Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2016-2017)/Vorlesung 15

Bevor wir uns mit algebraischer Zahlentheorie, insbesondere mit quadratischen Zahlbereichen, genauer beschäftigen können, brauchen wir einige neue algebraische Begriffe. Zur Motivation betrachten wir das folgende kommutative Diagramm.

${\begin{matrix}\mathbb {Z} &\longrightarrow &\mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]\\\downarrow &&\downarrow \\\mathbb {Q} &\longrightarrow &\mathbb {Q} [{\mathrm {i} }]\end{matrix}}$

In der unteren Zeile stehen Körper, und zwar ist

${}\mathbb {Q} \subseteq \mathbb {Q} [{\mathrm {i} }]\,$

eine endliche Körpererweiterung vom Grad ${}2$ (d.h. die ${}\mathbb {Q}$-Vektorraumdimension von ${}\mathbb {Q} [{\mathrm {i} }]$ ist ${}2$). Ferner ist ${}\mathbb {Q}$ der kleinste Körper, der die ganzen Zahlen ${}\mathbb {Z}$ enthält, und ebenso ist ${}\mathbb {Q} [{\mathrm {i} }]$ der kleinste Körper, der die Gaußschen Zahlen ${}\mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]$ enthält. Die Gaußschen Zahlen sind, in einem zu präzisierenden Sinne, die „ganzen Zahlen“ im Körper ${}\mathbb {Q} [{\mathrm {i} }]$.

Dies ist nicht selbstverständlich. Betrachten wir stattdessen die Körpererweiterung  ${}\mathbb {Q} \subseteq \mathbb {Q} [{\sqrt {-3}}]$  (ebenfalls vom Grad zwei), was ist dann der Ring der ganzen Zahlen? Es liegt das Diagramm

${\begin{matrix}\mathbb {Z} &\longrightarrow &\mathbb {Z} [{\sqrt {-3}}]&\longrightarrow &\mathbb {Z} [\omega ]\\\downarrow &&\downarrow &&\downarrow \\\mathbb {Q} &\longrightarrow &\mathbb {Q} [{\sqrt {-3}}]&=&\mathbb {Q} [{\sqrt {-3}}]\end{matrix}}$

vor. Hier ist  ${}\omega ={\frac {-1+{\sqrt {3}}{\mathrm {i} }}{2}}$  und ${}\mathbb {Z} [\omega ]$ ist der Ring der Eisenstein-Zahlen, den wir in der zweiten Vorlesung kennengelernt haben. Für die beiden Ringe ${}\mathbb {Z} [{\sqrt {-3}}]$ und ${}\mathbb {Z} [\omega ]$ ist ${}\mathbb {Q} [{\sqrt {-3}}]$ der kleinste sie enthaltende Körper. Auf den ersten Blick wirkt vermutlich ${}\mathbb {Z} [{\sqrt {-3}}]$ natürlicher. Andererseits ist der Ring der Eisenstein-Zahlen euklidisch und damit faktoriell, hat also deutlich bessere Eigenschaften, während nach Aufgabe 5.21 ${}\mathbb {Z} [{\sqrt {-3}}]$ nicht faktoriell ist.

Im Folgenden werden wir bestimmen, was für eine beliebige endliche Körpererweiterung  ${}\mathbb {Q} \subseteq L$  der „richtige“ Ganzheitsring in ${}L$ ist. Zuerst präzisieren wir, was wir eben mit den Worten umschrieben haben, dass ${}\mathbb {Q}$ der kleinste Körper ist, der ${}\mathbb {Z}$ enthält.

Der Quotientenkörper

Definition

Zu einem Integritätsbereich ${}R$ ist der Quotientenkörper ${}Q(R)$ als die Menge der formalen Brüche

${}Q(R)={\left\{{\frac {r}{s}}\mid r,s\in R,\,s\neq 0\right\}}\,$

mit natürlichen Identifizierungen und Operationen definiert.

