Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Kaskadenabschätzung Cauchy-Produkt - T-Regularität

Einführung

Bei der Cauchy-Multiplkikation hat man im allgemeinen Fall eine topologischen Algebra nicht mehr die Dreieckungleichung einer Halbnorm oder die Abschätzung mit einer Stetigkeitskonstante der Addition mit einer Quasinorm zur Verfügung und man muss bei der Addition für die Stetigkeit gegen ein anderen $p$-Gaugefunktional abschätzen.

$\|x+y\|_{\alpha }\leq \|x\|_{\beta }+\|y\|_{\beta }$

Dies führt zur Betrachtung von kaskadierenden Summen, die für die Abschätzung der Cauchy-Multimultiplikation auf der Polynomalgebra $A[t]$ verwendet wird.

Veranschaulichung

Die Stetigkeit des Cauchy-Produktes ist wesentlich für den ersten Schritt der Erweiterung auf die Algebra der Polynome.

Wasser-Kaskaden

Kaskaden bei Brunnen sind namensgebend für die kaskadierende Summen von Gaugefunktionalen (siehe folgende Abbildungen)

Kaskadierende Summe mit Gaugefunktionalen

Kaskadenabschätzung für das Cauchy-Produkt

Betrachtet man in Polynomalgebren $A[t]$ das Cauchy-Produkt, dann muss man die Polynomalgebra in einer Weise topologisieren, dass die Verknüpfungen auf der Algebra (also insbesondere die Multiplikation von Polynomen stetig sind. In allgemeinen topologischen Algebren gibt es keine Dreieckungleichung und daher erhöht sich bei Anwendung der Subadditivität bzw. Submultiplikativität jeweils der Index in der Sequenz. Nun ist es das Ziel die Lemma über Kaskadensummen und Kaskadenprodukte für die Stetigkeit der Cauchymultiplkation nutzbar zu machen.

Cauchy-Produkt

Gegeben sind allgemein zwei Polynome $p,q$ mit Koeffizienten aus ${\textstyle A}$.

$$p(t):=\sum _{k=0}^{\infty }p_{k}\cdot t^{k}{\mbox{ und }}q(t):=\sum _{k=0}^{\infty }q_{k}\cdot t^{k}$$

Dann wird Cauchy-Produkt von $p,q$ wie folgt definiert:

$$p(t)\cdot q(t):=\sum _{m=0}^{\infty }\sum _{k=0}^{n}p_{k}\cdot q_{m-k}\cdot t^{n}.$$

Gaugefunktional aus Stetigkeitssequenzen

Betrachtet man zwei Polynome $p,q\in A[t]$ in einer topologischen Algebra $(A[t],\|\!|\cdot |\!\|_{\mathcal {A}})$.

$$\|\!|p|\!\|_{\alpha }:=\sum _{k=0}^{\infty }\|p_{k}\|_{\alpha }$$

Dann liefert die Definition des $p$-Gaugefunktionals für das Produkt $p\cdot q$:

$$\|\!|p\cdot q|\!\|_{\alpha }=\displaystyle \sum _{m=0}^{\infty }\left\|\sum _{k=0}^{m}p_{k}\cdot q_{m-k}\right\|_{\alpha }$$

Bemerkung - Koeffizienten in Gaugefunktionalen

Für die Regularitätbeweise erhalten die Gaugefunktional auf der Polynomalgebra $A[t]$ noch positive Konstanten als Vorfaktoren.

$$\|\!|p|\!\|_{\alpha }:=\sum _{k=0}^{\infty }\underbrace {C_{k}(\alpha )} _{>0}\cdot \|p_{k}\|_{\alpha }$$

Bei den folgenden Vorüberlegungen entfallen diese zunächst, um das Vorgehen bzgl. der Kaskadenabschätzung zu klären.

