Kurs:Vorkurs Mathematik (Osnabrück 2014)/Arbeitsblatt 4/kontrolle

Übungsaufgaben

Die beiden ersten Aufgaben sollen dazu anregen, über die Güte von Dezimalbruchentwicklungen zu diskutieren.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Stimmen die beiden reellen Zahlen

$\frac{\pi \sqrt{163}}{3}\text{ und }\ln 640320$

überein?

Aufgabe Referenznummer erstellen

Stimmen die beiden reellen Zahlen

$\sqrt{5}+\sqrt{22+2\sqrt{5}}\text{ und }\sqrt{11+2\sqrt{29}}+\sqrt{16-2\sqrt{29}+2\sqrt{55-10\sqrt{29}}}$

überein?

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei  $q=a/b$  eine rationale Zahl in gekürzter Darstellung. Zeige, dass die Dezimaldarstellung von $q$ genau dann abbricht, wenn in der Primfaktorzerlegung des Nenners nur die Primzahlen $2$ und $5$ vorkommen.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Berechne von Hand die Approximationen $x_1,x_2,x_3,x_4$ im Heron-Verfahren für die Quadratwurzel von $5$ zum Startwert  $x_0=2$. 

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Führe die ersten drei Schritte des babylonischen Wurzelziehens zu  $b=7$  mit dem Startwert  $x_0=3$  durch (es sollen also die Approximationen $x_1,x_2,x_3$ für $\sqrt{7}$ berechnet werden; diese Zahlen müssen als gekürzte Brüche angegeben werden).

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei $a$ eine reelle Zahl. Zeige, dass die Gleichung $x^2=a$ höchstens zwei Lösungen in $ℝ$ besitzt.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Formuliere und beweise die Lösungsformel für eine quadratische Gleichung

$a{x}^2+bx+c=0$

mit $a,b,c\in ℝ$, $a\ne 0$.

Aufgabe Aufgabe 4.8 ändern

Es sei ${\left(x_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ eine reelle Folge. Zeige, dass die Folge genau dann gegen $x$ konvergiert, wenn es für jedes  $k\in {\mathbb{N}}_{+}$  ein  $n_0\in \mathbb{N}$  derart gibt, dass für alle  $n\ge n_0$  die Abschätzung  $|x_n-x|\le \frac{1}{k}$  gilt.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Untersuche die durch

$x_n=\frac{1}{n^2}$

gegebene Folge ($n\ge 1$) auf Konvergenz.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Untersuche die durch

$x_n=\frac{1}{10^n}$

gegebene Folge auf Konvergenz.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Es seien ${\left(x_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ und ${\left(y_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ zwei konvergente reelle Folgen mit  $x_n\ge y_n$  für alle  $n\in \mathbb{N}$.  Zeige, dass dann  $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{x}_n\ge \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{y}_n$  gilt.

Die folgende Aussage nennt man auch das Quetschkriterium für Folgen.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Es seien ${\left(x_n\right)}_{n\in \mathbb{N}},{\left(y_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ und ${\left(z_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ drei reelle Folgen. Es gelte $x_n\le y_n\le z_n\text{ für alle }n\in \mathbb{N}$ und ${\left(x_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ und ${\left(z_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ konvergieren beide gegen den gleichen Grenzwert $a$. Zeige, dass dann auch ${\left(y_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ gegen $a$ konvergiert.

Für die folgende Aufgabe können Sie bekannte Eigenschaften der Sinusfunktion verwenden.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Bestimme den Grenzwert der Folge

$\frac{\sin n}{n},n\in {\mathbb{N}}_{+}.$

Aufgabe Referenznummer erstellen

Beweise die Aussagen (1), (3) und (5) von Lemma 4.7.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei  $k\in {\mathbb{N}}_{+}$.  Zeige, dass die Folge ${\left(\frac{1}{n^k}\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ in einem archimedisch angeordneten Körper gegen $0$ konvergiert.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${\left(x_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ eine konvergente Folge reeller Zahlen mit Grenzwert $x$. Zeige, dass dann auch die Folge

${(|x_n|)}_{n\in \mathbb{N}}$

konvergiert, und zwar gegen $|x|$.

In den beiden folgenden Aufgaben geht es um die Folge der Fibonacci-Zahlen.

Die Folge der Fibonacci-Zahlen $f_n$ ist rekursiv durch

$f_1:=1,f_2:=1\text{ und }{f}_{n+2}:=f_{n+1}+f_n$

definiert.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Beweise durch Induktion die Simpson-Formel oder Simpson-Identität für die Fibonacci-Zahlen $f_n$. Sie besagt (für $n\ge 2$)

$f_{n+1}{f}_{n-1}-f_n^2=(-1{)}^n.$

Aufgabe Referenznummer erstellen

Beweise durch Induktion die Binet-Formel für die Fibonacci-Zahlen. Diese besagt, dass

$f_n=\frac{{\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)}^n-{\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)}^n}{\sqrt{5}}$

gilt ($n\ge 0$).

Aufgabe Referenznummer erstellen

Untersuche die durch

$x_n=\frac{1}{\sqrt{n}}$

gegebene Folge ($n\ge 1$) auf Konvergenz.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme den Grenzwert der durch

$x_n=\frac{7n^3-3n^2+2n-11}{13n^3-5n+4}$

definierten Folge.

Für die folgende Aufgabe ist Aufgabe 1.5 hilfreich.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige, dass die reelle Folge

${\left(\frac{n}{2^n}\right)}_{n\in \mathbb{N}}$

gegen $0$ konvergiert.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme den Grenzwert der durch

$x_n=\frac{2n+5\sqrt{n}+7}{-5n+3\sqrt{n}-4}$

definierten reellen Folge.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Man gebe Beispiele für konvergente reelle Folgen ${\left(x_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ und ${\left(y_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ mit $x_n\ne 0$, $n\in \mathbb{N}$, und mit $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{x}_n=0$ derart, dass die Folge

${\left(\frac{y_n}{x_n}\right)}_{n\in \mathbb{N}}$

1. gegen $0$ konvergiert,
2. gegen $1$ konvergiert,
3. divergiert.

Die nächste Aufgabe knüpft an Aufgabe 3.23 an.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Zwei Personen $A$ und $B$ spielen Polynome-Erraten. Dabei denkt sich $A$ ein Polynom $P(x)$ aus, wobei alle Koeffizienten aus $\mathbb{N}$ sein müssen. Person $B$ darf fragen, was der Wert $P(n_1),P(n_2),\dots ,P(n_r)$ zu gewissen natürlichen Zahlen $n_1,n_2,\dots ,n_r$ ist, vergleiche Aufgabe 3.23. Zeige, dass die Abfrage der Werte zu fixierten Zahlen $n_1,n_2,\dots ,n_r$ (also unabhängig von vorhergehenden Teilantworten) im Allgemeinen keine erfolgreiche Strategie ist.