Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Topologisch große Potenzen

Einführung

Aus der Negation der Definition von topologisch kleinen Potenzen erhält man für ${\textstyle z\notin {\mathcal {TKP}}(A)}$, dass es für alle $\alpha \in {\mathcal {A}}$ ein $\beta \in {\mathcal {A}}$ und Konstanten $D_{k}(\alpha )>0$ gibt, sodass für alle $x\in A$ gilt:

$\left\|x\right\|_{\alpha }\leq D_{k}(\alpha )\cdot \left\|z^{k}\cdot x\right\|_{\beta }$

(siehe topologisch kleine Potenzen)

Definition: Topologische große Potenzen

Sei ${\textstyle \left(A,\left\|\cdot \right\|_{\mathcal {A}}\right)}$ ein unitale topologische Algebra. Ein ${\textstyle z\in A}$ besitzt topologisch große Potenzen ($z\in {\mathcal {TGP}}(A)$), wenn es für alle $\alpha \in {\mathcal {A}}$ ein $\beta \in {\mathcal {A}}$ und Konstanten $D_{k}(\alpha )>0$ gibt, sodass für alle $x\in A$ gilt:

$\left\|x\right\|_{\alpha }\leq D_{k}(\alpha )\cdot \left\|z^{k}\cdot x\right\|_{\beta }$

Bemerkung

Damit gilt unmittelbar ${\mathcal {TGP}}(A)=A\setminus {\mathcal {TKP}}(A)$, weil die ${\mathcal {TGP}}$-Eigenschaft als Negation der Eigenschaft, topologisch kleine Potenzen zu besitzen, formuliert wurde.

TGP-Kriterium

Ein Element $z\in A$ besitzt genau topologisch große Potenzen in ${\textstyle \left(A,\left\|\cdot \right\|_{\mathcal {A}}\right)\in {\mathcal {K}}_{e}^{k}}$, ${\textstyle z\in A}$ ( $z\in {\mathcal {TGP}}(A)$, wenn es für alle ${\textstyle \alpha \in {\mathcal {A}}}$ ein ${\textstyle \beta \in {\mathcal {A}}}$ und eine isotone Folge von Gaugefunktionalen ${\textstyle \left(\left\|\cdot \right\|_{(\alpha ,k)}\right)_{k\in \mathbb {N} _{0}}}$ mit positiven Konstanten ${\textstyle D_{(\alpha ,k)}}$ gibt, für die gilt:

• (R1)${\textstyle \left\|x\right\|_{\alpha }\leq \left\|x\right\|_{(\alpha ,k)}\leq D_{(\alpha ,k)}\cdot \left\|x\right\|_{\beta }}$ für alle ${\textstyle x\in A}$ und ${\textstyle k\in \mathbb {N} _{0}}$ und
• (R2) ${\textstyle \left\|x\right\|_{(\alpha ,k)}\leq \left\|z\cdot x\right\|_{(\alpha ,k+1)}}$ für alle ${\textstyle x\in A}$ und ${\textstyle k\in \mathbb {N} _{0}}$.

Beweis

Die Beweisführung basiert auf der Verwendung der topologischen Eigenschaft $z\in {\mathcal {TGP}}(A)$, um eine Eindeutigkeit der Komplementärteiler $y$ von Potenzen $z^{k}$ für die multiplikative Zerlegung $z^{k}\cdot y=x$ für ein gegebenes $x\in A$ zu erhalten, wenn diese existiert. Die Teilermenge $T_{k}(x)$ der Komplementärteiler von Potenzen $z^{i}$ zu $x\in A$ mit $i\in \{0,1,\ldots k\}$ wird dann verwendet, um die ${\mathcal {K}}$-Funktionale ${\textstyle \left\|\cdot \right\|_{(\alpha ,k)}}$ zu definieren.

Beweisidee

Es ist eine Äquivalenz von $z\in {\mathcal {TGP}}(A)$ und den beiden Ungleichung aus dem Kriterium zu zeigen.

