Kurs:Topologie (Osnabrück 2008-2009)/Vorlesung 15

Der allgemeine Liftungssatz für Überlagerungen

Satz

Es sei ${}X$ ein lokal weg-zusammenhängender topologischer Raum.

1. Jede Weg-Zusammenhangskomponente von ${}X$ ist offen in ${}X$.
2. Als topologischer Raum ist ${}X$ die disjunkte Vereinigung seiner Weg-Zusammenhangskomponenten.
3. Die Weg-Zusammenhangskomponenten von ${}X$ stimmen mit den Zusammenhangskomponenten überein.

Beweis

Es sei ${}W_{x}$ die Weg-Zusammenhangskomponente von ${}x\in X$. Nach Voraussetzung an ${}X$ existiert eine weg-zusammenhängende Umgebung ${}x\in V\subseteq X$. Insbesondere ist ${}V\subseteq W_{x}$. Somit ist ${}W_{x}\subseteq X$ offen nach Fakt *****. Dies zeigt die erste Behauptung. Als Menge ist ${}X$ sicherlich die disjunkte Vereinigung seiner Weg-Zusammenhangskomponenten. Um dies auch für den topologischen Raum zu erhalten, ist zu zeigen, dass jede Weg-Zusammenhangskomponente auch abgeschlossen ist. Nun ist das Komplement einer Weg-Zusammenhangskomponente die Vereinigung aller anderen Weg-Zusammenhangskomponenten, die nach der ersten Behauptung offen ist. Also ist jede Weg-Zusammenhangskomponente auch abgeschlossen, was die zweite Behauptung beweist. Die dritte Behauptung folgt sofort.

$\Box$

Satz

Es sei ${}p\colon E\to X$ eine Überlagerung und ${}X$ lokal weg-zusammenhängend.

Dann ist ${}E$ auch lokal weg-zusammenhängend. Ist ${}E^{\prime }\subseteq E$ eine Vereinigung von Zusammenhangskomponenten von ${}E$, so ist die Einschränkung ${}p\vert _{E^{\prime }}\colon E^{\prime }\to X$ auch eine Überlagerung.

Beweis

Es sei ${}e\in V\subseteq E$ eine Umgebung. Es sei weiter ${}U\subseteq X$ eine offene Menge einer Elementar-Überdeckung, sowie ${}\phi \colon p^{-1}(U)\to U\times p^{-1}(p(e))$ eine topologische Äquivalenz. Dann ist ${}e\in V^{\prime }:=V\cap \phi ^{-1}(U\times \{e\})$ auch eine Umgebung. Aus Fakt ***** folgt, dass ${}p(e)\in p(V^{\prime })\subseteq X$ ebenfalls eine Umgebung ist. Es sei nun ${}p(e)\in W\subseteq p(V^{\prime })$ eine weg-zusammenhängende Umgebung. Es ist ${}W\subseteq U$, also ist ${}e\in \phi ^{-1}(W\times \{e\})\subseteq V$ die gesuchte weg-zusammenhängende Umgebung von ${}e\in E$.

$\Box$

Satz (Liftungssatz )

Es sei ${}p\colon E\to X$ eine Überlagerung und ${}Y$ ein zusammenhängender und lokal weg-zusammenhängender topologischer Raum. Es sei weiter ${}e_{0}\in E,\,x_{0}=p(e_{0})\in X,\,y_{0}\in Y$ und ${}f\colon (Y,y_{0})\to (X,x_{0})$ eine stetige Abbildung punktierter topologischer Räume.

Es gibt eine stetige Abbildung ${}{\tilde {f}}\colon (Y,y_{0})\to (E,e_{0})$ punktierter topologischer Räume mit ${}p\circ {\tilde {f}}=f$ genau dann, wenn

${}f_{\ast }{\bigl (}\pi _{1}(Y,y_{0}){\bigr )}\subseteq p_{\ast }{\bigl (}\pi _{1}(E,e_{0}){\bigr )}\,$

gilt.