Mit natürlichen Identifikationen meinen wir die (Erweiterungs- bzw. Kürzungs)-Regel

${}{\frac {r}{s}}={\frac {tr}{ts}}\,$

(${}t\neq 0$). Für die Operationen gelten

${}{\frac {r}{s}}+{\frac {t}{u}}={\frac {ru+ts}{su}}\,$

(auf einen Hauptnenner bringen) und

${}{\frac {r}{s}}\cdot {\frac {t}{u}}={\frac {rt}{su}}\,.$

Mit diesen Operationen liegt in der Tat, wie man schnell überprüft, ein kommutativer Ring vor. Und zwar handelt es sich um einen Körper, denn für jedes Element

${}{\frac {r}{s}}\neq 0\,$

ist ${}{\frac {s}{r}}$ das Inverse.

Der Integritätsbereich ${}R$ findet sich in ${}Q(R)$ über die Elemente ${}{\frac {r}{1}}$ wieder. Diese natürliche Inklusion

${}R\subseteq Q(R)\,$

ist ein Ringhomomorphismus. Das Element  ${}r={\frac {r}{1}}$  hat bei  ${}r\neq 0$  das Inverse ${}{\frac {1}{r}}$. Zwischen ${}R$ und ${}Q(R)$ gibt es keinen weiteren Körper. Ein solcher muss nämlich zu  ${}r\neq 0$  das (eindeutig bestimmte) Inverse ${}{\frac {1}{r}}$ enthalten und dann aber auch alle Produkte  ${}s{\frac {1}{r}}={\frac {s}{r}}$. 

Algebraische Erweiterungen

Definition

Es seien ${}R$ und ${}A$ kommutative Ringe und sei ${}R\rightarrow A$ ein fixierter Ringhomomorphismus. Dann nennt man ${}A$ eine ${}R$-Algebra.

Wenn eine ${}R$-Algebra vorliegt, so nennt man den zugehörigen Ringhomomorphismus auch den Strukturhomomorphismus. Das vielleicht wichtigste Beispiel einer ${}R$-Algebra ist der Polynomring ${}R[X]$. Ein ${}R$-Algebrahomomorphismus von ${}R[X]$ in eine weitere ${}R$-Algebra ${}B$ ist durch die Zuordnung ${}X\mapsto f$ gegeben, wobei  ${}f\in B$  ein beliebiges fixiertes Element ist. Diese Abbildung nennt man den Einsetzungshomomorphismus. Er schickt ein Polynom ${}\sum _{i=0}^{n}r_{i}X^{i}$ mit  ${}r_{i}\in R$  auf  ${}\sum _{i=0}^{n}r_{i}f^{i}\in B$,  wobei die ${}r_{i}$ via dem Strukturhomomorphismus als Elemente in ${}B$ aufgefasst werden.

Definition

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}A$ eine ${}K$- Algebra. Es sei  ${}f\in A$  ein Element. Dann heißt ${}f$ algebraisch über ${}K$, wenn es ein von ${}0$ verschiedenes Polynom  ${}P\in K[X]$  mit  ${}P(f)=0$  gibt.

Wenn ein Polynom  ${}P\neq 0$  das algebraische Element  ${}f\in A$  annulliert (also ${}P(f)=0$ ist), so kann man durch den Leitkoeffizienten dividieren und erhält dann auch ein normiertes annullierendes Polynom. Über einem Körper sind also die Begriffe ganz

und algebraisch äquivalent.

Definition

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}A$ eine ${}K$- Algebra. Es sei  ${}f\in A$  ein über ${}K$ algebraisches Element. Dann heißt das normierte Polynom  ${}P\in K[X]$  mit  ${}P(f)=0$,  welches von minimalem Grad mit dieser Eigenschaft ist, das Minimalpolynom von ${}f$.

