Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/LC-Stetigkeit Cauchy-Produkt

Cauchy-Produkt - Stetigkeit

Betrachtet man zwei Polynome $p,q\in A[t]$ in dem normierten Raum $(A[t],\|\!|\cdot |\!\|_{D})$.

$$p(t):=\sum _{k=0}^{\infty }p_{k}\cdot t^{k}{\mbox{ und }}q(t):=\sum _{k=0}^{\infty }q_{k}\cdot t^{k}$$

Dann liefert die Definition der Norm für das Produkt $p\cdot q$:

$$\|\!|p\cdot q|\!\|_{\alpha }=\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }C_{n}(\alpha )\cdot \left\|\sum _{k=0}^{n}p_{k}\cdot q_{n-k}\right\|_{\alpha }$$

Halbnormeigenschaften

Für die folgenden Abbildung $\|\!|\cdot |\!\|_{\alpha }:\to \mathbb {R} ^{+}$ sind Halbnormen auf der Polynomalgebra $A[t]$. Die Halbnormeigenschaften und die Hausdorff-Eigenschaft auf $A[t]$ werden nun gezeigt. Diese bestehen aus elementaren Anwendungen der Halbnormeigenschaften des gegebenen Halbnormensystems auf $(A,\|\cdot \|_{\mathcal {A}})$.

Homogenität

Für alle $p\in A[t]$ und alle $\lambda \in \mathbb {K}$ gilt:

$${\begin{array}{rcl}\|\!|\lambda \cdot p|\!\|_{\alpha }&=&\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }C_{k}(\alpha )\cdot \left\|\lambda \cdot p_{k}\right\|_{\alpha }\\&=&\displaystyle |\lambda |\cdot \sum _{n=0}^{\infty }C_{k}(\alpha )\cdot \left\|p_{k}\right\|_{\alpha }\\&=&|\lambda |\cdot \|\!|p|\!\|_{\alpha }\end{array}}$$

Definitheit

Gilt für $p\in A[t]$, dass $p\not =0_{_{A[t]}}$ das Nullpolynom in $A[t]$, dann gibt ein $k\in \mathbb {N} _{0}$ mit $p_{k}\not =0_{_{A}}$, d.h., das Polynom muss wenigsten einen vom Nullvektor verschiedenen Koeffizienten haben und man erhält mit der Hausdorff-Eigenschaft der gegebenen topologischen Algebra $(A,\|\cdot \|_{\mathcal {A}})$ mindestens eine Halbnorm $\|\cdot \|_{\alpha }$ mit $\alpha \in {\mathcal {A}}$ mit:

$\|p_{k}\|_{\alpha }>0\Rightarrow C_{k}(\alpha )\cdot \|p_{k}\|_{\alpha }>0\Rightarrow \|\!|p|\!\|_{\alpha }>0$

Dreiecksungleichung

$${\begin{array}{rcl}\|\!|p+q|\!\|_{\alpha }&=&\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }C_{n}(\alpha )\cdot \left\|p_{k}+q_{k}\right\|_{\alpha }\\&\leq &\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }C_{n}(\alpha )\cdot \left(\left\|p_{k}\right\|_{\alpha }+\left\|q_{k}\right\|_{\alpha }\right)\\&=&\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }C_{n}(\alpha )\cdot \left\|p_{n}\right\|_{\alpha }+\sum _{n=0}^{\infty }C_{n}(\alpha )\cdot \left\|q_{n}\right\|_{\alpha }\\&=&\|\!|p|\!\|_{\alpha }+\|\!|q|\!\|_{\alpha }\end{array}}$$

Stetigkeit der Multiplikation

Mit der Stetigkeit der Multiplikation auf $(A,\|\cdot \|_{\mathcal {A}})$ gibt es zu jedem $\alpha \in {\mathcal {A}}$ ein $\beta \in {\mathcal {A}}$, sodass für alle $x,y\in A$

$\|x\cdot y\|_{\alpha }\leq \|x\|_{\beta }\cdot \|y\|_{\beta }$

Diese Halbnorm wird nun verwendet, um auf für die Cauchy-Multiplkation auf $A[t]$ eine entsprechend Halbnorm $\|\!|\cdot |\!\|_{\beta }$ zu definieren, mit der die Cauchy-Multiplikation stetig wird.

TGP-Regularitätskriterium

Aus der Negation der Eigenschaft, dass ein Element topologisch kleine Potenzen besitzt, erhält man Konstanten $D_{n}(\alpha )>0$, die als Folge von positive Konstanten $\left(D_{n}(\alpha )\right)_{n\in \mathbb {N} _{0}}$ entweder direkt oder über das TGP-Regularitätskriterium für Elemente mit topologisch großen Potenzen für jedes $\alpha \in {\mathcal {A}}$ gewählt werden können. Diese Konstantenfolge $\left(D_{n}(\alpha )\right)_{n\in \mathbb {N} _{0}}$ wird in Koeffizientenlemma der Cauchy-Multiplikation verwendet.

