Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/LC-Regularität

Einführung

Wenn wir die ${\mathcal {LC}}$-Regularität eines Elementes $z\in A$ für eine lokalkonvexe topologische Algebra $(A,\|\cdot \|_{\mathcal {A}})$ sprechen, suchen wir nach einer lokalkonvexen Algebraerweiterungen $(B,\|\cdot \|_{\mathcal {B}})$ von $(A,\|\cdot \|_{\mathcal {A}})$ in der $z\in A$ invertierbar ist. Dabei besteht

• $\|\cdot \|_{\mathcal {A}}:=\{\|\cdot \|_{\alpha }\,:\,\alpha \in {\mathcal {A}}\}$ und
• $\|\cdot \|_{\widetilde {\mathcal {A}}}:=\{\|\cdot \|_{\widetilde {\alpha }}\,:\,{\widetilde {\alpha }}\in {\widetilde {\mathcal {A}}}\}$

aus einem System von Halbnormen, die die Topologie auf $A$ bzw. $B$ erzeugen.

Zielsetzung

Zielsetzung einer lokalkonvexe Algebraerweiterung $(B,\|\cdot \|_{\mathcal {B}})$ zu einer gegebenen topologischen Algebra $(A,\|\cdot \|_{\mathcal {A}})$ mit $z\in A$ ist es, die gegebene lokalkonvexe Algebraerweiterung so zu vergrößern, dass diese ein inverses Element $z^{-1}:=b\in B$ in der lokalkonvexen Algebraerweiterung $B$ besitzt. Als topologieerzeugende $p$-Gaugefunktionale werden hier Halbnormen $\|\cdot \|_{\mathcal {A}}$ und $\|\cdot \|_{\widetilde {\mathcal {A}}}$ verwendet.

LC-Singularität und topologisch kleine Potenzen

Für kommutative lokalkonvexe Algebren $(A,\|\cdot \|_{\mathcal {A}})$ mit unital positivem Halbnormensystem $\|\cdot \|_{\mathcal {A}}$ erhält man folgende Charakterisierung:

$z\in {\mathcal {TKP}}(A)$ (topologisch kleine Potenzen) $z\in A$ $\Longrightarrow$ ${\mathcal {LC_{e}^{k}}}$-singulär

Charakterisierung der LC-Regularität

Für kommutative lokalkonvexe Algebren $(A,\|\cdot \|_{\mathcal {A}})$ mit unital positivem $p$-Halbnormensystem $\|\cdot \|_{\mathcal {A}}$ erhält man folgende Charakterisierung:

$z\in A$ erfüllt das LC-Regularitätskriterium $\Longleftrightarrow$ $z\in A$ ${\mathcal {LC_{e}^{k}}}$-regulär

LC-Regularitätskriterium

Ein Element $z\in A$ besitzt genau ${\mathcal {LC}}_{e}^{k}$-regulär in ${\textstyle \left(A,\left\|\cdot \right\|_{\mathcal {A}}\right)\in {\mathcal {LC}}_{e}^{k}}$, wenn es für alle ${\textstyle \alpha \in {\mathcal {A}}}$ ein ${\textstyle \beta \in {\mathcal {A}}}$ und eine isotone Folge von Halbnormen ${\textstyle \left(\left\|\cdot \right\|_{(\alpha ,k)}\right)_{k\in \mathbb {N} _{0}}}$ mit positiven Konstanten ${\textstyle D_{(\alpha ,k)}}$ gibt, für die gilt:

• (LC1) ${\textstyle \left\|x\right\|_{\alpha }\leq \left\|x\right\|_{(\alpha ,k)}\leq D_{(\alpha ,k)}\cdot \left\|x\right\|_{\beta }}$ für alle ${\textstyle x\in A}$ und ${\textstyle k\in \mathbb {N} _{0}}$ und
• (LC2) ${\textstyle \left\|x\right\|_{(\alpha ,k)}\leq \left\|z\cdot x\right\|_{(\alpha ,k+1)}}$ für alle ${\textstyle x\in A}$ und ${\textstyle k\in \mathbb {N} _{0}}$.

Veranschaulichung

Algebraerweiterung $B$ von $A$ ist hier eine lokalkonvexe Algebra, die ein inverses Element $b=z^{-1}\in B$ zu einem gegebenen $z\in A$ enthält.