• In Beweisteil (1) startet man mit $z\in {\mathcal {TGP}}(A)$ und zeigt (R1) und (R2).
• In Beweisteil (2) startet man mit (R1) und (R2) als Vorausetzung und zeigt $z\in {\mathcal {TGP}}(A)$.

Folge der Konstanten

Ist zusätzlich zum obigen Satz eine weitere Folge $(C_{k})_{k\in \mathbb {N} _{0}}$ gegeben, so kann man die Konstantenfolgen $\left(D_{k}(\alpha )\right)_{k\in \mathbb {N} _{0}}$ ohne Einschränkung so wählen, dass diese

• monoton wachsend (d.h. $D_{k}(\alpha )+D_{(\alpha ,k)}\leq D_{k+1}(\alpha )$ für alle $k\in \mathbb {N} _{0}$) und
• $C_{k}\leq D_{k}(\alpha )$

gilt.

Grund für Isotonie und Majorante

Der Grund für die Konstruktion der Konstantenfolgen $\left(D_{k}(\alpha )\right)_{k\in \mathbb {N} _{0}}$ mit den vorher genannten Eigenschaften ist die Notwendigkeit, dass man bei der Stetigkeit des Algebraisomorphismus Konstanten für die Gaugefunktionale in der Polynomalgebra abschätzen muss. Genauer gesagt, Koeffizienten der Form $z\cdot q_{k-1}\in A$ für $t^{k}$ mit einem Gaugefunktional mit Koeffizenten $q_{k-1}\in A$ für $t^{k-1}$ abschätzen. Dabei muss gleichzeitig die Stetigkeit der Addition und Multiplikation erfüllt sein. Dabei muss die Konstantenfolge zusätzliche Eigenschaften berücktsichtigen, die über die Eigenschaft $C_{k}\leq D_{k}(\alpha )$ in das TGP-Kriterium integriert werden können.

(1.1) Negation - Topologische kleine Potenzen

Aus $z\in {\mathcal {TGP}}(A)$ erhält man über die Negation der ${\mathcal {TGP}}$-Definition für ${\textstyle z\notin {\mathcal {TKP}}(A)}$ die Aussage, dass es für alle $\alpha \in {\mathcal {A}}$ ein $\beta \in {\mathcal {A}}$ und Konstanten $D_{k}(\alpha )>0$ gibt, sodass für alle $x\in A$ gilt:

$\left\|x\right\|_{\alpha }\leq D_{k}(\alpha )\cdot \left\|z^{k}\cdot x\right\|_{\beta }$

(1.2) Stetigkeit der Multiplikation

Über die Stetigkeit der Multiplikation zu dem $\beta \in {\mathcal {A}}$ ein $\gamma \in {\mathcal {A}}$ mit

(1.3) Teilerdefinition in Algebren

$z\in A$ ist eine Teiler von $x\in A$ genau dann, wenn es einen Komplementärteiler $y\in A$ gibt, mit $z\cdot y=x$.

Analog erhält man $z^{k}\in A$ ist eine Teiler von $x\in A$ genau dann, wenn es einen Komplementärteiler $y\in A$ gibt, mit $z^{k}\cdot y=x$.

(1.4) Eindeutigkeit der Komplementärteiler

Die Komplementärteiler $y\in A$ von $z^{k}\in A$ sind mit der Regularitätsbedingung eindeutig bestimmt, denn mit der Annahme $y_{1}\not =y_{2}$ mit $z^{k}\cdot y_{1}=x$ und $z^{k}\cdot y_{2}=x$ gibt es wegen der Hausdorff-Eigenschaft ein $\alpha \in {\mathcal {A}}$ mit:

$0<\|y_{1}-y_{2}\|_{\alpha }$

(1.5) Abschätzung mit der TKP-Regularitätsbedingung

Abschätzung mit der TKP-Regularitätsbedingung führt zum Widerspruch, denn es gilt

