Die folgende Aussage[1] liefert einerseits die Negation der -Eigenschaft und andererseits sogar eine Charakterisierung der -Regularität in kommutativen lokalkonvexe Algebren und der -Regularität in kommutativen pseudokonvexe Algebren. Der Beweis des Satzes erfolgt analog zum Satz, der die TKP-Eigenschaft über Gaugefunktionale charakterisiert.
Der Beweise des folgenden Satzes verwendet Stetigkeitssequenzen bei K-Regularität verwendet die Algebraerweiterung und -Regulärität dazu, die topologischen Eigenschaften von einem -regulären Element in selbt darüber abzuleiten.
Satz: Stetigkeitssequenzen K-Regularität
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Sei und , dann gibt es für alle , ein , eine Folge von Gaugefunktionalen mit Konstanten mit , für die folgende Bedingungen gelten:
- (U1) für alle und ,
- (U2) für alle und .
Seien ,
, eine
-Erweiterung von und sei das Inverse zu . Ohne Einschränkung sind die obigen Gaugefunktionalsysteme unital positiv.
Beweis 1: Äquivalentes Gaugefunktionalsystem
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Man betrachtet das auf der Algebraerweiterung definierte Gaugefunktionalsystem und induziert damit ein Gaugefunktionalsystem auf , das zu dem gegebenen Gaugefunktionalsystem äquivalent ist.
Beweis 2: Definition äquivalentes Gaugefunktionalsystem
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Das von auf induzierte Gaugefunktionalsystem wird mit dem Algebraisomorphismus definiert (siehe Algebraerweiterung) d.h.
Beweis 3: Homöomorphie - Äquivalenz Gaugefunktionalsystem
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Da ein Algebraisomorphismus ist und homöomorph zu ist, liefert die Stetigkeit von und die Äquivalenz der Gaugefunktionalsysteme und .
Beweis 4 - Stetigkeit der Multiplikation
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Für alle gibt es ein , sodass für alle gilt
Für alle gibt es ein , sodass für alle gilt
Beweis 5 - Definition von Stetigkeitssequenzen
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Nun sei das multiplikativ inverse Element zu dann definiert man damit folgendes System mit
den -Gaugefunktionalen mit .
Beweis 6 - Ungleichung U1 über Gaugefunktionale
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Man erhält über die Stetigkeit der Multiplikation folgende Ungleichungen:
Unter Verwendung der Unitalen Positivität der verwendeten Gaugfunktionalsysteme erhält man insbesondere:
Beweis 8 - Ungleichung U2 über Gaugefunktionale
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Für diese gibt es eine Konstante und ein
Beweis 9 - Äquivalenz der Gaugefunktionalsysteme
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Insgesamt gilt die folgende Abschätzung
durch die Äquivalenz der Gaugefunktionalsysteme auch für das gegebene Gaugefunktionalsystem , denn für alle gibt es eine Konstante und eine mit
Beweis 10 - Äquivalenz der Gaugefunktionalsysteme
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Dann gibt es wieder mit der Äquivalenz der Gaugefunktionalsysteme gibt es ein eine Konstante mit
Beweis 11 - Ungleichung U1 mit Äquivalenz
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Insgesamt erhält man für alle gibt es ein und Konstanten , sodass für alle :
Beweis 12 - Ungleichung U2 mit Äquivalenz
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Insgesamt erhält man für alle gibt es ein und Konstanten die analoge Ungleichung für das Gaugefunktionalsystem für alle :
Insgesamt gelten nun die beiden Ungleichungen:
- (U1) für alle und ,
- (U2) für alle und .
Damit folgt die Behauptung.
- ↑ Engelbert Niehaus (1994) K-reguläre Elemente - Schriftenreihe des Fachbereichs Mathematik - Westfälische Wilhelms–Universität Münster, S.48-49
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