Lokalkonvexe Algebraerweiterung

Sei ${\textstyle {\mathcal {LC}}_{e}}$ die Klasse der lokalkonvex unitalen Algebren und ${\textstyle A\in {\mathcal {LC}}_{e}}$. Die Algebraerweiterung ${\textstyle B\in {\mathcal {LC}}_{e}}$ bzw. ${\textstyle {\mathcal {LC}}}$-Erweiterung von ${\textstyle A}$ benötigt nach Definition es einen Algebraisomorphismus ${\textstyle \tau :A\longrightarrow A'\subset B}$ mit:

• ${\textstyle \tau (e_{_{A}})=e_{_{B}}}$, wobei ${\textstyle e_{_{A}}}$ ist das Einselement von ${\textstyle A}$ und ${\textstyle e_{_{B}}\in A'}$ das Einselement von ${\textstyle B}$ ist.
• ${\textstyle A}$ ist homöomorph zu ${\textstyle A'}$; d.h. ${\textstyle \tau }$ und ${\textstyle \tau ^{-1}:A'\longrightarrow A}$ sind stetig.

Veranschaulichung - Algebraisomorphismus

Algebraisomorphismus - Einbettung in die Algebraerweiterung

• Im allgemeinen identifiziert man ${\textstyle A}$ mit ${\textstyle A'}$ und schreibt ${\textstyle A\subset B}$. In der jeweiligen Konstruktion der Algebraerweiterung sieht man, dass die Element aus $x\in A$ mit Elementen $\tau (x)=x+I\in B$ in einem Quotientenraum $B:=A[t]/I$ identifiziert werden.
• Sei ${\textstyle {\mathfrak {U}}_{A'}(0)}$ eine Nullumgebungsbasis der Relativtopologie von ${\textstyle B}$ auf ${\textstyle A'}$ und ${\textstyle {\mathfrak {U}}_{A}(0)}$ eine Nullumgebungsbasis von ${\textstyle A}$, dann kann man die Homöomorphie zwischen ${\textstyle A}$ und ${\textstyle A'}$ wie immer über die Topologie ausdrücken:

${\begin{array}{rcl}\forall _{\displaystyle V\in {\mathfrak {U}}_{A}(0)}\exists _{\displaystyle U\in {\mathfrak {U}}_{A'}(0)}&:&U\subset V\,\,\,(\tau (U)\subset V)\\\forall _{\displaystyle U\in {\mathfrak {U}}_{A'}(0)}\exists _{\displaystyle V\in {\mathfrak {U}}_{A}(0)}&:&V\subset U\,\,\,(\tau ^{-1}(V)\subset U).\end{array}}$

Stetigkeit über Halbnormen

Betrachtet man die Halbnormen ${\textstyle \left\|\cdot \right\|_{\widetilde {\mathcal {A}}}}$ und ${\textstyle \left\|\cdot \right\|_{\mathcal {A}}}$ für Nullumgebungen, so lassen sich die oberen beiden Aussagen wie folgt umformulieren (siehe auch Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen):

${\begin{array}{rcl}\forall _{\alpha \in {\mathcal {A}}}\exists _{{\widetilde {\alpha }}\in {\widetilde {\mathcal {A}}},C_{1}>0}\forall _{x\in A}&:&\left\|x\right\|_{\alpha }\leq C_{1}\cdot \left\|\tau (x)\right\|_{\widetilde {\alpha }}\\{\mbox{ bzw. }}&&\left\|\cdot \right\|_{\alpha }\leq C_{1}\cdot \left\|\cdot \right\|_{\widetilde {\alpha }}\circ \tau \\\forall _{{\widetilde {\alpha }}\in {\mathcal {A}}}\exists _{\alpha \in {\mathcal {A}},C_{2}>0}\forall _{x\in A}&:&\left\|\tau (x)\right\|_{\widetilde {\alpha }}\leq C_{2}\cdot \left\|x\right\|_{\alpha }\\{\mbox{ bzw. }}&&\left\|\cdot \right\|_{\widetilde {\alpha }}\circ \tau \leq C_{2}\cdot \left\|\cdot \right\|_{\alpha }.\end{array}}$

Wesentliche Schritte bei der Konstruktion der Algebraerweiterung

Wir betrachten zunächst multiplikative kommuntative Algebren $(A,\|\cdot \|_{A})$.

• Ausgehend von $(A,\|\cdot \|_{A})$ wird die Polynomalgebra $(A[t],\|\!|\cdot |\!\|_{A[t]})$ mit einer Halbnorm $\|\!|\cdot |\!\|_{A[t]}$ topologisiert.
• Halbnorm $\|\!|\cdot |\!\|_{A[t]}$ macht $A[t]$ zu einer topologischen Algebra, wobei die Stetigkeit der algebraischen Operationen (insbesondere die Stetigkeit der Cauchy-Multiplikation) nachzuweisen ist.
• Übergang zu dem Quotientenraum $B:=A[t]/I$, wobei das Polynom $o(t):=z\cdot t-e_{A}$ das Hauptideal $I:=o\cdot A[t]$ definiert und $o\in A[t]$ ein Repräsentant des Nullvektors $0_{B}:=I=o+I$ in $B$ ist.
• Die Konstruktion des Ideals $I$ liefert die algebraische Invertierbarkeit, denn mit $b(t):=e_{A}\cdot t$ ist $b_{I}:=b+I\in B=A[t]/I$ das inverse Element zu $z\in A$ mit $z_{I}:=\tau (z)=z+I\in B$ mit $z_{I}\cdot b_{I}-e_{B}=0_{B}$ bzw. $z_{I}\cdot b_{I}=e_{B}$. Die Kommutativität liefert dann, dass auch $b_{I}\cdot z_{I}=e_{B}$ gilt.