${\begin{array}{rcl}0&<&\|y_{1}-y_{2}\|_{\alpha }\\&\leq &D_{k}(\alpha )\cdot \left\|z^{k}\cdot (y_{1}-y_{2})\right\|_{\beta }\\&=&D_{k}(\alpha )\cdot \left\|z^{k}\cdot y_{1}-z^{k}\cdot y_{2})\right\|_{\beta }\\&=&D_{k}(\alpha )\cdot \left\|x-x\right\|_{\beta }=0\end{array}}$

(1.6) Definition von Teilermengen

Nun definiert man mit der Eindeutigkeit der Komplementärteiler zu $z^{k}$ bzgl. $x\in A$ folgende Mengen:

$T_{k}(x):=\left\{y\in A\,\colon \,\exists _{i\in \{0,\ldots ,k\}}z^{i}\cdot y=x\right\}$

(1.7) Eigenschaften der Teilermengen

• $T_{k}(x)\notin \emptyset$ für alle $k\in \mathbb {N} _{0}$ und $x\in A$, denn $x=e_{A}\cdot x=z^{0}\cdot x$.
• $T_{k}(x)\subseteq T_{k+1}(z\cdot x)$, denn für $y\in T_{k}(x)$ gibt es ein $i\in \{0,\ldots ,k\}$ mit $z^{i}\cdot y=x$. Damit gilt die Gleichung $z^{i+1}\cdot y=z\cdot x$ auch für $0\leq i\leq (k+1)$ und man erhält $y\in T_{k+1}(x)$
• $|T_{k}(x)|\leq k+1$, denn mit der Eindeutigkeit der Komplementärteiler zu $z^{i}$ und $i\in \{0,\ldots ,k\}$ kann es maximal $k+1$ Teiler von $x$ in $T_{k}(x)$ geben.

(1.8) Definition ein Folge von Gaugefunktionalen

Mit der Eigenschaft ${\textstyle z\notin {\mathcal {TKP}}(A)}$ definiert man eine Sequenz von Gaugefunktionalen.

$\left\|x\right\|_{(\alpha ,k)}:=\max _{y\in T_{k}(x)}\left\|y\right\|_{\alpha }$

(1.9) Ungleichung für Folge von Gaugefunktionalen

${\begin{array}{rcl}\left\|z\cdot x\right\|_{(\alpha ,k+1)}&=&\displaystyle \max _{y\in T_{k+1}(z\cdot x)}\left\|y\right\|_{\alpha }\\&\geq &\displaystyle \max _{y\in T_{k}(x)}\left\|y\right\|_{\alpha }=\left\|x\right\|_{(\alpha ,k)}\end{array}}$

(1.10) Erstes Gaugefunktional in der Sequenz

Das erste Gaugefunktional für $k=0$ in der Sequenz stimmt mit $\|\cdot \|_{\alpha }$ überein, denn mit $x=e_{A}\cdot x=z^{0}\cdot x$ gilt:

• $T_{0}(x)=\{x\}$
• $\left\|x\right\|_{(\alpha ,0)}=\max _{y\in T_{0}(x)}\left\|y\right\|_{\alpha }=\left\|x\right\|_{\alpha }$

(1.11) Isotonie der Sequenz

Die Isotonie der Sequenz $\left(\left\|x\right\|_{(\alpha ,k)}\right)_{k\in \mathbb {N} _{0}}$ von Gaugefunktionalen ergibt sich unmittelbar aus der Definition und $T_{k}(x)\subseteq T_{k+1}(x)$:

${\begin{array}{rcl}\left\|x\right\|_{(\alpha ,k)}&=&\displaystyle \max _{y\in T_{k}(x)}\left\|y\right\|_{\alpha }\\&\leq &\displaystyle \max _{y\in T_{k+1}(x)}\left\|y\right\|_{\alpha }=\left\|x\right\|_{(\alpha ,k+1)}\end{array}}$

(1.12) Abschätzung der Sequenz nach oben

Die Isotonie der Sequenz $\left(\left\|x\right\|_{(\alpha ,k)}\right)_{k\in \mathbb {N} _{0}}$ von Gaugefunktionalen ergibt sich unmittelbar aus der Definition:

${\begin{array}{rcl}\left\|x\right\|_{(\alpha ,k)}&=&\displaystyle \max _{y\in T_{k}(x)}\left\|y\right\|_{\alpha }\\&\leq &\displaystyle \max _{y\in T_{k}(x)}\underbrace {D_{i}(\alpha )} _{\leq D_{k}(\alpha )}\cdot \|\underbrace {z^{i}\cdot y} _{x}\|_{\beta }\\&\leq &\displaystyle D_{k}(\alpha )\cdot \|x\|_{\beta }\end{array}}$

(1.13) Homogenität

Die Homogenität der Funktionale aus der Sequenz $\left(\left\|x\right\|_{(\alpha ,k)}\right)_{k\in \mathbb {N} _{0}}$ ergibt sich unmittelbar aus der Definition denn mit $x=z^{i}\cdot y$ gilt auch $\lambda \cdot x=z^{i}\cdot (\lambda \cdot y)$:

${\begin{array}{rcl}\left\|\lambda \cdot x\right\|_{(\alpha ,k)}&=&\displaystyle \max _{y\in T_{k}(x)}\left\|\lambda \cdot y\right\|_{\alpha }\\&=&\displaystyle |\lambda |\cdot \max _{y\in T_{k}(x)}\left\|y\right\|_{\alpha }=|\lambda |\cdot \left\|x\right\|_{(\alpha ,k)}\end{array}}$

(2) Umgekehrte Beweisrichtung

Existiert nun zu jedem ${\textstyle \alpha \in {\mathcal {A}}}$ ein ${\textstyle \beta \in {\mathcal {A}}}$ und eine isotone Folge von ${\mathcal {K}}$-Funktionalen ${\textstyle \left(\left\|\cdot \right\|_{(\alpha ,k)}\right)_{k\in \mathbb {N} _{0}}}$ mit positiven Konstanten ${\textstyle D_{k}(\alpha )}$ gibt, für die gilt:

• (R1) ${\textstyle \left\|x\right\|_{\alpha }\leq \left\|x\right\|_{(\alpha ,k)}\leq D_{k}(\alpha )\cdot \left\|x\right\|_{\beta }}$ für alle ${\textstyle x\in A}$ und ${\textstyle k\in \mathbb {N} _{0}}$ und
• (R2) ${\textstyle \left\|x\right\|_{(\alpha ,k)}\leq \left\|z\cdot x\right\|_{(\alpha ,k+1)}}$ für alle ${\textstyle x\in A}$ und ${\textstyle k\in \mathbb {N} _{0}}$

(2.1) Umgekehrte Beweisrichtung - Einsetzen in Sequenz

Durch Einsetzung erhält man $z\in {\mathcal {TGP}}(A)$ durch folgende Ungleichungskette:

${\textstyle \left\|x\right\|_{\alpha }\leq \|z\cdot x\|_{(\alpha ,1)}\leq \ldots \leq \left\|z^{k}\cdot x\right\|_{(\alpha ,k)}\leq D_{k}(\alpha )\left\|z^{k}\cdot x\right\|_{\beta }}$

(2.2) Stetigkeit der Multiplkation

Mit der Stetigkeit der Multiplikation kann man die Potenz auch noch weiter nach ober abschätzen, denn es gilt:

${\textstyle \left\|x\right\|_{\alpha }\leq D_{k}(\alpha )\cdot \left\|z^{k}\cdot x\right\|_{\beta }\leq D_{k}(\alpha )\cdot \|z^{k}\|_{\gamma }\cdot \|x\|_{\gamma }}$