Kaskadenlemma - Cauchy-Produkt

Für eine Cauchy-Produkt in der Polynomagebra $A[t]$ kann man zu jedem $\alpha \in {\mathcal {A}}$ eine Stetigkeitssequenz $\left(\|\cdot \|_{(\alpha ,n)}\right)_{n\in \mathbb {N} }$ finden, die die folgende Ungleichung erfüllt.

$\displaystyle \left\|\sum _{k=0}^{n}p_{k}\cdot q_{m-k}\right\|_{\alpha }\leq \sum _{k=0}^{n}\left(\left\|p_{k}\right\|_{(\alpha ,k+2)}\cdot \left\|q_{n-k}\right\|_{(\alpha ,(n-k)+2)}\right)$

Vorüberlegungen - Kaskadenlemma

Bei einem Cauchy-Produkt auf der Polynomalgebra greifen additive Verknüpfungen von $n$ Summanden mit einer multiplikativen Verknüpfung von zwei Koeffizienten inneinander. Bei der Addition hat man im allgemeinen Fall einer topologischen Algebra nicht mehr auf die Dreiecksungleichung bzw. die Subadditivität mit Stetigkeitskonstante einer Quasihalbnorm zurückgreifen. Als Ersatz wird das Kaskadenlemma der Addition verwendet, um auch auf der Polynomalgebra stetige algebraische Verknüpfungen für die Algebraerweiterung zu erhalten.

Anwendung des Kaskadenlemmas für Summen

Fallunterscheidung für $n$ gerade bzw. ungerade. In Abhängigkeit von der Anzahl der Summanden werden die $x_{n}$ und $y_{k}$ im Kaskadenlemma für Summen definiert.

• $x_{n}$ ist ein Koeffizient von $t^{n}$, wobei sich $x_{n}=p_{k}\cdot q_{n-k}$ zerlegen lässt.
• $y_{n}$ ist ein Koeffizient von $t^{n}$, wobei sich $y_{n}=p_{n-k}\cdot q_{k}$ zerlegen lässt.

Kaskadenlemma - ungerade Anzahl Summanden

Ist $n=1$ ungerade definiert man

• $x_{1}:=p_{0}\cdot q_{1}$ und $y_{1}:=p_{1}\cdot q_{0}$

Ist $n=3$ ungerade definiert man

• $x_{1}:=p_{0}\cdot q_{3}$ und $y_{1}:=p_{3}\cdot q_{0}$
• $x_{2}:=p_{1}\cdot q_{2}$ und $y_{2}:=p_{2}\cdot q_{1}$

Dies Vorgehen wird nun allgemein für beliebige ungerade $n\in \mathbb {N}$ verwendet.

Anwendung Kaskadenlemma 1 - ungerade Anzahl Summanden

Durch Anwendung auf das Cauchy-Produkt erhält man mit Indexverschiebung und $m:={\frac {n+1}{2}}$:

${\textstyle \displaystyle \left\|\sum _{k=1}^{m}x_{k}+y_{k}\right\|_{\alpha }\leq \sum _{k=0}^{m-1}\left(\|\underbrace {p_{k}\cdot q_{n-k}} _{x_{n}}\|_{(\alpha ,k+1)}+\|\underbrace {p_{n-k}\cdot q_{k}} _{y_{n}}\|_{(\alpha ,k+1)}\right)}$

Stetigkeit Multiplikation 2 - ungerade Anzahl Summanden

Durch Anwendung Korollar - Kaskadensummen auf das Cauchy-Produkt erhält man Indexverschiebung:

${\textstyle {\begin{array}{rcl}\displaystyle \left\|\sum _{k=1}^{m}x_{k}+y_{k}\right\|_{\alpha }&\leq &\displaystyle \sum _{k=0}^{m-1}\left(\left\|p_{k}\right\|_{(\alpha ,k+2)}\cdot \left\|q_{n-k}\right\|_{(\alpha ,k+2)}\right)\\&.&\,\,\,+\displaystyle \sum _{k=0}^{m-1}\left(\left\|p_{n-k}\right\|_{(\alpha ,k+2)}\cdot \left\|q_{k}\right\|_{(\alpha ,k+2)}\right)\end{array}}}$

