Aus der Negation der Definition von topologisch kleinen Potenzen erhält man für
, dass es für alle
ein
und Konstanten
gibt, sodass für alle
gilt:

(siehe topologisch kleine Potenzen)
Definition: Topologische große Potenzen
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Sei
ein unitale topologische Algebra. Ein
besitzt topologisch große Potenzen (
), wenn es für alle
ein
und Konstanten
gibt, sodass für alle
gilt:

Damit gilt unmittelbar
, weil die
-Eigenschaft als Negation der Eigenschaft, topologisch kleine Potenzen zu besitzen, formuliert wurde.
Ein Element
aus einer topologischen Algebra
besitzt genau dann rechtsseitig topologisch kleine Potenzen, wenn es ein
gibt, so dass für alle
ein
mit

existiert. Dies ist die Negation für die Eigenschaft, dass
topologisch große Potenzen besitzt -
).
Ein Element
besitzt genau topologisch große Potenzen in
,
(
, wenn es für alle
ein
und eine isotone Folge von Gaugefunktionalen
mit positiven Konstanten
gibt, für die gilt:
- (R1)
für alle
und
und
- (R2)
für alle
und
.
Die Beweisführung basiert auf der Verwendung der topologischen Eigenschaft
, um eine Eindeutigkeit der Komplementärteiler
von Potenzen
für die multiplikative Zerlegung
für ein gegebenes
zu erhalten, wenn diese existiert. Die Teilermenge
der Komplementärteiler von Potenzen
zu
mit
wird dann verwendet, um die
-Funktionale
zu definieren.
Es ist eine Äquivalenz von
und den beiden Ungleichung aus dem Kriterium zu zeigen.
- In Beweisteil (1) startet man mit
und zeigt (R1) und (R2).
- In Beweisteil (2) startet man mit (R1) und (R2) als Vorausetzung und zeigt
.
Ist zusätzlich zum obigen Satz eine weitere Folge
gegeben, so kann man die Konstantenfolgen
ohne Einschränkung so wählen, dass diese
- monoton wachsend (d.h.
für alle
) und

gilt.
Der Grund für die Konstruktion der Konstantenfolgen
mit den vorher genannten Eigenschaften ist die Notwendigkeit, dass man bei der Stetigkeit des Algebraisomorphismus Konstanten für die Gaugefunktionale in der Polynomalgebra abschätzen muss. Genauer gesagt, Koeffizienten der Form
für
mit einem Gaugefunktional mit Koeffizenten
für
abschätzen. Dabei muss gleichzeitig die Stetigkeit der Addition und Multiplikation erfüllt sein. Dabei muss die Konstantenfolge zusätzliche Eigenschaften berücktsichtigen, die über die Eigenschaft
in das TGP-Kriterium integriert werden können.
(1.1) Negation - Topologische kleine Potenzen
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Aus
erhält man über die Negation der
-Definition für
die Aussage, dass es für alle
ein
und Konstanten
gibt, sodass für alle
gilt:

Über die Stetigkeit der Multiplikation zu dem
ein
mit
ist eine Teiler von
genau dann, wenn es einen Komplementärteiler
gibt, mit
.
Analog erhält man
ist eine Teiler von
genau dann, wenn es einen Komplementärteiler
gibt, mit
.
(1.4) Eindeutigkeit der Komplementärteiler
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Der Komplementärteiler
von
bzgl.
ist mit der Regularitätsbedingung eindeutig bestimmt. Angenommen, es gibt zwei unterschiedliche Komplementärteile
mit
und
, so gibt es mit der Hausdorff-Eigenschaft ein
mit:

(1.5) Abschätzung mit der TKP-Regularitätsbedingung
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Abschätzung mit der TKP-Regularitätsbedingung führt zum Widerspruch, denn es gilt

Nun definiert man mit der Eindeutigkeit der Komplementärteiler zu
bzgl.
folgende Mengen:

für alle
und
, denn
.
, denn für
gibt es ein
mit
. Damit gilt die Gleichung
auch für
und man erhält 
, denn mit der Eindeutigkeit der Komplementärteiler von
bzgl.
und
kann es maximal
Teiler von
in
geben.
(1.8) Definition ein Folge von Gaugefunktionalen
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Mit der Eigenschaft
definiert man eine Sequenz von Gaugefunktionalen.

