Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Topologisch große Potenzen

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Einführung[Bearbeiten]

Aus der Negation der Definition von topologisch kleinen Potenzen erhält man für , dass es für alle ein und Konstanten gibt, sodass für alle gilt:

(siehe topologisch kleine Potenzen)

Definition: Topologische große Potenzen[Bearbeiten]

Sei ein unitale topologische Algebra. Ein besitzt topologisch große Potenzen (), wenn es für alle ein und Konstanten gibt, sodass für alle gilt:

Bemerkung[Bearbeiten]

Damit gilt unmittelbar , weil die -Eigenschaft als Negation der Eigenschaft, topologisch kleine Potenzen zu besitzen, formuliert wurde.

TGP-Kriterium[Bearbeiten]

Ein Element besitzt genau topologisch große Potenzen in , ( , wenn es für alle ein und eine isotone Folge von Gaugefunktionalen mit positiven Konstanten gibt, für die gilt:

  • (R1) für alle und und
  • (R2) für alle und .

Beweis[Bearbeiten]

Die Beweisführung basiert auf der Verwendung der topologischen Eigenschaft , um eine Eindeutigkeit der Komplementärteiler von Potenzen für die multiplikative Zerlegung für ein gegebenes zu erhalten, wenn diese existiert. Die Teilermenge der Komplementärteiler von Potenzen zu mit wird dann verwendet, um die -Funktionale zu definieren.

Beweisidee[Bearbeiten]

Es ist eine Äquivalenz von und den beiden Ungleichung aus dem Kriterium zu zeigen.

  • In Beweisteil (1) startet man mit und zeigt (R1) und (R2).
  • In Beweisteil (2) startet man mit (R1) und (R2) als Vorausetzung und zeigt .

Folge der Konstanten[Bearbeiten]

Ist zusätzlich zum obigen Satz eine weitere Folge gegeben, so kann man die Konstantenfolgen ohne Einschränkung so wählen, dass diese

  • monoton wachsend (d.h. für alle ) und

gilt.

Grund für Isotonie und Majorante[Bearbeiten]

Der Grund für die Konstruktion der Konstantenfolgen mit den vorher genannten Eigenschaften ist die Notwendigkeit, dass man bei der Stetigkeit des Algebraisomorphismus Konstanten für die Gaugefunktionale in der Polynomalgebra abschätzen muss. Genauer gesagt, Koeffizienten der Form für mit einem Gaugefunktional mit Koeffizenten für abschätzen. Dabei muss gleichzeitig die Stetigkeit der Addition und Multiplikation erfüllt sein. Dabei muss die Konstantenfolge zusätzliche Eigenschaften berücktsichtigen, die über die Eigenschaft in das TGP-Kriterium integriert werden können.

(1.1) Negation - Topologische kleine Potenzen[Bearbeiten]

Aus erhält man über die Negation der -Definition für die Aussage, dass es für alle ein und Konstanten gibt, sodass für alle gilt:

(1.2) Stetigkeit der Multiplikation[Bearbeiten]

Über die Stetigkeit der Multiplikation zu dem ein mit

(1.3) Teilerdefinition in Algebren[Bearbeiten]

ist eine Teiler von genau dann, wenn es einen Komplementärteiler gibt, mit .

Analog erhält man ist eine Teiler von genau dann, wenn es einen Komplementärteiler gibt, mit .

(1.4) Eindeutigkeit der Komplementärteiler[Bearbeiten]

Die Komplementärteiler von sind mit der Regularitätsbedingung eindeutig bestimmt, denn mit der Annahme mit und gibt es wegen der Hausdorff-Eigenschaft ein mit:

(1.5) Abschätzung mit der TKP-Regularitätsbedingung[Bearbeiten]

Abschätzung mit der TKP-Regularitätsbedingung führt zum Widerspruch, denn es gilt

(1.6) Definition von Teilermengen[Bearbeiten]

Nun definiert man mit der Eindeutigkeit der Komplementärteiler zu bzgl. folgende Mengen:

(1.7) Eigenschaften der Teilermengen[Bearbeiten]

  • für alle und , denn .
  • , denn für gibt es ein mit . Damit gilt die Gleichung auch für und man erhält
  • , denn mit der Eindeutigkeit der Komplementärteiler zu und kann es maximal Teiler von in geben.

(1.8) Definition ein Folge von Gaugefunktionalen[Bearbeiten]

Mit der Eigenschaft definiert man eine Sequenz von Gaugefunktionalen.

(1.9) Ungleichung für Folge von Gaugefunktionalen[Bearbeiten]

(1.10) Erstes Gaugefunktional in der Sequenz[Bearbeiten]

Das erste Gaugefunktional für in der Sequenz stimmt mit überein, denn mit gilt:

(1.11) Isotonie der Sequenz[Bearbeiten]

Die Isotonie der Sequenz von Gaugefunktionalen ergibt sich unmittelbar aus der Definition und :

(1.12) Abschätzung der Sequenz nach oben[Bearbeiten]

Die Isotonie der Sequenz von Gaugefunktionalen ergibt sich unmittelbar aus der Definition:

(1.13) Homogenität[Bearbeiten]

Die Homogenität der Funktionale aus der Sequenz ergibt sich unmittelbar aus der Definition denn mit gilt auch :

(2) Umgekehrte Beweisrichtung[Bearbeiten]

Existiert nun zu jedem ein und eine isotone Folge von -Funktionalen mit positiven Konstanten gibt, für die gilt:

  • (R1) für alle und und
  • (R2) für alle und

(2.1) Umgekehrte Beweisrichtung - Einsetzen in Sequenz[Bearbeiten]

Durch Einsetzung erhält man durch folgende Ungleichungskette:

(2.2) Stetigkeit der Multiplkation[Bearbeiten]

Mit der Stetigkeit der Multiplikation kann man die Potenz auch noch weiter nach ober abschätzen, denn es gilt:

Damit folgt insgesamt folgt die Behauptung.

PC-Regularitätskriterium[Bearbeiten]

Ein Element besitzt genau -regulär in , wenn es für alle ein und eine isotone Folge von Quasihalbnormen mit der Stetigkeitskonstante der Addition und positive Konstanten gibt, für die gilt:

  • (PC1) für alle und und
  • (PC2) für alle und .

Korrollar: LC-Regularitätskriterium[Bearbeiten]

Ein Element besitzt genau -regulär in , wenn es für alle ein und eine isotone Folge von Halbnormen mit positiven Konstanten gibt, für die gilt:

  • (LC1) für alle und und
  • (LC2) für alle und .

Beweisaufgabe für Studierende[Bearbeiten]

Die eine Beweisrichtung kann aus dem Beweis des TGP-Kriteriums entnehmen. Für die umgekehrte Richtung sei das Element -regulär in einer Algebraerweiterung von . Definieren Sie die Quasihalbnormen wie folgt:

Wählen Sie die Konstanten geeignet, damit die Ungleichungen aus dem -Regularitätskriterium erfüllt sind. Nutzen die Stetigkeit des Algebraisomorphismus und von .

Siehe auch[Bearbeiten]

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