Die stetige Abbildung ${}{\tilde {f}}$ ist durch die Bedingungen ${}p\circ {\tilde {f}}=f$ und ${}{\tilde {f}}(y_{0})=e_{0}$ eindeutig bestimmt, wenn sie existiert.

Beweis

Eine Implikation folgt sofort aus der Funktorialität der Fundamentalgruppe. Es sei ${}{\tilde {f}}\colon (Y,y_{0})\to (E,e_{0})$ eine stetige Abbildung mit ${}p\circ {\tilde {f}}=f$. Dann ist

${}f_{\ast }{\bigl (}\pi _{1}(Y,y_{0}){\bigr )}=(p\circ {\tilde {f}})_{\ast }{\bigl (}\pi _{1}(Y,y_{0}){\bigr )}=p_{\ast }{\bigl (}{\tilde {f}}_{\ast }(\pi _{1}(Y,y_{0})){\bigr )}\subseteq p_{\ast }{\bigl (}\pi _{1}(E,e_{0}){\bigr )}\,.$

Um die Abbildung ${}{\tilde {f}}$ aus den gegebenen Daten zu konstruieren, benutzt man die sogenannte Fakt ***** von Überlagerungen in einem Spezialfall. Denn sei ${}y\in Y$. Da ${}Y$ zusammenhängend und lokal weg-zusammenhängend ist, ist ${}Y$ nach Fakt ***** weg-zusammenhängend. Es sei also ${}w\colon I\to Y$ ein Weg von ${}y_{0}$ nach ${}y$. Nach Fakt ***** gibt es genau einen Weg ${}{\tilde {f\circ w}}\colon I\to E$ mit den Eigenschaften, dass ${}{\tilde {f\circ w}}(0)=e_{0}$ und ${}p\circ {\tilde {f\circ w}}=f\circ w$ gilt. Setze nun ${}{\tilde {f}}(y)\colon ={\tilde {f\circ w}}(1)$. Dies hängt gegebenenfalls von der Wahl des Weges ${}w$ ab. Um zu zeigen, dass dies nicht der Fall ist, seien nun ${}w_{1},w_{2}$ zwei Wege in ${}Y$ von ${}y_{0}$ nach ${}y$. Dann ist ${}w_{2}{\scriptscriptstyle {\Box }}{\overline {w_{1}}}$ eine Schleife in ${}Y$ am Basispunkt ${}y_{0}$. Insbesondere ist

${}f_{\ast }{\bigl (}[w_{2}{\scriptscriptstyle {\Box }}{\overline {w_{1}}}]{\bigr )}=[f\circ (w_{2}{\scriptscriptstyle {\Box }}{\overline {w_{1}}})]\in f_{\ast }{\bigl (}\pi _{1}(Y,y_{0}){\bigr )}\subseteq p_{\ast }{\bigl (}\pi _{1}(E,e_{0}){\bigr )}\,$

nach Voraussetzung. Also existiert eine Schleife ${}[u]\in \pi _{1}(E,e_{0})$ mit der Eigenschaft, dass

${}p_{\ast }([u])=f_{\ast }([w_{2}{\scriptscriptstyle {\Box }}{\overline {w_{1}}}])\,.$

Es sei ${}H\colon I\times I\to X$ eine Homotopie von ${}p\circ u$ zu ${}f\circ (w_{2}{\scriptscriptstyle {\Box }}{\overline {w_{1}}})$ relativ zu ${}\{0,1\}$. Wieder nach Fakt ***** gibt es genau eine Homotopie ${}{\tilde {H}}\colon I\times I\to E$ mit der Eigenschaft, dass ${}{\tilde {H}}(s,0)=u(s)\,\forall \,s\in I$ und ${}p\circ {\tilde {H}}=H$. Aus ${}{\tilde {H}}(0,0)=u(0)=e_{0}=u(1)=H(1,0)$ und ${}H(0,t)=x_{0}=H(1,t)\,\forall \,t\in I$

