Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2008)/1/Klausur

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
Punkte 4 3 4 6 2 3 2 2 4 4 4 4 8 6 4 4 64



Aufgabe * (4 Punkte)

Berechne mit Hilfe des quadratischen Reziprozitätsgesetzes und seiner Ergänzungssätze das Legendre-Symbol

Bemerkung: und sind Primzahlen.


Aufgabe * (3 (1+1+1) Punkte)

Wie viele Quadrate und wie viele primitive Elemente besitzt ?

Wie viele Elemente besitzt , die weder primitiv noch ein Quadrat sind?

Sei ein primitives Element von . Liste explizit alle Elemente auf, die weder primitiv noch ein Quadrat sind.


Aufgabe * (4 Punkte)

Sei . Berechne einen Erzeuger für das gebrochene Ideal aus , das durch die beiden Erzeuger

gegeben ist.


Aufgabe * (6 Punkte)

Sei

Berechne den Hauptdivisor zu


Aufgabe * (2 Punkte)

Man gebe zwei Primfaktoren von an.


Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme ein Element aus , das unter allen Nichteinheiten minimale Norm besitzt. Begründe, dass dieses Element irreduzibel ist.


Aufgabe * (2 Punkte)

Man gebe ein Beispiel an, wo das Jacobi-Symbol den Wert hat, aber kein Quadratrest vorliegt.


Aufgabe * (2 Punkte)

Betrachte die Quadratrestgruppe

wobei die Untergruppe der Quadrate bezeichne. Zeige, dass es zu jeder Restklasse einen Repräsentanten aus gibt.


Aufgabe * (4 Punkte)

Beschreibe mittels geeigneter Kongruenzbedingungen diejenigen ungeraden Primzahlen mit der Eigenschaft, dass ein Quadratrest modulo ist.

Gibt es unendlich viele solche Primzahlen?


Aufgabe * (4 Punkte)

Sei eine Primzahl und sei ein Polynom mit Koeffizienten in vom Grad . Zeige, dass es ein Polynom mit einem Grad derart gibt, dass für alle Elemente die Gleichheit

gilt.


Aufgabe * (4 Punkte)

Finde die kleinste Zahl derart, dass zugleich das reguläre -Eck mit Zirkel und Lineal konstruierbar ist und dass eine Summe von zwei Quadraten ist.


Aufgabe * (4 Punkte)

Beschreibe alle sechsten Einheitswurzeln im quadratischen Zahlbereich und im Restklassenring (eine -te Einheitswurzel in einem Ring ist ein Element mit ).


Aufgabe * (8 Punkte)

Sei eine endliche Körpererweiterung vom Grad und sei der zugehörige Zahlbereich. Sei ein von verschiedenes Ideal in . Seien Elemente, die eine -Basis von bilden und für die der Betrag der Diskriminante

unter all diesen Basen aus minimal sei.

Zeige, dass dann

ist.


Aufgabe * (6 Punkte)

Sei die Nenneraufnahme zu ( besteht also aus allen rationalen Zahlen, die man mit einer Potenz von als Nenner schreiben kann). Zeige, dass es nur endlich viele Unterringe mit

gibt, und charakterisiere diese unter Verwendung der Primfaktorzerlegung von .


Aufgabe * (4 Punkte)

Seien und Integritätsbereiche und sei eine ganze Ringerweiterung. Es sei ein Element, das in eine Einheit ist. Zeige, dass dann schon in eine Einheit ist.


Aufgabe * (4 Punkte)

Sei ein faktorieller Zahlbereich. Zeige, dass dann ein Hauptidealbereich ist. Dabei dürfen grundlegende Sätze über Zahlbereiche verwendet werden.

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