Kurs:Topologie (Osnabrück 2008-2009)/Vorlesung 13

Überlagerungen

Definition

Eine Überlagerung von ${}X$ ist eine stetige Abbildung ${}p\colon E\rightarrow X$ mit der Eigenschaft, dass folgende Sachen existieren:

1. Eine offene Überdeckung ${}\{U_{\alpha }\subseteq X\}_{\alpha \in A}$ von ${}X$.
2. Eine Familie diskreter topologischer Räume ${}\{F_{\alpha }\}_{\alpha \in A}$.
3. Eine Familie topologischer Äquivalenzen ${}\phi _{\alpha }\colon p^{-1}(U_{\alpha })\to U_{\alpha }\times F_{\alpha }$ mit der Eigenschaft, dass ${}\phi _{\alpha }(x)={\bigl (}\phi _{\alpha }(x)_{1},\phi _{\alpha }(x)_{2}{\bigr )}={\bigl (}p(x),\phi _{\alpha }(x)_{2}{\bigr )}\,\forall \,x\in U_{\alpha },\,\alpha \in A$.

Eine Überdeckung dieser Art heißt Elementar-Überdeckung von ${}p$.

Beispiel

Nun folgt eine Liste von Überlagerungen.

1. Die Exponentialabbildung ${}\exp \colon \mathbb {R} \to S^{1},\,x\mapsto e^{2\pi ix}$ ist eine Überlagerung. Als Elementar-Überdeckung funktioniert ${}{\bigl \lbrace }S^{1}\smallsetminus \{1\},S^{1}\smallsetminus \{-1\}{\bigr \rbrace }$. Es sei ${}F_{1}=\mathbb {Z} =F_{-1}$ (versehen mit der diskreten Topologie) und definiere

   ${}\phi _{1}\colon \exp ^{-1}(S^{1}\smallsetminus \{1\})=\mathbb {R} \smallsetminus \mathbb {Z} \to (S^{1}\smallsetminus \{1\})\times \mathbb {Z} \ \ x\mapsto {\bigl (}\exp(x),\max\{a\in \mathbb {Z} \colon a<x\})\,.$

   Dann ist ${}\phi _{1}$ eine topologische Äquivalenz. Die Abbildung ${}\phi _{-1}\colon \exp ^{-1}(S^{1}\smallsetminus \{-1\})\to (S^{1}\smallsetminus \{-1\})\times \mathbb {Z}$ sieht so ähnlich aus.
2. Die kanonische Abbildung ${}p\colon S^{n}\to \mathbb {RP} ^{n}$ ist eine Überlagerung. Als Elementar-Überdeckung kann man die Standard-Überdeckung verwenden.
3. Die Abbildung ${}z\mapsto z^{n}$ ist eine Überlagerung ${}S^{1}\to S^{1}$.
4. Jede topologische Äquivalenz ist eine Überlagerung.
5. Die Abbildung des leeren topologischen Raumes in irgendeinen topologischen Raum ist eine Überlagerung.
6. Die Einschränkung der Exponentialabbildung auf ${}(-1,1)$ ist keine Überlagerung von ${}S^{1}$.
7. Die Hopf-Abbildung ${}\eta \colon S^{3}\to \mathbb {CP} ^{1}$ ist keine Überlagerung.

Wie üblich kann man aus alten Überlagerungen neue Überlagerungen basteln. Hier ist nur eine mögliche Methode.

Lemma

Es seien ${}p_{1}\colon E_{1}\to X_{1},p_{1}\colon E_{2}\to X_{2}$ Überlagerungen. Dann ist auch die Abbildung

${}p_{1}\coprod p_{2}\colon E_{1}\coprod E_{2}\to X_{1}\coprod X_{2},\ x\mapsto {\begin{cases}p_{1}(x)&x\in E_{1}\\p_{2}(x)&x\in E_{2}\end{cases}}\,$

eine Überlagerung. Ist ${}X_{1}=X_{2}=X$ so ist auch die Abbildung

${}p_{1}\cup p_{2}\colon E_{1}\coprod E_{2}\to X,\ x\mapsto {\begin{cases}p_{1}(x)&x\in E_{1}\\p_{2}(x)&x\in E_{2}\end{cases}}\,$

eine Überlagerung.

Beweis

Es sei ${}\{U_{\alpha }\subseteq X_{1}\}_{\alpha \in A}$ eine Elementar-Überdeckung für ${}p_{1}$, mit topologischen Äquivalenzen

${}\phi _{\alpha }\colon p_{1}^{-1}(U_{\alpha }){\xrightarrow {\cong }}U_{\alpha }\times F_{\alpha }\,,$

und analog

${}\{V_{\beta }\subseteq X_{2}\}_{\beta \in B}$ eine Elementar-Überdeckung für ${}p_{2}$, mit topologischen Äquivalenzen

${}\psi _{\beta }\colon p_{2}^{-1}(V_{\beta }){\xrightarrow {\cong }}V_{\beta }\times G_{\beta }\,.$

Dann ist

${}\{U_{\alpha }\subseteq X_{1}\subseteq X_{1}\coprod X_{2}\}\cup \{V_{\beta }\subseteq X_{2}\subseteq X_{1}\coprod X_{2}\}_{\beta \in B}\,$

eine Elementar-Überdeckung für ${}p_{1}\coprod p_{2}$, denn die Abbildungen

${}\phi _{\alpha }\colon (p_{1}\coprod p_{2})^{-1}(U_{\alpha })=p_{1}^{-1}(U_{\alpha }){\xrightarrow {\cong }}U_{\alpha }\times F_{\alpha }\quad \psi _{\beta }\colon (p_{1}\coprod p_{2})^{-1}(V_{\beta })=p_{2}^{-1}(V_{\beta })\to ^{\cong }V_{\beta }\times G_{\beta }\,$

sind nach wie vor topologische Äquivalenzen. Also ist ${}p_{1}\coprod p_{2}$ eine Überlagerung.

