Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2016-2017)/Vorlesung 15/latex

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\setcounter{section}{15}

Bevor wir uns mit algebraischer Zahlentheorie, insbesondere mit quadratischen Zahlbereichen, genauer beschäftigen können, brauchen wir einige neue algebraische Begriffe. Zur Motivation betrachten wir das folgende kommutative Diagramm.
\mathdisp {\begin{matrix} \Z & \longrightarrow & \Z[i] \\ \downarrow & & \downarrow \\ \Q & \longrightarrow & \Q[i] \end{matrix}} { }
In der unteren Zeile stehen Körper, und zwar ist
\mathl{\Q \subset \Q[i]}{} eine endliche Körpererweiterung vom Grad $2$ \zusatzklammer {d.h. die $\Q$-Vektorraumdimension von
\mathl{\Q[i]}{} ist $2$} {} {}. Ferner ist $\Q$ der kleinste Körper, der die ganzen Zahlen $\Z$ enthält, und ebenso ist
\mathl{\Q[i]}{} der kleinste Körper, der die Gaußschen Zahlen
\mathl{\Z[i]}{} enthält. Die Gaußschen Zahlen sind, in einem zu präzisierenden Sinne, die \anfuehrung{ganzen Zahlen}{} im Körper
\mathl{\Q[i]}{.}

Dies ist nicht selbstverständlich. Betrachten wir stattdessen die Körpererweiterung
\mathl{\Q \subset \Q[\sqrt{-3}]}{} \zusatzklammer {ebenfalls vom Grad zwei} {} {} was ist dann der Ring der ganzen Zahlen? Es liegt das Diagramm
\mathdisp {\begin{matrix} \Z & \longrightarrow & \Z[\sqrt{-3}] & \longrightarrow & \Z[\omega] \\ \downarrow & & \downarrow & & \downarrow \\ \Q & \longrightarrow & \Q[\sqrt{-3}] & = & \Q[\sqrt{-3}] \end{matrix}} { }
vor. Hier ist
\mathl{\omega = \frac{-1+ \sqrt{3}i}{2}}{} und
\mathl{\Z[\omega]}{} ist der Ring der Eisenstein-Zahlen, den wir in der zweiten Vorlesung kennengelernt haben. Für die beiden Ringe
\mathl{\Z[\sqrt{-3}]}{} und
\mathl{\Z[\omega]}{} ist
\mathl{\mathbb Q[\sqrt{-3}]}{} der kleinste sie enthaltende Körper. Auf den ersten Blick wirkt vermutlich
\mathl{\Z[\sqrt{-3}]}{} natürlicher. Andererseits ist der Ring der Eisenstein-Zahlen euklidisch und damit faktoriell, hat also deutlich bessere Eigenschaften, während nach Aufgabe 5.20 $\Z[\sqrt{- 3}]$ nicht faktoriell ist.

Im Folgenden werden wir bestimmen, was für eine beliebige endliche Körpererweiterung
\mathl{\Q \subseteq L}{} der \anfuehrung{richtige}{} Ganzheitsring in $L$ ist. Zuerst präzisieren wir, was wir eben mit den Worten umschrieben haben, dass $\Q$ der kleinste Körper ist, der $\Z$ enthält.






\zwischenueberschrift{Der Quotientenkörper}




\inputdefinition
{}
{

Zu einem \definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{} $R$ ist der \definitionswort {Quotientenkörper}{}
\mathl{Q(R)}{} als die Menge der formalen Brüche
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ Q(R) }
{ =} { { \left\{ \frac{r}{s} \mid r, s \in R , \, s \neq 0 \right\} } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} mit natürlichen Identifizierungen und Operationen definiert.

}

Mit natürlichen Identifikationen meinen wir die \zusatzklammer {Erweiterungs- bzw. Kürzungs} {} {-}Regel
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ r }{ s } } }
{ =} { { \frac{ tr }{ ts } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} \zusatzklammer {\mathlk{t \neq 0}{}} {} {.} Für die Operationen gelten
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \frac{r}{s} + \frac{t}{u} }
{ =} { \frac{ru+ts}{su} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} \zusatzklammer {auf einen Hauptnenner bringen} {} {} und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \frac{r}{s} \cdot \frac{t}{u} }
{ =} {\frac{rt}{su} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Mit diesen Operationen liegt in der Tat, wie man schnell überprüft, ein kommutativer Ring vor. Und zwar handelt es sich um einen Körper, denn für jedes Element
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \frac{r}{s} }
{ \neq} {0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ist $\frac{s}{r}$ das Inverse.

