Kurs:Topologie (Osnabrück 2008-2009)/Vorlesung 16

Die universelle Überlagerung

Das langfristige Ziel ist es, alle Überlagerungen eines gegebenen topologischen Raumes effizient zu beschreiben. Dies geschieht mit Hilfe von algebraischen Daten, die mit der Fundamentalgruppe des jeweiligen Raumes in Verbindung stehen. Tatsächlich kann man unter bestimmten Voraussetzungen jede zusammenhängende Überlagerung aus einer bestimmten, der sogenannten universellen Überlagerung, konstruieren.

Definition

Ein topologischer Raum ${}X$ heißt einfach zusammenhängend, wenn es zu je zwei Punkten ${}x,y\in X$ genau einen Weg in ${}X$ von ${}x$ nach ${}y$ bis auf Homotopie relativ ${}\{0,1\}$ gibt.

In anderen Worten: Ein topologischer Raum ${}X$ ist einfach-zusammenhängend, wenn ${}\pi _{0}(X)$ und ${}\pi _{1}(X,x_{0})$ jeweils nur ein Element besitzen.

Beispiel

1. Jeder zusammenziehbare Raum ist einfach-zusammenhängend.
2. Die ${}S^{n}$ ist einfach-zusammenhängend genau dann, wenn ${}n\geq 2$ gilt.

Definition

Es sei ${}X$ ein topologischer Raum. Eine Überlagerung ${}p\colon E\rightarrow X$ heißt universelle Überlagerung, wenn der topologische Raum ${}E$ einfach-zusammenhängend ist.

Beispiel

1. Die Exponentialabbildung ${}\exp \colon \mathbb {R} \to S^{1}$ ist eine universelle Überlagerung.
2. Die kanonische Projektion ${}S^{n}\to \mathbb {RP} ^{n}$ ist eine universelle Überlagerung genau dann, wenn ${}n\geq 2$ gilt.

Die Existenz einer universellen Überlagerung impliziert eine bestimmte topologische Bedingung an den überlagerten Raum, die zunächst etwas gewöhnungsbedürftig ist (und heißt).

Lemma

Es sei ${}X$ lokal wegzusammenhängend und ${}p\colon E\to X$ eine universelle Überlagerung.

Dann gibt es für jedes ${}x\in X$ eine offene Menge ${}x\in U\subseteq X$ mit der Eigenschaft, dass der durch die Inklusion ${}U\hookrightarrow X$ induzierte Gruppenhomomorphismus ${}\pi _{1}(U,x)\to \pi _{1}(X,x)$ trivial ist.

Beweis

Es sei ${}E\to X$ eine universelle Überlagerung, wobei ${}X$ lokal wegzusammenhängend ist. Ist ${}x\in X$, dann gibt es nach Voraussetzung eine offene Menge ${}x\in U\subseteq X$ und eine topologische Äquivalenz ${}\phi \colon p^{-1}(U)\to U\times F$ über ${}U$, wobei ${}F$ ein diskreter topologischer Raum ist. Ohne Einschränkung der Allgemeinheit kann ${}U$ als wegzusammenhängend vorausgesetzt werden. Es sei nun ${}V$ eine Wegzusammenhangskomponente von ${}p^{-1}(U)$, dann ist die Einschränkung ${}q\colon V\to U$ von ${}p$ eine topologische Äquivalenz. Es sei ${}y\in p^{-1}(x)\cap V$, dann ist die durch die Inklusion induzierte Abbildung ${}\pi _{1}(U,x)\to \pi _{1}(X,x)$ trivial. Denn diese stimmt überein mit der Komposition

${}\pi _{1}(U,x){\xrightarrow {q_{\ast }^{-1}}}\pi _{1}(V,y){\xrightarrow {\mathrm {inc} }}\pi _{1}(E,y){\xrightarrow {p_{\ast }}}\pi _{1}(X,x)\,$

und die Fundamentalgruppe ${}\pi _{1}(E,y)$ ist ja trivial.

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Definition

Ein topologischer Raum ist semilokal einfach-zusammenhängend, wenn er lokal wegzusammenhängend ist und jeder Punkt ${}x\in X$ eine wegzusammenhängende Umgebung ${}x\in U\subseteq X$ derart besitzt, dass der durch die Inklusion induzierte Gruppenhomomorphismus

$\pi _{1}(U,x)\longrightarrow \pi _{1}(X,x)$

trivial ist. Eine solche Umgebung heißt Spezialumgebung.

Satz

Jeder zusammenhängende und semilokal einfach-zusammenhängende topologische Raum besitzt eine universelle Überlagerung.