Es sei nun ${}X_{1}=X_{2}=X$. Die offene Überdeckung

${}\{U_{\alpha }\cap V_{\beta }\subseteq X\}_{(\alpha ,\beta )\in A\times B}\,$

ist eine Elementar-Überdeckung. Denn es ist

${}(p_{1}\cup p_{2})^{-1}(U_{\alpha }\cap V_{\beta })=p_{1}^{-1}(U_{\alpha }\cap V_{\beta })\coprod p_{2}^{-1}(U_{\alpha }\cap V_{\beta })\,.$

Die Einschränkungen von ${}\phi _{\alpha }$ und ${}\psi _{\beta }$ auf ${}U_{\alpha }\cap V_{\beta }$ definieren eine topologische Äquivalenz

${}(p_{1}\cup p_{2})^{-1}(U_{\alpha }\cap V_{\beta })=p_{1}^{-1}(U_{\alpha }\cap V_{\beta })\coprod p_{2}^{-1}(U_{\alpha }\cap V_{\beta })\to (U_{\alpha }\cap V_{\beta })\times F_{\alpha }\coprod (U_{\alpha }\cap V_{\beta })\times G_{\beta }\cong (U_{\alpha }\cap V_{\beta })\times (F_{\alpha }\coprod G_{\beta })\,,$

wobei die durch ${}\cong$ symbolisierte topologische Äquivalenz leicht einzusehen ist. Es folgt, dass ${}p_{1}\cup p_{2}$ eine Überlagerung ist.

$\Box$

Um zu zeigen, dass eine stetige Abbildung eine Überlagerung ist, muss man eine Elementar-Überdeckung finden. Dabei ist die Identifikation der diskreten topologischen Räume recht einfach. Denn eine gegebene topologische Äquivalenz

${}\phi \colon p^{-1}(U)\to U\times F,\quad \mathrm {pr} _{1}(\phi (x))=p(x)\,$

schränkt ein auf eine topologische Äquivalenz

${}p^{-1}(x)\to \{x\}\times F\cong F,\quad x\in U\,.$

Das Urbild ${}p^{-1}(x)$ eines Punktes nennt man oft Faser von ${}p$ bei ${}x$.

Lemma

Es sei ${}p\colon E\rightarrow X$ eine Überlagerung und ${}X$ zusammenhängend.

Dann ist

${}p^{-1}(x)\cong p^{-1}(y)\,$

für alle ${}x,y\in X$.

Beweis

Es sei zunächst ${}p\colon E\rightarrow X$ eine beliebige Überlagerung und ${}U_{i}$, ${}i\in I$, eine Überdeckung von ${}X$, über der die Überlagerung trivialisiert. Für ${}x,y\in U_{i}$ ist

${}p^{-1}(x)\cong F_{i}\cong p^{-1}(y)\,.$

Es sei nun ${}X$ zusammenhängend, ${}x\in X$ fixiert und

${}T:={\left\{y\in X\mid p^{-1}(y)\cong p^{-1}(x)\right\}}\neq \emptyset \,.$

Dann ist ${}T$ offen, denn es enthält zu jedem seiner Punkte noch eine offene Umgebung, über der ${}p$ trivialisiert. Aus dem gleichen Grund ist aber auch ${}X\setminus T$ offen. Da ${}X$ zusammenhängend ist, gilt ${}T=X$.

$\Box$

Also hängt die Faser einer Überlagerung eines zusammenhängenden Raumes nicht von der Wahl des Punktes ab.

Lemma

Eine Überlagerung ${}p\colon E\rightarrow X$

ist eine offene Abbildung.

Beweis

Es sei ${}U\subseteq E$ offen. Um zu zeigen, dass ${}p(U)\subseteq X$ offen ist, sei ${}x\in U$. Gesucht ist eine offene Menge ${}W\subseteq X$ mit ${}p(x)\in W\subseteq p(U)$. Es sei hierzu ${}V\subseteq X$ eine offene Menge aus einer Elementar-Überdeckung von ${}X$, sowie ${}\phi \colon p^{-1}(V)\to V\times p^{-1}(p(x))$ eine topologische Äquivalenz. Dann ist ${}x\in U\cap \phi ^{-1}(V\times \{x\})$ offen in ${}\phi ^{-1}(V)$. Weil

${}p\vert _{\phi ^{-1}(V\times \{x\})}\colon \phi ^{-1}(V\times \{x\})\to V\,$

eine topologische Äquivalenz ist, ist auch ${}W:=p(U\cap \phi ^{-1}(V\times \{x\}))$ offen in ${}V$. Nun ist ${}V\subseteq X$ offen, also ist ${}W$ auch offen in ${}X$. Aus ${}x\in W\subseteq p(U)$ folgt die Behauptung.

$\Box$