Der Integritätsbereich $R$ findet sich in
\mathl{Q(R)}{} über die Elemente $\frac{r}{1}$ wieder. Diese natürliche Inklusion
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{R }
{ \subseteq} { Q(R) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ist ein Ringhomomorphismus. Das Element
\mathl{r=\frac{r}{1}}{} hat bei
\mathl{r \neq 0}{} das Inverse $\frac{1}{r}$. Zwischen $R$ und
\mathl{Q(R)}{} gibt es keinen weiteren Körper. Ein solcher muss nämlich zu
\mathl{r \neq 0}{} das \zusatzklammer {eindeutig bestimmte} {} {} Inverse $\frac{1}{r}$ enthalten und dann aber auch alle Produkte
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{s { \frac{ 1 }{ r } } }
{ = }{ { \frac{ s }{ r } } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}






\zwischenueberschrift{Algebraische Erweiterungen}




\inputdefinition
{}
{

Seien \mathkor {} {R} {und} {A} {} \definitionsverweis {kommutative Ringe}{}{} und sei \maabb {} {R} {A } {} ein fixierter \definitionsverweis {Ringhomomorphismus}{}{.} Dann nennt man $A$ eine \definitionswort {$R$-Algebra}{.}

}

Wenn eine $R$-Algebra vorliegt, so nennt man den zugehörigen Ringhomomorphismus auch den \stichwort {Strukturhomomorphismus} {.} Das vielleicht wichtigste Beispiel einer $R$-Algebra ist der Polynomring
\mathl{R[X]}{.} Ein $R$-Algebrahomomorphismus von
\mathl{R[X]}{} in eine weitere $R$-Algebra $B$ ist durch die Zuordnung
\mathl{X \mapsto f}{} gegeben, wobei
\mathl{f \in B}{} ein beliebiges fixiertes Element ist. Diese Abbildung nennt man den \stichwort {Einsetzungshomomorphismus} {.} Er schickt ein Polynom
\mathl{\sum_{i=0}^n r_iX^{i}}{,}
\mathl{r_i \in R}{,} auf
\mathl{\sum_{i=0}^n r_if^{i} \in B}{,} wobei die $r_i$ via dem Strukturhomomorphismus als Elemente in $B$ aufgefasst werden.




\inputdefinition
{}
{

Sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und $A$ eine kommutative $K$-\definitionsverweis {Algebra}{}{.} Es sei
\mathl{f \in A}{} ein Element. Dann heißt $f$ \definitionswort {algebraisch}{} über $K$, wenn es ein von $0$ verschiedenes Polynom
\mathl{P \in K[X]}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P(f) }
{ = }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gibt.

}

Wenn ein Polynom
\mathl{P \neq 0}{} das algebraische Element
\mathl{f \in A}{} annulliert \zusatzklammer {also
\mathl{P(f)=0}{} ist} {} {,} so kann man durch den Leitkoeffizienten dividieren und erhält dann auch ein normiertes annullierendes Polynom. Über einem Körper sind also die Begriffe \definitionsverweis {ganz}{}{} \zusatzklammer {siehe weiter unten} {} {} und algebraisch äquivalent.




\inputdefinition
{}
{

Sei $K$ ein Körper und $A$ eine $K$-Algebra. Es sei
\mathl{f \in A}{} ein über $K$ \definitionsverweis {algebraisches Element}{}{.} Dann heißt das normierte Polynom
\mathl{P \in K[X]}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P(f) }
{ = }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} welches von minimalem \definitionsverweis {Grad}{}{} mit dieser Eigenschaft ist, das \definitionswort {Minimalpolynom}{} von $f$.

}

Die über den rationalen Zahlen $\Q$ algebraischen komplexen Zahlen erhalten einen speziellen Namen.