Die über den rationalen Zahlen ${}\mathbb {Q}$ algebraischen komplexen Zahlen erhalten einen speziellen Namen.

Definition

Eine komplexe Zahl ${}z$ heißt algebraisch oder algebraische Zahl, wenn sie algebraisch über den rationalen Zahlen ${}\mathbb {Q}$ ist. Andernfalls heißt sie transzendent.

Ferdinand von Lindemann (1852-1939)

Bemerkung  

Eine komplexe Zahl  ${}z\in {\mathbb {C} }$  ist genau dann algebraisch, wenn es ein von ${}0$ verschiedenes Polynom ${}P$ mit rationalen Koeffizienten und mit  ${}P(z)=0$  gibt. Durch Multiplikation mit einem Hauptnenner kann man für eine algebraische Zahl auch ein annullierendes Polynom mit ganzzahligen Koeffizienten finden (das allerdings nicht mehr normiert ist). Eine rationale Zahl ${}q$ ist trivialerweise algebraisch, da sie Nullstelle des linearen rationalen Polynoms ${}X-q$ ist. Weiterhin sind die reellen Zahlen ${}{\sqrt {q}}$ und ${}q^{1/n}$ für  ${}q\in \mathbb {Q}$  algebraisch. Dagegen sind die Zahlen ${}e$ und ${}\pi$ nicht algebraisch. Diese Aussagen sind keineswegs selbstverständlich, die Transzendenz von ${}\pi$ wurde beispielsweise von Ferdinand von Lindemann 1882 gezeigt.

Definition

Es sei ${}L$ ein Körper und  ${}K\subseteq L$  ein Unterkörper von ${}L$. Dann heißt ${}L$ ein Erweiterungskörper (oder Oberkörper) von ${}K$ und die Inklusion  ${}K\subseteq L$  heißt eine Körpererweiterung.

Eine ${}K$-Algebra ${}A$ kann man stets in natürlicher Weise als Vektorraum über dem Körper ${}K$ auffassen (ist ${}K$ kein Körper, so ist eine ${}K$-Algebra ein ${}K$-Modul.) Die Skalarmultiplikation wird dabei einfach über den Strukturhomomorphismus erklärt. Durch den Vektorraumbegriff hat man sofort die folgenden Begriffe zur Verfügung.

Definition

Eine Körpererweiterung  ${}K\subseteq L$  heißt endlich, wenn ${}L$ ein endlichdimensionaler Vektorraum über ${}K$ ist.

Definition

Es sei  ${}K\subseteq L$  eine endliche Körpererweiterung. Dann nennt man die ${}K$- Vektorraumdimension von ${}L$ den Grad der Körpererweiterung.

Ein Element  ${}f\in L$  einer Körpererweiterung

${}K\subseteq L\,$

definiert durch Multiplikation eine ${}K$-lineare Abbildung

$\varphi _{f}\colon L\longrightarrow L,\,y\longmapsto fy.$

Über diese Konstruktion werden Norm und Spur von ${}f$ erklärt.

Bemerkung  

Zu einer linearen Abbildung

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

eines endlichdimensionalen ${}K$-Vektorraumes ${}V$ in sich wird die Determinante ${}\det \left(\varphi \right)$ und die Spur ${}S(\varphi )$ wie folgt berechnet. Man wählt eine ${}K$- Basis  ${}v_{1},\ldots ,v_{n}\in V$  und repräsentiert die lineare Abbildung bezüglich dieser Basis durch eine quadratische ${}n\times n$- Matrix

${\begin{pmatrix}\lambda _{1,1}&\cdots &\lambda _{1,n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\\lambda _{n,1}&\cdots &\lambda _{n,n}\end{pmatrix}}$

mit  ${}\lambda _{ij}\in K$  und rechnet dann die Determinante aus. Es folgt aus dem Determinantenmultiplikationssatz, dass dies unabhängig von der Wahl der Basis ist. Die Spur ist durch

${}S(\varphi )=\lambda _{1,1}+\lambda _{2,2}+\cdots +\lambda _{n,n}\,$

gegeben, und dies ist nach Aufgabe 15.12 ebenfalls unabhängig von der Wahl der Basis.

