Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/B-Regularität/Stetigkeit Cauchy-Produkt

Cauchy-Produkt - Stetigkeit

Betrachtet man zwei Polynome $p,q\in A[t]$ in dem normierten Raum $(A[t],\|\!|\cdot |\!\|_{D})$ .

p(t):=\sum _{k=0}^{\infty }p_{k}\cdot t^{k}{\mbox{ und }}q(t):=\sum _{k=0}^{\infty }q_{k}\cdot t^{k}

Dann liefert die Definition der Norm für das Produkt $p\cdot q$ :

\|\!|p\cdot q|\!\|_{D}=\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }D^{n}\cdot \left\|\sum _{k=0}^{n}p_{k}\cdot q_{n-k}\right\|_{A}

Normeigenschaften

Für die folgende Abbildung $\|\!|\cdot |\!\|_{D}:\to \mathbb {R} ^{+}$ gelten die Normeigenschaften, denn es gilt:

Homogenität

\|\!|\lambda \cdot p|\!\|_{D}=\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }D^{n}\cdot \left\|\lambda \cdot p_{k}\right\|_{A}|\lambda |\cdot \sum _{n=0}^{\infty }D^{n}\cdot \left\|p_{k}\right\|_{A}=|\lambda |\cdot \|\!|\lambda \cdot p|\!\|_{D}

Definitheit

Gilt für $p\in A[t]$ , dass $p\not =0_{_{A[t]}}$ das Nullpolynom in $A[t]$ , dann gibt ein $k\in \mathbb {N} _{0}$ mit $p_{k}\not =0_{_{A}}$ , d.h., das Polynom muss wenigsten einen vom Nullvektor verschiedenen Koeffizienten haben und man erhältmit den Normeigenschaften von $\|\cdot \|_{A}$ auch:

\|p_{k}\|_{A}>0\Rightarrow D^{k}\cdot \|p_{k}\|_{A}>0\Rightarrow \|\!|\lambda \cdot p|\!\|_{D}>0

Dreiecksungleichung

{\begin{array}{rcl}\|\!|p+q|\!\|_{D}&=&\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }D^{n}\cdot \left\|p_{k}+q_{k}\right\|_{A}\\&\leq &\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }D^{n}\cdot \left(\left\|p_{k}\right\|_{A}+\left\|q_{k}\right\|_{A}\right)\\&=&\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }D^{n}\cdot \left\|p_{n}\right\|_{A}+\sum _{n=0}^{\infty }D^{n}\cdot \left\|q_{n}\right\|_{A}\\&=&\|\!|p|\!\|_{D}+\|\!|q|\!\|_{D}\end{array}}

Submultiplikativität

{\begin{array}{rcl}\|\!|p\cdot q|\!\|_{D}&\leq &\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }D^{n}\cdot \left\|\sum _{k=0}^{n}p_{k}\cdot q_{n-k}\right\|_{A}\\&\leq &\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }D^{n}\cdot \sum _{k=0}^{n}\left\|p_{k}\cdot q_{n-k}\right\|_{A}\\&\leq &\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\sum _{k=0}^{n}\underbrace {D^{n}} _{=D^{k}\cdot D^{n-k}}\cdot \left\|p_{k}\right\|_{A}\cdot \left\|q_{n-k}\right\|_{A}\\&=&\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\sum _{k=0}^{n}D^{k}\cdot \left\|p_{k}\right\|_{A}\cdot D^{n-k}\cdot \left\|q_{n-k}\right\|_{A}\\&=&\|\!|p|\!\|_{D}\cdot \|\!|q|\!\|_{D}\end{array}}

D.h., dass die Multiplikation auf $(A[t],\|\!|\cdot |\!\|_{D})$ stetig ist. Der Index $D\in \mathbb {R} ^{+}$ bezeichnet die gewählte Basis für die Koeffizienten $D^{n}$ .