\inputdefinition
{}
{

Eine komplexe Zahl $z$ heißt \definitionswort {algebraisch}{} oder \definitionswort {algebraische Zahl}{,} wenn sie \definitionsverweis {algebraisch}{}{} über den rationalen Zahlen $\mathbb Q$ ist. Andernfalls heißt sie \definitionswort {transzendent}{.}

}






\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Carl_Louis_Ferdinand_von_Lindemann.eps} }
\end{center}
\bildtext {Ferdinand von Lindemann (1852-1939)} }

\bildlizenz { Carl Louis Ferdinand von Lindemann.jpg } {} {JdH} {Commons} {PD} {http://www.math.uha.fr/Pi/trans.html}






\inputbemerkung
{}
{

Eine komplexe Zahl
\mathl{z \in \mathbb C}{} ist genau dann algebraisch, wenn es ein von $0$ verschiedenes Polynom $P$ mit rationalen Koeffizienten und mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P(z) }
{ = }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gibt. Durch Multiplikation mit einem Hauptnenner kann man für eine algebraische Zahl auch ein annullierendes Polynom mit ganzzahligen Koeffizienten finden \zusatzklammer {das allerdings nicht mehr normiert ist} {} {.} Eine rationale Zahl $q$ ist trivialerweise algebraisch, da sie Nullstelle des linearen rationalen Polynoms
\mathl{X-q}{} ist. Weiterhin sind die reellen Zahlen \mathkor {} {\sqrt{q}} {und} {q^{1/n}} {} für
\mathl{q \in \mathbb Q}{} algebraisch. Dagegen sind die Zahlen $e$ und $\pi$ nicht algebraisch. Diese Aussagen sind keineswegs selbstverständlich, die Transzendenz von $\pi$ wurde beispielsweise von Ferdinand von Lindemann 1882 gezeigt.

}




\inputdefinition
{}
{

Sei $L$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K }
{ \subseteq }{L }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {Unterkörper}{}{} von $L$. Dann heißt $L$ ein \definitionswort {Erweiterungskörper}{} \zusatzklammer {oder \definitionswort {Oberkörper}{}} {} {} von $K$ und die Inklusion
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K }
{ \subseteq }{L }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} heißt eine \definitionswort {Körpererweiterung}{.}

}

Eine $K$-Algebra $A$ kann man stets in natürlicher Weise als Vektorraum über dem Körper $K$ auffassen \zusatzklammer {ist $K$ kein Körper, so ist eine $K$-Algebra ein $K$-\definitionsverweis {Modul}{}{.}} {} {} Die Skalarmultiplikation wird dabei einfach über den Strukturhomomorphismus erklärt. Durch den Vektorraumbegriff hat man sofort die folgenden Begriffe zur Verfügung.




\inputdefinition
{}
{

Eine \definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K }
{ \subseteq }{L }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} heißt \definitionswort {endlich}{,} wenn $L$ ein \definitionsverweis {endlichdimensionaler Vektorraum}{}{} über $K$ ist.

}




\inputdefinition
{}
{

Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K }
{ \subseteq }{L }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {endliche Körpererweiterung}{}{.} Dann nennt man die $K$-\definitionsverweis {(Vektor\-raum-)Dimension}{}{} von $L$ den \definitionswort {Grad}{} der Körpererweiterung.

}

Ein Element
\mathl{f \in L}{} einer Körpererweiterung
\mathl{K \subseteq L}{} definiert durch Multiplikation eine $K$-lineare Abbildung \maabbeledisp {\varphi_f} {L} {L } {y} {fy } {.} Über diese Konstruktion werden Norm und Spur von $f$ erklärt.






\inputbemerkung
{}
{

Zu einer \definitionsverweis {linearen Abbildung}{}{} \maabbdisp {\varphi} {V} {V } {} eines endlichdimensionalen $K$-Vektorraumes $V$ in sich wird die \definitionsverweis {Determinante}{}{}
\mathl{\det (\varphi)}{} und die \definitionsverweis {Spur}{}{} $S(\varphi)$ wie folgt berechnet. Man wählt eine $K$-\definitionsverweis {Basis}{}{}
\mathl{v_1 , \ldots , v_n \in V}{} und repräsentiert die lineare Abbildung bezüglich dieser Basis durch eine quadratische
\mathl{n \times n}{-}Matrix
\mathdisp {\begin{pmatrix} \lambda_{1,1} & \cdots & \lambda_{1,n} \\ \vdots & \ddots & \vdots\\ \lambda_{n,1} & \cdots & \lambda_{n,n} \end{pmatrix}} { }
mit
\mathl{\lambda_{ij} \in K}{} und rechnet dann die Determinante aus. Es folgt aus dem Determinantenmultiplikationssatz, dass dies unabhängig von der Wahl der Basis ist. Die Spur ist durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ S(\varphi) }
{ =} { \lambda_{1,1}+ \lambda_{2,2} + \cdots + \lambda_{n,n} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gegeben, und dies ist nach Aufgabe 15.12 ebenfalls unabhängig von der Wahl der Basis.

