Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Satz - Quasinormierbarkeit

Einleitung

Der Satz zur Quasinormierbarkeit von topologischen Vektorräumen $(V,{\mathcal {T}})$ stellt einen Zusammenhang zwischen Quasinormierbarkeit und der lokalen Beschränktheit der Topologie ${\mathcal {T}}$ . Lokale Beschränktheit bedeutet dabei, dass eine "beschränkte" Nullumgebung $U_{o}$ exisitiert. Insgesamt ist Satz über Quasinormierbarkeit zusammen mit dem Satz zur p-Normierbarkeit einer der beiden notwendigen Teilaussagen für den Beweis des Korrespondenzsatzes für p-Normen Quasinormen (siehe Köthe^[1]).

Korrespondenzsatz p-Normen - Quasinormen - lokale Beschränktheit

Jeder topologische Vektorraum ist genau dann ${\textstyle p}$ -normierbar, wenn dieser lokal beschränkt ist. Ebenso ist jeder topologische Vektorraum ist genau dann quasinormierbar, wenn die Topologie lokal beschränkt. Damit erhält man die Äquivalenzaussage des Korrespondenzsatzes:

{\begin{array}{rcl}(A,{\mathcal {T}}_{A}){\mbox{ quasinormierbar }}&\Leftrightarrow &(A,{\mathcal {T}}_{A}){\mbox{ lokalbeschränkt }}\\&\Leftrightarrow &(A,{\mathcal {T}}_{A}){\mbox{ p-normierbar }}\end{array}}

.

Satz: Quasinormierbarkeit

Die Topologie eines topologischen Vektorraums ${\textstyle V}$ kann genau dann durch eine Quasinorm gegeben werden, wenn ${\textstyle V}$ lokalbeschränkt ist.

Beweis

Der Beweis der Äquivalenz gliedert sich in zwei Beweisteile der folgenden Implikationen

(Beweisteil 1) Gegeben ist ein lokalbeschränkter topologischer Raum ${\textstyle (V,{\mathcal {T}})}$ und man zeigt, dass die Topologie ${\textstyle {\mathcal {T}}}$ durch eine Quasinorm ${\textstyle \left\|\cdot \right\|}$ topologisiert werden kann.
(Beweisteil 2) Gegeben ist ein quasinormierbarer topologischer Raum ${\textstyle (V,{\mathcal {T}})}$ mit Quasinorm ${\textstyle \left\|\cdot \right\|}$ und ${\textstyle V}$ und man zeigt, dass die Topologie ${\textstyle {\mathcal {T}}}$ lokalbeschränkt ist.

Beweisteil 1:

"' ${\textstyle \Longleftarrow }$ "': Sei ${\textstyle (V,{\mathcal {T}})}$ ein lokalbeschränkter topologischer Raum und ${\textstyle \left\|\cdot \right\|:=p_{U}}$ das Minkowski-Funktional einer kreisförmigen und beschränkten Nullumgebung ${\textstyle U}$ , die in einem lokalbeschränkten Raum existiert. Nun sind die Eigenschaften einer Quasinorm für das definierte Minkowski-Funktional zu zeigen.

Beweisschritt 1.1 - Nullumgebungsbasis

${\textstyle \{\lambda \cdot U\}_{\lambda >0}}$ ist eine Nullumgebungsbasis der Topologie. Die Nichtnegativität der Quasinorm und die Homogenität ergeben sich aus der Definition des Minkowski-Funktionals (siehe Topologisierungslemma für Algebren), wobei die Homogenität in ${\textstyle (Q2)}$ ist eine unmittelbare Folgerung aus der Kreisförmigkeit von ${\textstyle U}$ ist.

Beweisschritt 1.2 - Hausdorff-Eigenschaft

Die Eigenschaft ${\textstyle (Q1)}$ $x=0_{V}\Longleftrightarrow \|x\|=0$ einer Quasinorm ergibt sich aus der Hausdorff-Eigenschaft von ${\textstyle V}$ .