Beweis

Gegeben eine universelle Überlagerung ${}E\to X$, so kann man sowohl die unterliegende Menge als auch die Topologie von ${}E$ mit Hilfe von Daten ausdrücken, die nur mit ${}X$ zu tun haben. Dies führt zu folgender Definition. Es sei ${}X$ ein topologischer Raum und ${}x_{0}\in X$. Dann ist

${}BX\colon =\{w\colon I\to X\colon w(0)=x_{0},\,w{\text{ stetig}}\}\,$

die Menge der basierten Wege in ${}X$. Die Auswertung eines basierten Weges an ${}1\in I$ liefert die Endpunkt-Abbildung ${}e\colon BX\to X,\,w\mapsto w(1)$ in die unterliegende Menge von ${}X$. Auf ${}BX$ ist die Äquivalenzrelation Homotopie relativ ${}\{0,1\}$ definiert. Es sei ${}BX\to {\tilde {X}}$ die kanonische Projektion auf die Quotientenmenge. Ein Element in ${}{\tilde {X}}$ ist also eine relative Homotopieklasse von basierten Wegen in ${}X$. Sind ${}v,w\in [w]\in {\tilde {X}}$, so ist ${}v(1)=w(1)$, da ja die Homotopien den Endpunkt festhalten. Somit definiert die Endpunkt-Abbildung ${}e$ eine Abbildung

${}q\colon {\tilde {X}}\to X,\ \ \ [w]\mapsto w(1)\,.$

Dies wird die universelle Überlagerung sein. Um dies zu zeigen, wird ${}{\tilde {X}}$ zunächst mit einer Topologie versehen.

Es sei nun ${}X$ semi-lokal einfach-zusammenhängend, also insbesondere lokal wegzusammenhängend. Ist ${}[w]\in {\tilde {X}}$, so besitzt ${}x\colon =q([w])=w(1)$ eine Spezialumgebung ${}x\in U\subseteq X$, die nach obigem Lemma offen gewählt werden kann (was wir jetzt auch tun). Es sei nun

${}M([w],U)\colon ={\bigl \lbrace }[v]\in {\tilde {X}}\colon \exists u\colon I\to U{\text{ stetig mit }}u(0)=x,\,[v]=[w{\scriptscriptstyle {\Box }}u]{\bigr \rbrace }\,$

die Menge der relativen Homotopieklassen der basierten Wege, die sich darstellen lassen als Weg ${}w$ gefolgt von einem Weg ${}u$, der ganz in ${}U$ verläuft. Wir definieren nun: Eine Teilmenge ${}V\subseteq {\tilde {X}}$ ist offen, wenn zu jedem ${}[w]\in V$ eine offene Spezialumgebung ${}w(1)\in U\subseteq X$ existiert, sodass ${}M([w],U)\subseteq V$ gilt. Offensichtlich sind ${}\emptyset$ und ${}{\tilde {X}}$ offen. Sind ${}V_{1},V_{2}\subseteq {\tilde {X}}$ offen, so ist auch ${}V_{1}\cap V_{2}$ offen. Denn zu ${}[w]\in V_{1}\cap V_{2}$ gibt es offene Spezialumgebungen

${}w(1)\in U_{1}\subseteq X,\,w(1)\in U_{2}\subseteq X{\text{ mit }}M([w],U_{1})\subseteq V_{1},\,M([w],U_{2})\subseteq V_{2}\,.$

Es sei ${}U\subseteq X$ die Wegzusammenhangskomponente der offenen Menge ${}U_{1}\cap U_{2}$, die ${}w(1)$ enthält. Weil ${}X$ lokal wegzusammenhängend ist, ist ${}U$ offen in ${}X$ nach dieser Aussage. Also ist ${}U$ eine offene Spezialumgebung von ${}w(1)$, denn der induzierte Gruppenhomomorphismus ${}\pi _{1}(U,w(1))\to \pi _{1}(X,w(1))$ faktorisiert als

${}\pi _{1}(U,w(1))\to \pi _{1}(U_{1}\cap U_{2},w(1))\to \pi _{1}(U_{1},w(1))\to \pi _{1}(X,w(1))\,$

und ist somit trivial. Des weiteren gilt offensichtlich

${}M([w],U)\subseteq M([w],U_{1})\cap M([w],U_{2})\subseteq V_{1}\cap V_{2}\,,$

was die Offenheit von ${}V_{1}\cap V_{2}$ liefert. Dass eine Vereinigung von offenen Mengen wieder offen ist, ist offensichtlich. Somit ist ${}{\tilde {X}}$ ein topologischer Raum.