Damit folgt insgesamt folgt die Behauptung. $\Box$

PC-Regularitätskriterium

Ein Element $z\in A$ besitzt genau ${\mathcal {PC}}_{e}^{k}$-regulär in ${\textstyle \left(A,\left\|\cdot \right\|_{\mathcal {A}}\right)\in {\mathcal {PC}}_{e}^{k}}$, wenn es für alle ${\textstyle \alpha \in {\mathcal {A}}}$ ein ${\textstyle \beta \in {\mathcal {A}}}$ und eine isotone Folge von Quasihalbnormen ${\textstyle \left(\left\|\cdot \right\|_{(\alpha ,k)}\right)_{k\in \mathbb {N} _{0}}}$ mit der Stetigkeitskonstante der Addition $K_{\alpha }\geq 1$ und positive Konstanten ${\textstyle D_{(\alpha ,k)}}$ gibt, für die gilt:

• (PC1) ${\textstyle \left\|x\right\|_{\alpha }\leq \left\|x\right\|_{(\alpha ,k)}\leq D_{(\alpha ,k)}\cdot \left\|x\right\|_{\beta }}$ für alle ${\textstyle x\in A}$ und ${\textstyle k\in \mathbb {N} _{0}}$ und
• (PC2) ${\textstyle \left\|x\right\|_{(\alpha ,k)}\leq \left\|z\cdot x\right\|_{(\alpha ,k+1)}}$ für alle ${\textstyle x\in A}$ und ${\textstyle k\in \mathbb {N} _{0}}$.

Korrollar: LC-Regularitätskriterium

Ein Element $z\in A$ besitzt genau ${\mathcal {PC}}_{e}^{k}$-regulär in ${\textstyle \left(A,\left\|\cdot \right\|_{\mathcal {A}}\right)\in {\mathcal {PC}}_{e}^{k}}$, wenn es für alle ${\textstyle \alpha \in {\mathcal {A}}}$ ein ${\textstyle \beta \in {\mathcal {A}}}$ und eine isotone Folge von Halbnormen ${\textstyle \left(\left\|\cdot \right\|_{(\alpha ,k)}\right)_{k\in \mathbb {N} _{0}}}$ mit positiven Konstanten ${\textstyle D_{(\alpha ,k)}}$ gibt, für die gilt:

• (LC1)${\textstyle \left\|x\right\|_{\alpha }\leq \left\|x\right\|_{(\alpha ,k)}\leq D_{(\alpha ,k)}\cdot \left\|x\right\|_{\beta }}$ für alle ${\textstyle x\in A}$ und ${\textstyle k\in \mathbb {N} _{0}}$ und
• (LC2) ${\textstyle \left\|x\right\|_{(\alpha ,k)}\leq \left\|z\cdot x\right\|_{(\alpha ,k+1)}}$ für alle ${\textstyle x\in A}$ und ${\textstyle k\in \mathbb {N} _{0}}$.

Beweisaufgabe für Studierende

Die eine Beweisrichtung kann aus dem Beweis des TGP-Kriteriums entnehmen. Für die umgekehrte Richtung sei das Element $z\in A$ ${\mathcal {PC}}_{e}^{k}$-regulär in einer Algebraerweiterung ${\textstyle \left(B,\left\|\!\left|\cdot \right|\!\right\|_{\mathcal {\widetilde {A}}}\right)\in {\mathcal {PC}}_{e}^{k}}$ von ${\textstyle \left(A,\left\|\cdot \right\|_{\mathcal {A}}\right)\in {\mathcal {PC}}_{e}^{k}}$. Definieren Sie die Quasihalbnormen wie folgt:

$\left\|x\right\|_{(\alpha ,k)}:=D_{k}\cdot \left\|\!\left|b^{k}\cdot \tau (x)\right|\!\right\|_{\widetilde {\alpha }}{\mbox{ mit }}b=z^{-1}\in B$

Wählen Sie die Konstanten $D_{k}>0$ geeignet, damit die Ungleichungen aus dem ${\mathcal {PC}}$-Regularitätskriterium erfüllt sind. Nutzen die Stetigkeit des Algebraisomorphismus $\tau :A\to A'\subset B$ und von $\tau ^{-1}:A'\to A$.

Siehe auch

• LC-Regularität
• PC-Regularität
• T-Regularität
• Topologisch kleine Potenzen
• T-Regularitätskriterium

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