folgt

${}{\tilde {H}}(0,t)=x_{0}={\tilde {H}}(1,t)\,\forall \,t\in I\,,$

denn ${}I$ ist zusammenhängend. Somit ist auch ${}{\tilde {H}}$ eine Homotopie relativ ${}\{0,1\}$. Insbesondere ist die Abbildung ${}s\mapsto {\tilde {H}}(s,1)$ eine Schleife an ${}e_{0}$. Sie ist aber nach Konstruktion ein (und aufgrund der durch den fixierten Anfangspunkt erzwungenen Eindeutigkeit der) Lift der Schleife ${}f\circ (w_{2}{\scriptscriptstyle {\Box }}{\overline {w_{1}}})$. Betrachte nun den Lift der Schleife

${}f\circ {\bigl (}(w_{2}{\scriptscriptstyle {\Box }}{\overline {w_{1}}}){\scriptscriptstyle {\Box }}w_{1}{\bigr )}=f\circ (w_{2}{\scriptscriptstyle {\Box }}{\overline {w_{1}}}){\scriptscriptstyle {\Box }}(f\circ w_{1})\,.$

Dieser Lift kann in zwei Schritten konstruiert werden. Im ersten Schritt konstruiert man den Lift der Schleife ${}f\circ (w_{2}{\scriptscriptstyle {\Box }}{\overline {w_{1}}})$ zum Anfangspunkt ${}e_{0}$, und das haben wir mit der Einschränkung von ${}{\tilde {H}}$ auf ${}I\times \{1\}$ bereit getan. Im zweiten Schritt konstruiert man den Lift des Weges ${}f\circ w_{1}$ zu dem Anfangspunkt, der gerade der Endpunkt des im ersten Schritt konstruierten Liftes ist. Dieser Lift war ja, wie bereits gezeigt, eine Schleife an ${}e_{0}$, also ist dies ${}{\tilde {f\circ w_{1}}}$. Offensichtlich ist ${}f\circ {\bigl (}(w_{2}{\scriptscriptstyle {\Box }}{\overline {w_{1}}}){\scriptscriptstyle {\Box }}w_{1}{\bigr )}$ homotop relativ ${}\{0,1\}$ zu ${}f\circ w_{2}$, was nach Fakt ***** auch für die Lifts gilt. Es folgt insbesondere

${}{\tilde {f\circ w_{1}}}(1)={\tilde {f\circ w_{2}}}(1)\,$

was zeigt, dass ${}{\tilde {f}}$ wohldefiniert ist.

Nun zur Stetigkeit von ${}{\tilde {f}}$. Es sei ${}y\in Y$ und ${}{\tilde {f}}(y)\in V\subseteq E$ eine Umgebung des Bildpunktes. Gesucht ist eine Umgebung ${}y\in W\subseteq Y$ mit ${}{\tilde {f}}(W)\subseteq Y$. Diese konstruiert man wie folgt. Es sei ${}U\subseteq X$ eine offene Menge aus einer Elementarüberdeckung mit ${}p({\tilde {f}}(y))=f(y)\in U$. Es sei weiter ${}\phi \colon p^{-1}(U)\to U\times p^{-1}(f(y))$ eine topologische Äquivalenz. Dann ist die Einschränkung von ${}p$ auf ${}\phi ^{-1}(U\times \{{\tilde {f}}(y)\})$ ebenso eine topologische Äquivalenz. Insbesondere ist

