ein
\definitionsverweis {Primelement}{}{.}
Der
\definitionsverweis {Restklassenraum}{}{} der
$p$-\definitionsverweis {Sockel}{}{}
\mathl{(p^{n-1}M)^1(p)/(p^{n}M)^1(p)}{} ist nach
Lemma 4.8 ein
$R/Rp$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.}
Seine
\definitionsverweis {Dimension}{}{}
\mathdisp {\operatorname{u}(n,p) := \operatorname{dim}_{R/Rp}(p^{n-1}M)^1(p)/(p^{n}M)^1(p)} { }
heißt die
\definitionswortpraemath {n}{ te Ulmsche $p$-Invariante }{} von $M$.
Diese Dimension muss nicht endlich sein. Daher können die Ulmschen Invarianten auch Kardinalzahlen sein.
}
\inputfaktbeweis
{Modultheorie/Hauptidealbereiche/Direkte Summe zyklischer Moduln/Eindeutigkeit bis auf Isomorphie/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {Hauptidealbereich}{}{} und $M$ ein
\definitionsverweis {Modul}{}{,} der sich als
\definitionsverweis {direkte Summe}{}{}
\definitionsverweis {zyklischer Moduln}{}{} darstellen lässt.
Außerdem enthalte die Teilmenge von
\definitionsverweis {Primelementen}{}{}
\mathl{P\subseteq R}{} zu jeder
\definitionsverweis {Äquivalenzklasse}{}{}
\definitionsverweis {assoziierter}{}{}
\definitionsverweis {Primelemente}{}{} in $R$ genau einen
\definitionsverweis {Repräsentanten}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann lässt sich $M$ durch seinen
\definitionsverweis {Rang}{}{} und seine
\definitionsverweis {Ulmschen Invarianten}{}{} bis auf
\definitionsverweis {Isomorphie}{}{} eindeutig darstellen als
\mathdisp {M \cong R^{(\operatorname{rang}M)}\oplus\bigoplus_{p\in P, n\in \N_+}(R/Rp^n)^{(\operatorname{u}(n,p))}} { . }
}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Wir gehen von der Zerlegung
\mathl{M = \bigoplus_{i\in I}M_i}{} aus. Jedes
\mathl{M_i,i\in I}{,} ist als zyklischer Modul entweder
\definitionsverweis {Torsionsmodul}{}{} oder
\definitionsverweis {torsionsfrei}{}{.}
Die torsionsfreien zyklischen Komponenten sind jeweils isomorph zu $R$. Weil es in
\mathl{M}{} tatsächlich
\mathl{\operatorname {rang} M}{}
\definitionsverweis {linear unabhängige}{}{} Elemente gibt, aber nicht mehr, muss es auch
\mathl{\operatorname {rang} M}{} solche Komponenten geben. Wir fassen sie zusammen als
\mathl{R^{(\operatorname {rang} M)}}{.}
Die zyklischen Torsionsmoduln lassen sich nach
Satz 4.7 darstellen als
\definitionsverweis {direkte Summe}{}{} ihrer
\definitionsverweis {Primärkomponenten}{}{.} Diese Primärmoduln sind als
\definitionsverweis {Untermoduln}{}{} eines zyklischen Moduls zyklisch und damit isomorph zu
\mathl{R/Rp^n}{} für ein Primelement
\mathl{p \in R}{} und ein
\mathl{n\in\N_+}{.} Es kommt daher nur noch auf die Anzahl dieser Primärmoduln an, wobei die zu überprüfende Behauptung ist, dass die $n$-te Ulmsche $p$-Invariante
\mathl{\operatorname{u}(n,p)}{} die Anzahl des Vorkommens des Raumes
\mathl{R/Rp^n}{} in der direkten Summe ist.
Dazu betrachten wir die Ulmschen Invarianten eben dieser Räume
\mathl{R/Rp^n}{} für sich genommen. Es sei
\mathl{q\in P, m\in\N}{.} Zur Berechnung der $m$-ten Ulmschen Invarianten von
\mathl{R/Rp^n}{} zum Primelement $q$ müssen wir nach Definition jeweils die Quotientenräume von
\mathl{(q^{m-1}(R/Rp^n))^1(q)}{} nach
\mathl{(q^{m}(R/Rp^n))^1(q)}{} betrachten. Es gilt:
\mathdisp {(q^m(R/Rp^n))^1(q) = { \left\{ [q^mx] \mid [x]\in R/Rp^n,[q^{m+1}x] = 0 \right\} }} { . }
Dies bedeutet zum Einen
\mathl{(q^m(R/Rp^n))^1(q) = 0}{} für
\mathl{q\neq p}{} und
\mathl{m\in\N}{} beliebig, weil $p$ und $q$ teilerfremd sind und es daher außer $0$ keine Elemente in
\mathl{R/Rp^n}{} gibt mit
\mathl{[q^{m+1}x]=0}{.} Daher gilt für
\mathl{R/Rp^n}{} auch
\mathl{\operatorname{u}(m,q) = 0}{} für alle
\mathl{m\in \N_+}{.}
Zum Anderen bedeutet es bei
\mathl{q=p}{} und
\mathl{m<n}{}
\mathdisp {(q^m(R/Rp^n))^1(q) = Rp^{m}/Rp^{m+1} \cong R/Rp} { }
und für
\mathl{m\geq n}{} gilt
\mathl{(q^m(R/Rp^n))^1(q) = 0}{} wegen
\mathl{[p^nx] = 0}{.}
Weil für die Ulmschen Invarianten jeweils die Dimension der Restklassenräume von $q$-Sockeln für auf einander folgende $m$ betrachtet werden, gelten insgesamt beim Raum
\mathl{R/Rp^n}{} für
\mathl{q=p}{} und
\mathl{m\in\N_+}{}:
\mathdisp {\operatorname{u}(m,q) =
\begin{cases}
\operatorname{dim}_{R/Rp}(R/Rp)/(R/Rp)=0,\, \text{ falls } m<n\, , \\
\operatorname{dim}_{R/Rp}(R/Rp)/(0)=1,\, \text{ falls } m=n\, , \\
\operatorname{dim}_{R/Rp}(0)/(0)=0,\, \text{ falls } m>n\, .
\end{cases}} { . }
Bei der Bildung der direkten Summe nun addieren sich auch die Ulmschen Invarianten der Summanden und bilden als Summe die Ulmschen Invarianten der direkten Summe, weil sich auch die
\definitionsverweis {Sockel}{}{} addieren. Daraus folgt direkt, dass die Ulmschen Invarianten
\mathl{\operatorname{u}(n,p)}{} die Anzahlen des Vorkommens der Räume
\mathl{R/Rp^n}{} in der direkten Summe beschreiben.