Kurs:Topologie (Osnabrück 2008-2009)/Vorlesung 14

Liften von Homotopien

Eine grundlegende Eigenschaft von Überlagerungen ist es, dass Homotopien entlang der Überlagerung hochgehoben oder geliftet werden können. Diesen Sachverhalt haben wir schon bei der Berechnung der Homotopieklassen von Schlingen in ${}S^{1}$ bzw. bei der Bestimmung von ${}\pi _{1}(S^{1},1)$ zitiert. Die in diesem Fall verwendete Überlagerung ist die Exponentialabbildung

$\exp \colon \mathbb {R} \longrightarrow S^{1}.$

Satz

Es sei ${}p\colon E\to X$ eine Überlagerung, ${}H\colon Y\times I\to X$ eine Homotopie und ${}f\colon Y\to E$ eine stetige Abbildung mit der Eigenschaft, dass ${}p(f(y))=H(y,0)$ gilt für alle ${}y\in Y$. Dann gibt es genau eine

Homotopie

${}F\colon Y\times I\to E\,$

mit der Eigenschaft, dass

${}p\circ F=H$ und ${}F(y,0)=f(y)$ für alle ${}y\in Y$.

Beweis

Topologie/Überlagerungen/Homotopie-Liftung/Fakt/Beweis

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Insbesondere kann man Wege liften.

Folgerung

Es sei ${}p\colon E\rightarrow X$ eine Überlagerung, ${}\gamma \colon I\rightarrow X$ ein stetiger Weg und ${}z\in E$ ein Punkt mit ${}p(z)=\gamma (0)$.

Dann gibt es genau einen stetigen Weg

${\tilde {\gamma }}\colon I\longrightarrow E$

mit der Eigenschaft, dass ${}p\circ {\tilde {\gamma }}=\gamma$ und ${}{\tilde {\gamma }}(0)=z$ ist.

Beweis

Zu jedem Punkt ${}x\in \gamma (I)$ gibt es eine offene Umgebung ${}x\in U_{x}$ derart, dass ${}p$ oberhalb von ${}U_{x}$ trivialisiert, d.h. ${}p^{-1}(U_{x})$ ist die disjunkte Vereinigung von zu ${}U_{x}$ über ${}p$ homöomorphen offenen Teilmengen von ${}E$. Aufgrund der Kompaktheit von ${}\gamma (I)$ gibt es somit endlich viele offene Mengen ${}U_{1},\ldots ,U_{n}$ mit dieser Eigenschaft und mit ${}\gamma (0)\in U_{1}$, mit ${}U_{i}\cap U_{i+1}\cap \gamma (I)\neq \emptyset$ für alle ${}i$ (da ${}\gamma (I)$ zusammenhängend ist) und mit ${}\gamma (1)\in U_{n}$. Es sei ${}x_{i}=\gamma (t_{i})\in U_{i}\cap U_{i+1}$ mit aufsteigenden Zeitpunkten ${}t_{i}$. Es sei ${}V_{1}$ diejenige zu ${}U_{1}$ homöomorphe Teilmenge von ${}E$, die ${}z$ enthält. Dann gibt es für den auf ${}[0,t_{1}]$ eingeschränkten Weg nur die Liftung ${}p{|}_{V_{i}}^{-1}\circ \gamma {|}_{[0,t_{1}]}$. Dieser Weg hat für ${}t_{1}$ einen eindeutigen Endpunkt in ${}E$, sagen wir

${}z_{1}={\tilde {\gamma }}(t_{1})\,.$

Dazu gehört wiederum eine eindeutige offene Menge ${}V_{2}\subseteq E$ homöomorph zu ${}U_{2}$ und es gibt eine eindeutige Fortsetzung von dem bisher konstruierten ${}{\tilde {\gamma }}$ nach ${}[t_{1},t_{2}]$. So induktiv fortfahrend erhält man die gesamte eindeutige Liftung des Weges.

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Man kann auch relative Homotopien liften.

Folgerung

Es sei ${}p\colon E\to X$ eine Überlagerung, ${}H\colon I\times I\to X$ eine Homotopie relativ ${}\{0,1\}$ und ${}f\colon I\to E$ ein Weg mit der Eigenschaft, dass ${}p(f(s))=H(s,0)$ gilt für alle ${}s\in I$.

Dann gibt es genau eine relative Homotopie

${}F\colon I\times I\to E\,$

mit der Eigenschaft, dass ${}p\circ F=H$ und ${}F(s,0)=f(s)$ für alle ${}s\in I$.

Beweis

Topologie/Überlagerungen/Relative-Homotopie-Liftung/Fakt/Beweis

$\Box$