Betrachtet man zwei Polynome
in dem normierten Raum
.

Dann liefert die Definition der Norm für das Produkt
:

Für die folgenden Abbildung
sind Halbnormen auf der Polynomalgebra
. Die Halbnormeigenschaften und die Hausdorff-Eigenschaft auf
werden nun gezeigt. Diese bestehen aus elementaren Anwendungen der Halbnormeigenschaften des gegebenen Halbnormensystems auf
.
Für alle
und alle
gilt:

Gilt für
, dass
das Nullpolynom in
, dann gibt ein
mit
, d.h., das Polynom muss wenigsten einen vom Nullvektor verschiedenen Koeffizienten haben und man erhält mit der Hausdorff-Eigenschaft der gegebenen topologischen Algebra
mindestens eine Halbnorm
mit
mit:


Mit der Stetigkeit der Multiplikation auf
gibt es zu jedem
ein
, sodass für alle

Diese Halbnorm wird nun verwendet, um auf für die Cauchy-Multiplkation auf
eine entsprechend Halbnorm
zu definieren, mit der die Cauchy-Multiplikation stetig wird.
Aus der Negation der Eigenschaft, dass ein Element topologisch kleine Potenzen besitzt, erhält man Konstanten
, die als Folge von positive Konstanten
entweder direkt oder über das TGP-Regularitätskriterium für Elemente mit topologisch großen Potenzen für jedes
gewählt werden können. Diese Konstantenfolge
wird in Koeffizientenlemma der Cauchy-Multiplikation verwendet.
Koeffizientenlemma der Cauchy-Multiplikation
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Mit dem Koeffizientenlemma der Cauchy-Multiplikation und
Stetigkeitskonstante der Addition einer Halbnorm
. Ferner seien zwei Folgen positiver Zahlen
und
gegeben. Dann gibt es eine Folge
von positiven Zahlen, die folgende zwei Eigenschaften erfüllt:
- (KL1)
für alle 
- (KL2)
für alle
.
Stetigkeit der Multiplikation - Polynomalgebra
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Mit der Stetigkeit der Multiplikation auf
und der Anwendung des Koeffizientenlemmas der Cauchy-Multiplikation erhält man:

Mit der obigen Abschätzung für alles
erhält man, dass die Multiplikation auf
stetig ist.
Die Indizes
induzieren durch das gegebene Halbnormensystem
auch für das Halbnormensystem
auf
induziert. Der Zusammenhang von
bzgl. der Stetigkeit der Multiplikation bleibt auch auf
erhalten.
Bei dem obigen Vorgehen muss man nun wieder zu dem
wieder ein
und entsprechende Konstanten finden, um die Halbnorm nach oben submultiplikativ abzuschätzen.

Dadurch entstehen Stetigkeitssequenzen der Multiplikation
, die bei einem
starten.
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