Abschätzung Laufindex 3 - ungerade Anzahl Summanden

Mit $m:={\frac {n+1}{2}}$ und $n$ ungerade gilt:

• Aus $k<m$ folgt $(n-k)>m$ und
• Insgesamt $k<m<(n-k)$

Notwendig für Isotonie der Gaugefunktionale

$\|\cdot \|_{(\alpha ,k+2)}\leq \|\cdot \|_{(\alpha ,m+2)}\leq \|\cdot \|_{(\alpha ,(n-k)+2)}$

Isotonie Sequenz 4 - ungerade Anzahl Summanden

Durch Anwendung der Isotonie auf das Produkt erhält man mit $m:={\frac {n+1}{2}}$:

${\textstyle {\begin{array}{rcl}\displaystyle \left\|\sum _{k=1}^{m}x_{k}+y_{k}\right\|_{\alpha }&\leq &\displaystyle \sum _{k=0}^{m-1}\left\|p_{k}\right\|_{(\alpha ,k+2)}\cdot \left\|q_{n-k}\right\|_{(\alpha ,(n-k)+2)}\\&&\,\,\,+\displaystyle \sum _{k=0}^{m-1}\left\|p_{n-k}\right\|_{(\alpha ,(n-k)+2)}\cdot \left\|q_{k}\right\|_{(\alpha ,k+2)}\\\end{array}}}$

Cauchyprodukt 5 - ungerade Anzahl Summanden

Durch geeignet Umsortierung der Summanden erhält man mit $m={\frac {n+1}{2}}$:

${\textstyle \displaystyle \left\|\sum _{k=1}^{m}x_{k}+y_{k}\right\|_{\alpha }\leq \sum _{k=0}^{m-1}\left(\left\|p_{k}\right\|_{(\alpha ,k+2)}\cdot \left\|q_{n-k}\right\|_{(\alpha ,(n-k)+2)}\right)}$

Kaskadenlemma - gerade Anzahl Summanden

Ist $n=2$ gerade, definiert man

• $x_{1}:=p_{0}\cdot q_{2}$ und $y_{1}:=p_{2}\cdot q_{0}$
• $x_{2}:=p_{1}\cdot q_{1}$ und $y_{1}:=0_{A}$

Ist $n=4$ gerade definiert man

• $x_{1}:=p_{0}\cdot q_{4}$ und $y_{1}:=p_{4}\cdot q_{0}$
• $x_{2}:=p_{1}\cdot q_{3}$ und $y_{2}:=p_{3}\cdot q_{1}$
• $x_{3}:=p_{2}\cdot q_{2}$ und $y_{3}:=0_{A}$

Dies Vorgehen wird nun allgemein für beliebige gerade $n\in \mathbb {N}$ verwendet.

Anwendung Kaskadenlemma 1 - gerade Anzahl Summanden

Durch Anwendung auf das Cauchy-Produkt erhält man mit $m:={\frac {n}{2}}+1$ und $y_{m}=0_{A}$:

${\textstyle {\begin{array}{rcl}\displaystyle \left\|\sum _{k=1}^{m}x_{k}+y_{k}\right\|_{\alpha }&\leq &\left\|p_{m}\cdot q_{m}\right\|_{(\alpha ,m+1)}+\\&&\,\,\,+\displaystyle \sum _{k=0}^{m-1}\left(\left\|p_{k}\cdot q_{n-k}\right\|_{(\alpha ,k+1)}\right)\\&&\,\,\,+\displaystyle \sum _{k=0}^{m-1}\left(\left\|p_{n-k}\cdot q_{k}\right\|_{(\alpha ,k+1)}\right)\\\end{array}}}$

Stetigkeit Multiplikation 2 - gerade Anzahl Summanden

Durch Anwendung Korollar - Kaskadensummen und isotonie erhält mit $y_{m}=0_{A}$:

${\textstyle {\begin{array}{rcl}\displaystyle \left\|\sum _{k=1}^{m}x_{k}+y_{k}\right\|_{\alpha }&\leq &\displaystyle \left\|p_{m}\right\|_{(\alpha ,k+2)}\cdot \left\|q_{m}\right\|_{(\alpha ,m+2)}\\&.&\,\,\,+\displaystyle \sum _{k=0}^{m-1}\left(\left\|p_{k}\right\|_{(\alpha ,k+2)}\cdot \left\|q_{n-k}\right\|_{(\alpha ,k+2)}\right)\\&.&\,\,\,+\displaystyle \sum _{k=0}^{m-1}\left(\left\|p_{n-k}\right\|_{(\alpha ,k+2)}\cdot \left\|q_{k}\right\|_{(\alpha ,k+2)}\right)\end{array}}}$

Abschätzung Laufindex 3 - gerade Anzahl Summanden

Mit $m:={\frac {n}{2}}+1$ und $n$ gerade gilt:

• Aus $k<m$ folgt $(n-k)>m$ und
• Insgesamt $k<m<(n-k)$

Notwendig für Isotonie der Gaugefunktionale

$\|\cdot \|_{(\alpha ,k+2)}\leq \|\cdot \|_{(\alpha ,m+2)}\leq \|\cdot \|_{(\alpha ,(n-k)+2)}$

Isotonie Sequenz 4 - gerade Anzahl Summanden

Durch Anwendung auf der Isotonie auf das Produkt erhält:

${\textstyle {\begin{array}{rcl}\displaystyle \left\|\sum _{k=1}^{m}x_{k}+y_{k}\right\|_{\alpha }&\leq &\displaystyle \left\|p_{m}\right\|_{(\alpha ,m+2)}\cdot \left\|q_{m}\right\|_{(\alpha ,m+2)}\\&.&\,\,\,+\displaystyle \sum _{k=0}^{m-1}\left\|p_{k}\right\|_{(\alpha ,k+2)}\cdot \left\|q_{n-k}\right\|_{(\alpha ,(n-k)+2)}\\&&\,\,\,+\displaystyle \sum _{k=0}^{m-1}\left\|p_{n-k}\right\|_{(\alpha ,(n-k)+2)}\cdot \left\|q_{k}\right\|_{(\alpha ,k+2)}\\\end{array}}}$

Cauchyprodukt 5 - gerade Anzahl Summanden

Durch geeignete Umsortierung der Summanden erhält man mit $m:={\frac {n}{2}}+1$ und $y_{m}=0_{A}$:

${\textstyle \displaystyle \left\|\sum _{k=1}^{m}x_{k}+y_{k}\right\|_{\alpha }\leq \sum _{k=0}^{n}\left(\left\|p_{k}\right\|_{(\alpha ,k+2)}\cdot \left\|q_{n-k}\right\|_{(\alpha ,(n-k)+2)}\right)}$

Ungleichung Cauchy-Multiplikation

Insgesamt erhält man

$\displaystyle \left\|\sum _{k=0}^{n}p_{k}\cdot q_{m-k}\right\|_{\alpha }\leq \sum _{k=0}^{n}\left(\left\|p_{k}\right\|_{(\alpha ,k+2)}\cdot \left\|q_{n-k}\right\|_{(\alpha ,(n-k)+2)}\right)$

Koeffizienten im Gaugefunktional - Polynomalgebra

Mit den obigen Vorüberlegungen ist das prinzipielle Vorgehen für die Cauchy-Multiplikation geklärt. Nun fehlt noch die Integration der Koeffzienten, die durch die Konstanten aus dem ${\mathcal {T}}$-Regularitätkriterium für die Gaugefunktionale auf $A[t]$ berücksichtigt werden müssen.