}




\inputdefinition
{}
{

Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K }
{ \subseteq }{L }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {endliche Körpererweiterung}{}{.} Zu einem Element
\mathl{f \in L}{} nennt man die \definitionsverweis {Determinante}{}{} der $K$-\definitionsverweis {linearen Abbildung}{}{} \maabbeledisp {\mu_f} {L} {L } {y} {fy } {,} die \definitionswort {Norm}{} von $f$. Sie wird mit
\mathl{N(f)}{} bezeichnet.

}




\inputdefinition
{}
{

Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K }
{ \subseteq }{L }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {endliche Körpererweiterung}{}{.} Zu einem Element
\mathl{f \in L}{} nennt man die \definitionsverweis {Spur}{}{} der $K$-\definitionsverweis {linearen Abbildung}{}{} \maabbeledisp {\varphi_f} {L} { L } {y} { fy } {,} die \definitionswort {Spur}{} von $f$. Sie wird mit
\mathl{S(f)}{} bezeichnet.

}





\inputfaktbeweis
{Endliche Körpererweiterung/Norm eines Elementes/Eigenschaften/Fakt}
{Lemma}
{}
{

Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K }
{ \subseteq }{L }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {endliche Körpererweiterung}{}{.} Dann hat die \definitionsverweis {Norm}{}{} \maabbeledisp {N} {L} {K } {f} {N(f) } {,} folgende Eigenschaften: \aufzaehlungdrei{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{N(fg) }
{ = }{ N(f) N(g) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }{Für
\mathl{f \in K}{} ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{N(f) }
{ = }{f^n }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} wobei $n$ den \definitionsverweis {Grad}{}{} der Körpererweiterung bezeichne. }{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{N(f) }
{ = }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} genau dann, wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f }
{ = }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist.}

}
{

\aufzaehlungdrei{Dies folgt aus dem Determinantenmultiplikationssatz und Fakt *****. }{Zu einer beliebigen Basis von $L$ wird die Multiplikation mit einen Element
\mathl{f \in K}{} durch die Diagonalmatrix beschrieben, bei der jeder Diagonaleintrag $f$ ist. Die Determinante ist daher $f^n$ nach Fakt *****. }{Die eine Richtung ist klar, sei also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f }
{ \neq }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Dann ist $f$ eine Einheit in $L$ und daher ist die Multiplikation mit $f$ eine bijektive $K$-lineare Abbildung \maabb {} {L} {L } {,} und deren Determinante ist $\neq 0$ nach Fakt *****. }

}






\inputfaktbeweis
{Endliche Körpererweiterung/Spur eines Elementes/Eigenschaften/Fakt}
{Lemma}
{}
{

Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K }
{ \subseteq }{L }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {endliche Körpererweiterung}{}{} vom \definitionsverweis {Grad}{}{}
\mathl{n}{.} Dann hat die \definitionsverweis {Spur}{}{} \maabbeledisp {S} {L} {K } {f} {S(f) } {,} folgende Eigenschaften: \aufzaehlungzwei {Die Spur ist $K$-\definitionsverweis {linear}{}{,} also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ S(f+g) }
{ = }{S(f)+S(g) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{S(\lambda f) }
{ = }{ \lambda S(f) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} für
\mathl{\lambda \in K}{.} } {Für
\mathl{f \in K}{} ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ S(f) }
{ = }{ nf }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }

}
{

Dies folgt aus den Definitionen.

}


Eine Körpererweiterung
\mathl{K \subseteq L}{} heißt \stichwort {einfach} {,} wenn sie von einem Element $f$ erzeugt wird. Das bedeutet, dass es außer $L$ keinen Körper zwischen $K$ und $L$ gibt, der $f$ enthält. Das Element $f$ nennt man dann auch ein \stichwort {primitives Element} {} der Körpererweiterung. Ist $L$ endlich und einfach, so ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{L }
{ =} { K[f] }
{ \cong} { K[X]/(P) }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} wobei $P$ das Minimalpolynom von $f$ ist.





