Wenn wir die
-Regularität eines Elementes
für eine lokalkonvexe topologische Algebra
sprechen, suchen wir nach einer lokalkonvexen Algebraerweiterungen
von
in der
invertierbar ist. Dabei besteht
und

aus einem System von Halbnormen, die die Topologie auf
bzw.
erzeugen.
Zielsetzung einer lokalkonvexe Algebraerweiterung
zu einer gegebenen topologischen Algebra
mit
ist es, die gegebene lokalkonvexe Algebraerweiterung so zu vergrößern, dass diese ein inverses Element
in der lokalkonvexen Algebraerweiterung
besitzt. Als topologieerzeugende
-Gaugefunktionale werden hier Halbnormen
und
verwendet.
LC-Singularität und topologisch kleine Potenzen
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Für kommutative lokalkonvexe Algebren
mit unital positivem Halbnormensystem
erhält man folgende Charakterisierung:
(topologisch kleine Potenzen)
-singulär
Für kommutative lokalkonvexe Algebren
mit unital positivem
-Halbnormensystem
erhält man folgende Charakterisierung:
erfüllt das LC-Regularitätskriterium
-regulär
Ein Element
besitzt genau
-regulär in
, wenn es für alle
ein
und eine isotone Folge von Halbnormen
mit positiven Konstanten
gibt, für die gilt:
- (LC1)
für alle
und
und
- (LC2)
für alle
und
.
Algebraerweiterung
von
ist hier eine lokalkonvexe Algebra, die ein inverses Element
zu einem gegebenen
enthält.
Sei
die Klasse der lokalkonvex unitalen Algebren und
. Die Algebraerweiterung
bzw.
-Erweiterung von
benötigt nach Definition es einen Algebraisomorphismus
mit:
, wobei
ist das Einselement von
und
das Einselement von
ist.
ist homöomorph zu
; d.h.
und
sind stetig.
Veranschaulichung - Algebraisomorphismus
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Algebraisomorphismus - Einbettung in die Algebraerweiterung
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- Im allgemeinen identifiziert man
mit
und schreibt
. In der jeweiligen Konstruktion der Algebraerweiterung sieht man, dass die Element aus
mit Elementen
in einem Quotientenraum
identifiziert werden.
- Sei
eine Nullumgebungsbasis der Relativtopologie von
auf
und
eine Nullumgebungsbasis von
, dann kann man die Homöomorphie zwischen
und
wie immer über die Topologie ausdrücken:

Betrachtet man die Halbnormen
und
für Nullumgebungen, so lassen sich die oberen beiden Aussagen wie folgt umformulieren (siehe auch Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen):

Wesentliche Schritte bei der Konstruktion der Algebraerweiterung
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Wir betrachten zunächst multiplikative kommuntative Algebren
.
- Ausgehend von
wird die Polynomalgebra
mit einer Halbnorm
topologisiert.
- Halbnorm
macht
zu einer topologischen Algebra, wobei die Stetigkeit der algebraischen Operationen (insbesondere die Stetigkeit der Cauchy-Multiplikation) nachzuweisen ist.
- Übergang zu dem Quotientenraum
, wobei das Polynom
das Hauptideal
definiert und
ein Repräsentant des Nullvektors
in
ist.
- Die Konstruktion des Ideals
liefert die algebraische Invertierbarkeit, denn mit
ist
das inverse Element zu
mit
mit
bzw.
. Die Kommutativität liefert dann, dass auch
gilt.
Zelazko hat die
-regulären Elemente[1] 1984 über die folgende Bedingung charakterisiert. Dabei liefert die von Zelazko angegebene Bedingung unmittelbare eine Topologisierung der Polynomalgebra, wobei die Topologie auf dem Quotientenraum
, in der ein gegebenes
invertierbar ist, immer noch die Punkte von
über den Algebraisomorphismus
trennt.
Satz: LC-Charakterisierung nach Zelazko
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Sei
, dann gilt: Ein Element
ist genau dann
-regulär, falls es für alle
ein
und eine Folge positiver Zahlen
gibt, so dass

für alle endlichen Folgen
in
gilt.
Für den Beweis der
-Charakterisierung muss man die Koeffizienten
so vergrößeren, dass die Cauchy-Multiplikation auf
stetig ist.
- Seien
die Halbnormen auf
. Zeigen Sie, dass die Halbnorm folgende Eigenschaft erfüllt:
für alle
.
- Erläutern Sie über die Definition des Ideals, warum das Kriterium von Zelazko die obigen Summen erzeugen.
LC-Charakterisierung über topologische große Potenzen
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Die Charakterisierung der
-regulären Elemente kann man als Spezialfall der pseudokonvexen kommutativen Algebren auffassen (siehe
-Regularität), wobei für alle
-Halbnormen
gesetzt wird. Die Topologisierung der Polynomalgebra erfolgt dann analog über eine Halbnorm statt Quasihalbnorm
und damit werden die Koeffizienten
von
gemessen und gehen mit
additiv in den Wert des Halbnorm
ein. Für das genau Vorgehen siehe (siehe
-Regularität).
- ↑ Zelazko Wieslaw, (1984), Concerning characterization of permanently singular elements in commutative locally convex algebras, Mathematical Structures – Computational Mathematics – Mathematical Modelling 2, Sofia, S. 326-333
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