Beweisschritt 1.3 - Stetigkeit der Addition

Mit der Stetigkeit der Addition kann man für die gegebene beschränkte Nullumgebung $U$ eine Nullumgebung $U_{o}\in {\mathfrak {U}}_{\mathcal {T}}(0_{V})$ finden mit

U_{o}+U_{o}\subseteq U

(siehe Topologisierungslemma für Algebren).

Beweisschritt 1.4 - Stetigkeit der Addition

Da ${\textstyle \{\lambda \cdot U\}_{\lambda >0}}$ eine Nullumgebungsbasis der Topologie ist, kann man für diese $U_{o}$ ein $\lambda _{o}>0$ finden, mit $\lambda _{o}U\subseteq U_{o}$ . Über Einsetzung in die Mengeninklusion erhält man:

\exists _{\displaystyle \lambda _{o}>0}:\underbrace {\lambda _{o}\cdot U} _{\subseteq U_{o}}+\underbrace {\lambda _{o}\cdot U} _{\subseteq U_{o}}\subset U\Longrightarrow U+U\subset \underbrace {\frac {1}{\lambda _{o}}} _{=:K}U.

Beweisschritt 1.5 - Konkavitätsungleichung

Damit gilt für ${\textstyle \lambda :=\left\|x\right\|+\varepsilon }$ , ${\textstyle \mu :=\left\|y\right\|+\varepsilon }$ mit ${\textstyle \varepsilon >0}$ beliebig:

{\begin{array}{rcl}{\frac {x}{\lambda }},{\frac {y}{\mu }}\in U&\Longrightarrow &{\frac {\lambda }{\lambda +\mu }}\cdot {\frac {x}{\lambda }}+{\frac {\mu }{\lambda +\mu }}\cdot {\frac {y}{\mu }}={\frac {x+y}{\lambda +\mu }}\in U+U\\&\Longrightarrow &x+y\in (\lambda +\mu )\cdot (U+U)\subset (\lambda +\mu )(K\cdot U)\\&\Longrightarrow &\left\|x+y\right\|\leq K\cdot (\left\|x\right\|+\left\|y\right\|+2\varepsilon )\end{array}}

Da ${\textstyle \varepsilon >0}$ beliebig gewählt werden kann, folgt die Eigenschaft ${\textstyle (Q3)}$ aus der Definition der Quasinorm.

Beweisteil 2:

"' ${\textstyle \Longrightarrow }$ "': Nach Voraussetzung wird die Toplogie ${\mathcal {T}}$ nun durch eine Quasinorm ${\textstyle \left\|\cdot \right\|}$ erzeugt. Damit bilden die ${\textstyle \varepsilon }$ -Kugeln der Quasinorm

\left\{U_{\varepsilon }\subset V\,\colon \,U_{\varepsilon }:={\rm {B}}_{\varepsilon }(0_{V})\wedge \varepsilon >0\right\}{\mbox{ mit }}{\rm {B}}_{\varepsilon }(0_{V}):=\{x\in V\,\colon \,\|x\|<\varepsilon \}

eine Nullumgebungsbasis aus kreisförmigen und absorbierenden Mengen.

Beweis 2.1 - Stetigkeit der Skalarmultiplikation

Die Eigenschaft ${\textstyle (Q2)}$ aus Definition der Quasinorm liefert die Stetigkeit der Skalarmultiplikation (siehe Topologisierungslemma für Algebren).

Beweis 2.2 - Lokalbeschränkheit

${\textstyle U_{1/2}}$ ist eine beschränkte Nullumgebung, denn es gilt

\varepsilon \cdot U_{1/2}\subset U_{\varepsilon }={\rm {B}}_{\varepsilon }(0_{V})=\{x\in V\,\colon \,\|x\|<\varepsilon \}.

Beweis 2.2 - Hausdorff-Eigenschaft

Aus ${\textstyle (Q1)}$ in der Definition der Quasinorm folgt, dass die Topologie Hausdorff'sch ist.

Beweis 2.3 - Stetigkeit der Addition - Konkavitätsungleichung

Mit der Stetigkeitskonstante der Addition ${\textstyle K}$ erhält man für ${\textstyle x,y\in U_{1}}$ - also $\|x\|<1+\varepsilon$ und $\|y\|<1+\varepsilon$ für beliebige $\varepsilon >0$ :