${}V^{\prime }:=V\cap \phi ^{-1}(U\times \{{\tilde {f}}(y)\})\,$

eine Umgebung von ${}{\tilde {f}}$. Dann ist aber auch ${}p(V^{\prime })$ eine Umgebung von ${}f(y)$. Da ${}f$ stetig ist, gibt es eine Umgebung ${}y\in W^{\prime }\subseteq Y$ mit ${}f(W^{\prime })\subseteq p(V^{\prime })$. Nun ist ${}Y$ nach Voraussetzung lokal weg-zusammenhängend. Demnach gibt es eine weg-zusammenhängende Umgebung ${}y\in W\subseteq W^{\prime }$. Die Behauptung ist nun, dass ${}{\tilde {f}}(W)\subseteq V$ gilt. Denn sei ${}z\in W$. Zur Konstruktion von ${}{\tilde {f}}(y)$ benötigen wir einen Weg ${}w_{z}$ von ${}y_{0}$ nach ${}z$. Es sei ${}w_{y}$ ein Weg von ${}y_{0}$ nach ${}y$ und sei ${}w$ ein Weg von ${}y$ nach ${}z$, der ganz in ${}W$ verläuft. Dann ist ${}w_{y}{\scriptscriptstyle {\Box }}w$ ein Weg von ${}y_{0}$ nach ${}z$. Der Endpunkt ${}{\tilde {f}}(z)$ ist also gegeben durch den Endpunkt des Liftes ${}{\tilde {f\circ w}}$ zum Anfangspunkt ${}{\tilde {f}}(y)$. Da

${}p\colon V^{\prime }\to p(V^{\prime })\,$

eine topologische Äquivalenz ist und ${}f(W)\subseteq p(V^{\prime })$, ist der Lift ${}{\tilde {f\circ w}}$ zum Anfangspunkt ${}{\tilde {f}}(y)\in V^{\prime }$ ein Weg mit Bild in ${}V^{\prime }$. Insbesondere ist der Endpunkt ${}{\tilde {f}}(z)\in V^{\prime }\subseteq V$, was zu zeigen war.

$\Box$

Tatsächlich existiert die Abbildung ${}{\tilde {f}}\colon Y\to E$ bereits, wenn ${}Y$ weg-zusammenhängend ist. Aber für die Stetigkeit von ${}{\tilde {f}}$ reicht dies nicht immer aus, wie folgendes Beispiel zeigt.

Beispiel

Es sei ${}Y$ der Warschauer Kreis, also die Vereinigung des Abschlusses ${}{\overline {\Gamma }}$ des Graphen ${}\Gamma \subseteq \mathbb {R} ^{2}$ von ${}x\mapsto \sin({\frac {1}{x}}),\,x\in (0,1]$ und einem Kreisbogen ${}K$ von ${}(0,0)$ nach ${}(1,\sin(1))$, der ${}{\overline {\Gamma }}$ nicht trifft. Der topologische Raum ${}Y$ ist weg-zusammenhängend, aber nicht lokal weg-zusammenhängend. Des weiteren ist ja ${}{\overline {\Gamma }}$ das Standard-Beispiel eines zusammenhängenden Raumes, der nicht weg-zusammenhängend ist. Den Beweis dieser Tatsache kann man verwenden, um zu zeigen, dass ${}\pi _{1}(Y,(0,0))$ die triviale Gruppe ist. Es sei ${}y_{0}=(0,0)\in Y$ und ${}f\colon Y\to S^{1}$ eine Abbildung, die ${}{\overline {\Gamma }}$ auf ${}1\in S^{1}$ abbildet und eine topologische Äquivalenz ${}Y/{\overline {\Gamma }}\to S^{1}$ induziert. Der Beweis des Liftungssatz liefert nun eine Abbildung

${}{\tilde {f}}\colon (Y,y_{0})\to (\mathbb {R} ,0)\,$

mit den Eigenschaften

${}{\tilde {f}}(y)=0\,\forall \,y\in \{0\}\times [-1,1]\subseteq {\overline {\Gamma }}\subseteq Y\ \ \ {\tilde {f}}(y)=1\,\forall \,y\in \Gamma \subseteq {\overline {\Gamma }}\subseteq Y\,.$

Die Abbildung ${}{\tilde {f}}$ ist aber nicht stetig.