Koeffizientenlemma der Cauchy-Multiplikation

Mit dem Koeffizientenlemma der Cauchy-Multiplikation und $K_{\alpha }=1$ Stetigkeitskonstante der Addition einer Halbnorm $\|\cdot \|_{\alpha }$. Ferner seien zwei Folgen positiver Zahlen ${\textstyle (C_{n}(\alpha ))_{n\in \mathbb {N} _{0}}}$ und ${\textstyle (D_{n}(\alpha ))_{n\in \mathbb {N} _{0}}}$ gegeben. Dann gibt es eine Folge ${\textstyle (C_{n}(\beta ))_{n\in \mathbb {N} _{0}}}$ von positiven Zahlen, die folgende zwei Eigenschaften erfüllt:

• (KL1) ${\textstyle C_{i}(\beta )\geq D_{i}(\alpha )}$ für alle ${\textstyle i\in \mathbb {N} _{0}}$
• (KL2) ${\textstyle C_{i+j}(\alpha )\leq C_{i}(\beta )\cdot C_{j}(\beta )}$ für alle ${\textstyle i,j\in \mathbb {N} _{0}}$.

Stetigkeit der Multiplikation - Polynomalgebra

Mit der Stetigkeit der Multiplikation auf $A$ und der Anwendung des Koeffizientenlemmas der Cauchy-Multiplikation erhält man:

${\begin{array}{rcl}\|\!|p\cdot q|\!\|_{\alpha }&\leq &\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }C_{n}(\alpha )\cdot \left\|\sum _{k=0}^{n}p_{k}\cdot q_{n-k}\right\|_{\alpha }\\&\leq &\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }C_{n}(\alpha )\cdot \sum _{k=0}^{n}\left\|p_{k}\cdot q_{n-k}\right\|_{\alpha }\\&\leq &\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\sum _{k=0}^{n}\underbrace {C_{n}(\alpha )} _{=C_{k}(\beta )\cdot C_{n-k}(\beta )}\cdot \left\|p_{k}\right\|_{\beta }\cdot \left\|q_{n-k}\right\|_{\beta }\\&=&\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\sum _{k=0}^{n}C_{k}(\beta )\cdot \left\|p_{k}\right\|_{\beta }\cdot C_{n-k}(\beta )\cdot \left\|q_{n-k}\right\|_{\beta }\\&=&\|\!|p|\!\|_{\beta }\cdot \|\!|q|\!\|_{\beta }\end{array}}$

Bemerkung: Indizes der Halbnormen

Mit der obigen Abschätzung für alles $\alpha \in {\mathcal {A}}$ erhält man, dass die Multiplikation auf $(A[t],\|\!|\cdot |\!\|_{\mathcal {A}})$ stetig ist. Die Indizes $\alpha ,\beta \in {\mathcal {A}}$ induzieren durch das gegebene Halbnormensystem $\left\|\cdot \right\|_{\mathcal {A}}$ auch für das Halbnormensystem $\|\!|\cdot |\!\|_{\mathcal {A}}$ auf $A[t]$ induziert. Der Zusammenhang von $\alpha ,\beta \in {\mathcal {A}}$ bzgl. der Stetigkeit der Multiplikation bleibt auch auf $(A[t],\|\!|\cdot |\!\|_{\mathcal {A}})$ erhalten.

Stetigkeitssequenzen

Bei dem obigen Vorgehen muss man nun wieder zu dem $\beta \in {\mathcal {A}}$ wieder ein $\gamma \in {\mathcal {A}}$ und entsprechende Konstanten finden, um die Halbnorm nach oben submultiplikativ abzuschätzen.

$\|\!|p\cdot q|\!\|_{\beta }\leq \|\!|p|\!\|_{\gamma }\cdot \|\!|q|\!\|_{\gamma }$

Dadurch entstehen Stetigkeitssequenzen der Multiplikation $\left(\|\!|\cdot |\!\|_{(\alpha ,n)}\right)_{n\in \mathbb {N} _{o}}$, die bei einem $\alpha \in {\mathcal {A}}$ starten.

Siehe auch

• Halbnorm
• Stetigkeit Cauchy-Produkt in Banachalgebren
• PC-Stetigkeit Cauchy-Produkt
• TGP-Regularitätskriterium
• Koeffizientenlemma der Cauchy-Multiplikation - (Foliensatz)

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