LC-Charakterisierung nach Zelazko

Zelazko hat die ${\mathcal {LC}}_{e}^{k}$-regulären Elemente 1984 über die folgende Bedingung charakterisiert. Dabei liefert die von Zelazko angegebene Bedingung unmittelbare eine Topologisierung der Polynomalgebra, wobei die Topologie auf dem Quotientenraum $B:=A[t]/I$, in der ein gegebenes $z\in A$ invertierbar ist, immer noch die Punkte von $A$ über den Algebraisomorphismus $\tau :A\to A'\subset B$ trennt.

Satz: LC-Charakterisierung nach Zelazko

Sei ${\textstyle \left(A,\left\|\cdot \right\|_{\mathcal {A}}\right)\in {\mathcal {LC}}_{e}^{k}}$, dann gilt: Ein Element ${\textstyle z\in A}$ ist genau dann ${\textstyle {\mathcal {LC}}_{e}^{k}}$-regulär, falls es für alle ${\textstyle \alpha \in {\mathcal {A}}}$ ein ${\textstyle \beta \in {\mathcal {A}}}$ und eine Folge positiver Zahlen ${\textstyle (D_{k}(\alpha ))_{k\in \mathbb {N} _{0}}}$ gibt, so dass

$$\left\|x_{o}\right\|_{\alpha }\leq \sum _{k=1}^{\infty }D_{k}(\alpha )\cdot \left\|z\cdot x_{k-1}-x_{k}\right\|_{\beta }$$

für alle endlichen Folgen ${\textstyle (x_{k})_{k\in \mathbb {N} _{0}}\in c_{oo}(A)}$ in ${\textstyle A}$ gilt.

Aufgabe für Studierende

Für den Beweis der ${\mathcal {LC}}_{e}^{k}$-Charakterisierung muss man die Koeffizienten $D_{k}(\alpha )\leq C_{k}(\alpha )$ so vergrößeren, dass die Cauchy-Multiplikation auf $A[t]$ stetig ist.

• Seien ${\textstyle \left|\!\left\|p\right\|\!\right|_{\alpha }=\displaystyle \sum _{k:=0}^{\infty }C_{k}(\alpha )\cdot \left\|p_{k}\right\|_{\alpha }}$ die Halbnormen auf $B:=A[t]/I$. Zeigen Sie, dass die Halbnorm folgende Eigenschaft erfüllt: ${\textstyle \left\|x_{I}\right\|_{B,\alpha }\geq \left\|x\right\|_{\alpha }}$ für alle $\alpha \in {\mathcal {A}}$.
• Erläutern Sie über die Definition des Ideals, warum das Kriterium von Zelazko die obigen Summen erzeugen.

LC-Charakterisierung über topologische große Potenzen

Die Charakterisierung der ${\mathcal {LC}}_{e}^{k}$-regulären Elemente kann man als Spezialfall der pseudokonvexen kommutativen Algebren auffassen (siehe ${\mathcal {PC}}$-Regularität), wobei für alle $p$-Halbnormen $p=1$ gesetzt wird. Die Topologisierung der Polynomalgebra erfolgt dann analog über eine Halbnorm statt Quasihalbnorm $\|\cdot \|_{(n,k)}^{(\alpha )}$ und damit werden die Koeffizienten $p_{k}\in A$ von $p_{k}\cdot t^{k}$ gemessen und gehen mit $C_{k}^{n}(\alpha )\cdot \|p_{k}\|_{(n,k)}^{(\alpha )}$ additiv in den Wert des Halbnorm ${\textstyle \left|\!\left\|p\right\|\!\right|_{(\alpha ,n)}}$ ein. Für das genau Vorgehen siehe (siehe ${\mathcal {PC}}$-Regularität).

Siehe auch

• Algebraerweiterung
• Konstruktion des Algebraisomorphismus
• Halbnorm
• P-Regularität
• B-Regularität
• MLC-Regularität
• PC-Regularität
• Normen, Metriken, Topologie
• Minkowski-Funktional
• Konvexkombination
• Topologisierungslemma für Algebren
• Relativtopologie
• Neutrales Element

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