\inputfaktbeweis
{Endliche einfache Körpererweiterung/Norm und Spur im Minimalpolynom des Erzeugers/Fakt}
{Satz}
{}
{

Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K }
{ \subseteq }{L }
{ = }{K[f] }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine einfache \definitionsverweis {endliche Körpererweiterung}{}{} vom \definitionsverweis {Grad}{}{} $n$. Dann hat das \definitionsverweis {Minimalpolynom}{}{} $P$ von $f$ die Gestalt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{P }
{ =} { X^n- S(f)X^{n-1} + \cdots + (-1)^n N(f) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{

Das Minimalpolynom und das \definitionsverweis {charakteristische Polynom}{}{} der durch $f$ definierten $K$-linearen \definitionsverweis {Multiplikationsabbildung}{}{} \maabbeledisp {\mu_f} { L} { L } {y} { fy } {,} haben beide den Grad $n$. Nach dem Satz von Cayley-Hamilton annulliert das charakteristische Polynom die lineare Abbildung und ist somit ein Vielfaches des Minimalpolynoms, so dass sie übereinstimmen. Sei bezüglich einer Basis
\mathl{v_1 , \ldots , v_n}{} von $L$ diese lineare Abbildung $\mu_f$ durch die Matrix
\mathl{{ \left( \lambda_{ij} \right) }_{ij}}{} gegeben. Dann ist das charakteristische Polynom gleich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \chi_{\mu_f} }
{ =} { \det \begin{pmatrix} X- \lambda_{1,1} & \cdots & - \lambda_{1,n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ - \lambda_{n,1} & \cdots & X- \lambda_{n,n} \end{pmatrix} }
{ =} { X^n +a_{n-1}X^{n-1}+ \cdots + a_1X +a_0 }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Zum Koeffizienten
\mathl{a_{n-1}}{} leisten \zusatzklammer {in der Leibniz-Formel zur Berechnung der Determinante} {} {} nur diejenigen Permutationen einen Beitrag, bei denen
\mathl{(n-1)}{-}mal die Variable $X$ vorkommt, und das ist nur bei der identischen Permutation \zusatzklammer {also der Diagonalen} {} {} der Fall. Multipliziert man die Diagonale distributiv aus, so ergibt sich
\mathl{X^n- \sum_{i=1}^n \lambda_{i,i}X^{n-1} + \ldots}{,} so dass also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a_{n-1} }
{ = }{ - S(f) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gilt. Setzt man in der obigen Gleichung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{X }
{ = }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} so ergibt sich, dass $a_0$ die Determinante der negierten Matrix ist, woraus
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a_0 }
{ = }{(-1)^n N(f) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} folgt.

}





\inputdefinition
{}
{

Sei
\mathl{K \subseteq L}{} eine \definitionsverweis {endliche Körpererweiterung}{}{.} Sie heißt \definitionswort {separabel}{,} wenn für jedes Element
\mathl{x \in L}{} das \definitionsverweis {Minimalpolynom}{}{} \definitionsverweis {separabel}{}{} ist, also in keinem Erweiterungskörper eine mehrfache Nullstelle besitzt.

}

In unserem Zusammenhang, wo wir uns für Körpererweiterungen von $\mathbb Q$ interessieren, also in Charakteristik $0$ sind, ist eine Körpererweiterung stets separabel \zusatzklammer {siehe Aufgabe 15.26} {} {,} und wir haben den folgenden \stichwort {Satz vom primitiven Element} {} zur Verfügung.

\inputfaktbeweis
{Endliche separable Körpererweiterung/Satz vom primitiven Element/Fakt}
{Satz}
{}
{

Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K }
{ \subseteq }{ L }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {endliche}{}{} \definitionsverweis {separable Körpererweiterung}{}{.} Dann wird $L$ von einem Element erzeugt, d.h. es gibt ein
\mathl{f \in L}{} mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{L }
{ =} { K(f) }
{ \cong} { K[X]/(P) }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} mit einem irreduziblen (Minimal-)Polynom
\mathl{P \in K[X]}{.}

}
{Dies ist ein wichtiges Standardresultat aus der Theorie der Körpererweiterungen.
}


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