(1.9) Ungleichung für Folge von Gaugefunktionalen
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(1.10) Erstes Gaugefunktional in der Sequenz
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Das erste Gaugefunktional für
in der Sequenz stimmt mit
überein, denn mit
gilt:


Die Isotonie der Sequenz
von Gaugefunktionalen ergibt sich unmittelbar aus der Definition und
:

(1.12) Abschätzung der Sequenz nach oben
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Die Isotonie der Sequenz
von Gaugefunktionalen ergibt sich unmittelbar aus der Definition:

Die Homogenität der Funktionale aus der Sequenz
ergibt sich unmittelbar aus der Definition denn mit
gilt auch
:

Existiert nun zu jedem
ein
und eine isotone Folge von
-Funktionalen
mit positiven Konstanten
gibt, für die gilt:
- (R1)
für alle
und
und
- (R2)
für alle
und 
(2.1) Umgekehrte Beweisrichtung - Einsetzen in Sequenz
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Durch Einsetzung erhält man
durch folgende Ungleichungskette:

Mit der Stetigkeit der Multiplikation kann man die Potenz auch noch weiter nach ober abschätzen, denn es gilt:

Damit folgt insgesamt folgt die Behauptung.
Sei
-regulär in
, dann gibt es für alle
ein
und eine isotone Folge von Quasihalbnormen
mit der Stetigkeitskonstante der Addition
und positive Konstanten
gibt, für die gilt:
- (PC1)
für alle
und
und
- (PC2)
für alle
und
.
Das Element
sei ein
-reguläres Element in Algebra
und in einer Algebraerweiterung
von
invertiertbar.
Da
in
invertierbar ist, sei
das eindeutig bestimmte Inverse zu
. Ferner sei
der Algebraisomorphismus, der
in
einbettet.
Beweis 2 - Homöomorphie des Algebraisomorphismus
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Die Homöomorphie des Algebraisomorphismus
liefert
- zu jedem
eine
mit 
- zu jedem
gibt es mit der Stetigkeit der Multiplikation ein
mit
für alle
und
- zu jedem
gibt es mit der Stetigkeit der Multiplikation ein
mit
für alle
und
- zu jedem
gibt es ein
mit
.
Beweis 3 - Definition der Quasihalbnormen
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Zunächst werden Quasihalbnormen auf
wie folgt definiert mit
:

Dabei ist
eine monoton wachsende Folge, wegen
.
Beweis 4 - Abschätzung mit den Ungleichungen
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Die Ungleichungskette ergibt sich durch die obigen Eigenschaften und
:

Mit
erhält man die Ungleichung:

Mit
erhält man ferner:

Wahl der Konstanten
für die Ungleichungen aus dem
-Regularitätslemma erfolgt nun insgesamt über die Stetigkeit des Algebraisomorphismus
und von
und der Verwendung der Ungleichung für die Stetigkeit der Multiplikation auf
.
In einer Beweisrichtung des TGP-Kriteriums kann man entnehmen, dass ein Sequenz von Gaugefunktionalen existiert, die man zwischen den gegeben Quasihalbnormen einschachteln kann. Damit ist noch nicht gesagt, dass diese Gaugefunktionale auch Quasihalbnormen sind.
Da die lokalkonvexen Räume ein Spezialfall der pseudokonvexen Räume ist, ergibt sich als Korrollar unmittelbar das LC-Regularitätslemma.
Sei
ein
-regulär in
, wenn es für alle
ein
und eine isotone Folge von Halbnormen
mit positiven Konstanten
gibt, für die gilt:
- (LC1)
für alle
und
und
- (LC2)
für alle
und
.
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