Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Satz - Stetigkeitssequenzen K-Regularität

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Einführung[Bearbeiten]

Die folgende Aussage[1] liefert einerseits die Negation der -Eigenschaft und andererseits sogar eine Charakterisierung der -Regularität in kommutativen lokalkonvexe Algebren und der -Regularität in kommutativen pseudokonvexe Algebren. Der Beweis des Satzes erfolgt analog zum Satz, der die TKP-Eigenschaft über Gaugefunktionale charakterisiert.

Stetigkeitssequenzen[Bearbeiten]

Der Beweise des folgenden Satzes verwendet Stetigkeitssequenzen bei K-Regularität verwendet die Algebraerweiterung und -Regulärität dazu, die topologischen Eigenschaften von einem -regulären Element in selbt darüber abzuleiten.

Satz: Stetigkeitssequenzen K-Regularität[Bearbeiten]

Sei und , dann gibt es für alle , ein , eine Folge von Gaugefunktionalen mit Konstanten mit , für die folgende Bedingungen gelten:

  • (U1) für alle und ,
  • (U2) für alle und .

Beweis[Bearbeiten]

Seien , , eine -Erweiterung von und sei das Inverse zu . Ohne Einschränkung sind die obigen Gaugefunktionalsysteme unital positiv.

Beweis 1: Äquivalentes Gaugefunktionalsystem[Bearbeiten]

Man betrachtet das auf der Algebraerweiterung definierte Gaugefunktionalsystem und induziert damit ein Gaugefunktionalsystem auf , das zu dem gegebenen Gaugefunktionalsystem äquivalent ist.

Beweis 2: Definition äquivalentes Gaugefunktionalsystem[Bearbeiten]

Das von auf induzierte Gaugefunktionalsystem wird mit dem Algebraisomorphismus definiert (siehe Algebraerweiterung) d.h.

Beweis 3: Homöomorphie - Äquivalenz Gaugefunktionalsystem[Bearbeiten]

Da ein Algebraisomorphismus ist und homöomorph zu ist, liefert die Stetigkeit von und die Äquivalenz der Gaugefunktionalsysteme und .

Beweis 4 - Stetigkeit der Multiplikation[Bearbeiten]

Für alle gibt es ein , sodass für alle gilt

Für alle gibt es ein , sodass für alle gilt

Beweis 5 - Definition von Stetigkeitssequenzen[Bearbeiten]

Nun sei das multiplikativ inverse Element zu dann definiert man damit folgendes System mit den -Gaugefunktionalen mit .

Beweis 6 - Ungleichung U1 über Gaugefunktionale[Bearbeiten]

Man erhält über die Stetigkeit der Multiplikation folgende Ungleichungen:

Beweis 7 - Unitale Positivität[Bearbeiten]

Unter Verwendung der Unitalen Positivität der verwendeten Gaugfunktionalsysteme erhält man insbesondere:

Beweis 8 - Ungleichung U2 über Gaugefunktionale[Bearbeiten]

Für diese gibt es eine Konstante und ein

Beweis 9 - Äquivalenz der Gaugefunktionalsysteme[Bearbeiten]

Insgesamt gilt die folgende Abschätzung durch die Äquivalenz der Gaugefunktionalsysteme auch für das gegebene Gaugefunktionalsystem , denn für alle gibt es eine Konstante und eine mit

Beweis 10 - Äquivalenz der Gaugefunktionalsysteme[Bearbeiten]

Dann gibt es wieder mit der Äquivalenz der Gaugefunktionalsysteme gibt es ein eine Konstante mit

Beweis 11 - Ungleichung U1 mit Äquivalenz[Bearbeiten]

Insgesamt erhält man für alle gibt es ein und Konstanten , sodass für alle :

Beweis 12 - Ungleichung U2 mit Äquivalenz[Bearbeiten]

Insgesamt erhält man für alle gibt es ein und Konstanten die analoge Ungleichung für das Gaugefunktionalsystem für alle :

Beweis 13[Bearbeiten]

Insgesamt gelten nun die beiden Ungleichungen:

  • (U1) für alle und ,
  • (U2) für alle und .

Damit folgt die Behauptung.

Quellennachweise[Bearbeiten]

  1. Engelbert Niehaus (1994) K-reguläre Elemente - Schriftenreihe des Fachbereichs Mathematik - Westfälische Wilhelms–Universität Münster, S.48-49

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Siehe auch[Bearbeiten]

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