Um zu zeigen, dass ${}q\colon {\tilde {X}}\to X$ eine Überlagerung ist, sei wieder ${}x\in U\subseteq X$ eine offene Spezialumgebung. Es ist

${}q^{-1}(U)=\{[v]\colon \,v\colon I\to X,\,v(0)=x_{0},\,v(1)\in U\}=\bigcup _{[w]\in q^{-1}(x)}M([w],U)\,.$

Denn zu ${}[v]\in q^{-1}(U)$ gibt es genau eine relative Homotopieklasse ${}[u(v)]$ eines Weges von ${}v(1)$ nach ${}x$ mit Bild in ${}U$. Somit liegt ${}[v]$ genau in der durch ${}[w]=[v{\scriptscriptstyle {\Box }}u(v)]$ indizierten Menge ${}M([w],U)$. Daraus folgert man zwei Sachen. Zum einen ist ${}q^{-1}(U)$ als Vereinigung offener Mengen wieder offen, was die Stetigkeit von ${}q$ liefert. Denn eine beliebige Umgebung eines Punktes enthält immer auch eine offene Spezialumgebung. Zum anderen ist die Vereinigung

${}\bigcup _{[w]\in q^{-1}(x)}M([w],U)\,$

disjunkt, wegen der oben erwähnten Eindeutigkeit. Es sei nun ${}\phi \colon M([w],U)\to U$ die Einschränkung von ${}q$ und ${}y\in U$, dann gibt es genau eine relative Homotopieklasse ${}[u(y)]$ eines Weges von ${}x$ nach ${}y$ mit Bild in ${}U$. Dies liefert eine Umkehrabbildung

${}\psi \colon U\to M([w],U),\,y\mapsto \psi (y)=[w{\scriptscriptstyle {\Box }}u(y)].\,$

Um die Stetigkeit von ${}\psi$ zu zeigen, reicht es, eine Menge der Form ${}M([v],V)\subseteq M([w],U)$ zu betrachten, wobei ${}[v]\in M([w],U)$ und ${}v(1)\in V\subseteq U$ eine offene Spezialumgebung ist. Dann ist

${}\psi ^{-1}{\bigl (}M([v],V){\bigr )}=\phi {\bigl (}M([v],V){\bigr )}=V\subseteq U\,$

offen in ${}U$. Somit ist ${}\phi \colon M([w],U)\to U$ eine topologische Äquivalenz. Anders ausgedrückt ist ${}q^{-1}(U)$ topologisch äquivalent zu dem Produkt ${}q^{-1}(x)\times U$, was zeigt, dass ${}q\colon {\tilde {X}}\to X$ eine Überlagerung ist.

Es bleibt zu zeigen, dass ${}{\tilde {X}}$ wegzusammenhängend und einfach-zusammenhängend ist. Es sei ${}[x_{0}]\in {\tilde {X}}$ die Homotopieklasse des konstanten Weges an ${}x_{0}$ und ${}[w]\in {\tilde {X}}$. Es sei ${}w\colon I\to X$ ein Repräsentant von ${}[x]$ und für alle ${}t\in I$ der Weg

${}w_{t}\colon I\to X,\,s\mapsto w_{t}(s)=w(s\cdot t)\,$

gegeben. Dann ist

${}W\colon I\to {\tilde {X}},\,t\mapsto [w_{t}]\,$

eine Abbildung mit ${}W(0)=[w_{0}]=[x_{0}]$ und ${}W(1)=[w_{1}]=[w]$. Sie ist stetig. Denn gegeben eine offene Spezialumgebung ${}w(t)\in U\subseteq X$, so gibt es aufgrund der Stetigkeit von ${}w$ ein ${}\delta >0$ mit

${}w{\bigl (}U_{I}(t,\delta ){\bigr )}\subseteq U\,$

. Insbesondere ist für jedes ${}s\in U_{I}(t,\delta )$ also ${}[w_{s}]\in M(w(t),U)$, denn

${}[w_{s}]=[w]{\scriptscriptstyle {\Box }}[u_{s}],\,u_{s}\colon I\to U,\,x\mapsto w{\bigl (}s+x(t-s){\bigr )}\,.$

Demnach ist ${}W$ ein Weg von ${}[x_{0}]$ nach ${}[w]$, und ${}{\tilde {X}}$ ist wegzusammenhängend. Der einfache Zusammenhang folgt, sobald ${}\pi _{1}({\tilde {X}},[x_{0}])$ trivial ist. Es sei also ${}v\colon I\to {\tilde {X}}$ eine Schleife an ${}[x_{0}]$ und ${}q\circ v\colon I\to X$ die induzierte Schleife an ${}x_{0}\in X$. Nun ist ${}q\colon {\tilde {X}}\to X$ eine Überlagerung, also ist ${}v$ nach diesem Satz bereits nullhomotop, wenn ${}q\circ v$ es ist. Es sei nun ${}w\colon I\to {\tilde {X}},\,t\mapsto [(q\circ v)_{t}]$ in obiger Notation, also ${}(q\circ v)_{t}(s)=(q\circ v)(s\cdot t)$. Dies ist ein Weg von ${}[x_{0}]$ zu ${}[(q\circ v)_{1}]=[q\circ v]$ mit der Eigenschaft, dass ${}q\circ w=q\circ v$ gilt. Die Eindeutigkeit aus dem Homotopie-Liftungssatz liefert nun ${}w=v$, also insbesondere

${}[q\circ v]=w(1)=v(1)=[x_{0}]\,,$

was den Beweis beendet.

$\Box$