Stetigkeitssequenzen auf Polynomalgebren

Wir betrachten nun Stetigkeitssequenzen von Gaugefunktionalen auf Polynomalgebren in $q\in A[t]$ in einer topologischen Algebra $(A[t],\|\!|\cdot |\!\|_{{\mathcal {A}}\times \mathbb {N} _{0}})$.

$$\|\!|p|\!\|_{(\alpha ,n)}:=\sum _{k=0}^{\infty }C_{k}^{n}(\alpha )\cdot \|p_{k}\|_{(\alpha ,n)}$$

Dabei muss man in einem nächsten Schritt die Koeffizienten $C_{k}^{n}(\alpha )>0$ so definieren, dass man wie bei den anderen Regularitätsbeweisen mit $B:=A[t]/I$ Algebraerweiterung von $A$ erhält in der $z\in A$ invertierbar ist.

Hausdorff-Eigenschaft

Sei $(A,\|\cdot \|_{\mathcal {A}})$ eine topologische Algebra mit dem basiserzeugenden Gaugefunktionalsystem $\|\cdot \|_{\mathcal {A}}$. Da $A$ die Hausdorff-Eigenschaft besitzt, trennt $\|\cdot \|_{\mathcal {A}}$ die Punkte, d.h. gilt für alle $x,y\in A$ mit $x\not =y$ gibt ein $\alpha \in {\mathcal {A}}$, sodass man mit $\|\cdot \|_{\alpha }$ den "Unterschied messen" kann und $\|x-y\|_{\alpha }>0$ gilt.

Hausdorff-Eigenschaft - Polynomalgebra

Damit auch die Polynomalgebra $A[t]$ die Hausdorff-Eigenschaft besitzt, definitiert man $C_{k}^{0}(\alpha ):=1$ und $\|\cdot \|_{(\alpha ,0)}:=\|\cdot \|_{\alpha }$ mit

$${\begin{array}{rcl}\|\!|p|\!\|_{(\alpha ,0)}&:=&\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }C_{k}^{0}(\alpha )\cdot \|p_{k}\|_{(\alpha ,0)}\\&=&\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }\|p_{k}\|_{\alpha }\end{array}}$$

Aufgabe für Studierende - Polynomalgebra

Sei $(A[t],\|\!\|\cdot \|\!\|_{{\mathcal {A}}\times \mathbb {N} _{0}})$ eine Polynomalgebra mit Koeffizienten aus der topologische Algebra $(A,\|\cdot \|_{\mathcal {A}})$ und einem basiserzeugenden Gaugefunktionalsystem $\|\cdot \|_{\mathcal {A}}$ auf $A$, wie oben definiert.

Hausdorff-Eigenschaft - Polynomalgebra

Zeigen Sie, dass die Polynomalgebra $(A[t],\|\!\|\cdot \|\!\|_{{\mathcal {A}}\times \mathbb {N} _{0}})$ ein Hausdorff-Raum ist.

Stetigkeit der Addition - Polynomalgebra

Zeigen Sie, dass in der Polynomalgebra $(A[t],\|\!\|\cdot \|\!\|_{{\mathcal {A}}\times \mathbb {N} _{0}})$ die Addition stetig ist.

Stetigkeit der Multiplikation - Polynomalgebra

Zeigen Sie, dass in der Polynomalgebra $(A[t],\|\!\|\cdot \|\!\|_{{\mathcal {A}}\times \mathbb {N} _{0}})$ die Multiplikation stetig ist.

Homogenität der Multiplikation mit Skalaren - Polynomalgebra

Zeigen Sie, dass in der Polynomalgebra $(A[t],\|\!\|\cdot \|\!\|_{{\mathcal {A}}\times \mathbb {N} _{0}})$ die Gaugefunktionale $\|\!\|\cdot \|\!\|_{{\mathcal {A}}\times \mathbb {N} _{0}}$ die homogen sind und damit Multiplikation mit Skalaren auf $A[t]$ stetig ist (siehe Topologisierungslemma für Algebren).

Siehe auch

• Stetigkeit Cauchy-Produkt in Banachalgebren
• P-Regularität
• Lemma - Kaskadensummen
• Lemma - Kaskadenprodukte
• ${\mathcal {T}}$-Regularitätkriterium

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