Definition

Es sei  ${}K\subseteq L$  eine endliche Körpererweiterung. Zu einem Element  ${}f\in L$  nennt man die Determinante der ${}K$- linearen Abbildung

$\mu _{f}\colon L\longrightarrow L,\,y\longmapsto fy,$

die Norm von ${}f$. Sie wird mit ${}N(f)$ bezeichnet.

Definition

Es sei  ${}K\subseteq L$  eine endliche Körpererweiterung. Zu einem Element  ${}f\in L$  nennt man die Spur der ${}K$- linearen Abbildung

$\mu _{f}\colon L\longrightarrow L,\,y\longmapsto fy,$

die Spur von ${}f$. Sie wird mit ${}\operatorname {Spur} {\left(f\right)}$ bezeichnet.

Lemma

Es sei  ${}K\subseteq L$  eine endliche Körpererweiterung. Dann hat die Norm

$N\colon L\longrightarrow K,\,f\longmapsto N(f),$

folgende Eigenschaften:

1. Es ist  ${}N(fg)=N(f)N(g)$. 
2. Für  ${}f\in K$  ist  ${}N(f)=f^{n}$,  wobei ${}n$ den Grad der Körpererweiterung bezeichne.
3. Es ist  ${}N(f)=0$  genau dann, wenn  ${}f=0$  ist.

Beweis

1. Dies folgt aus dem Determinantenmultiplikationssatz und aus Lemma 8.2 (Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)).
2. Zu einer beliebigen Basis von ${}L$ wird die Multiplikation mit einen Element  ${}f\in K$  durch die Diagonalmatrix beschrieben, bei der jeder Diagonaleintrag ${}f$ ist. Die Determinante ist daher ${}f^{n}$ nach Lemma 16.4 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)).
3. Die eine Richtung ist klar, sei also  ${}f\neq 0$.  Dann ist ${}f$ eine Einheit in ${}L$ und daher ist die Multiplikation mit ${}f$ eine bijektive ${}K$-lineare Abbildung ${}L\rightarrow L$, und deren Determinante ist ${}\neq 0$ nach Satz 16.11 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)).

$\Box$

Lemma

Es sei  ${}K\subseteq L$  eine endliche Körpererweiterung vom Grad ${}n$. Dann hat die Spur

$S\colon L\longrightarrow K,\,f\longmapsto S(f),$

folgende Eigenschaften:

1. Die Spur ist ${}K$- linear, also  ${}S(f+g)=S(f)+S(g)$  und  ${}S(\lambda f)=\lambda S(f)$  für  ${}\lambda \in K$. 
2. Für  ${}f\in K$  ist  ${}S(f)=nf$. 

Beweis

Dies folgt aus den Definitionen.

$\Box$

Eine Körpererweiterung  ${}K\subseteq L$  heißt einfach, wenn sie von einem Element ${}f$ erzeugt wird. Das bedeutet, dass es außer ${}L$ keinen Körper zwischen ${}K$ und ${}L$ gibt, der ${}f$ enthält. Das Element ${}f$ nennt man dann auch ein primitives Element der Körpererweiterung. Ist  ${}K\subseteq L$  eine endliche und einfache Körpererweiterung, so ist

${}L=K[f]\cong K[X]/(P)\,,$

wobei ${}P$ das Minimalpolynom von ${}f$ ist.

Satz

Es sei  ${}K\subseteq L=K[f]$  eine einfache endliche Körpererweiterung vom Grad ${}n$.

Dann hat das Minimalpolynom ${}P$ von ${}f$ die Gestalt

${}P=X^{n}-S(f)X^{n-1}+\cdots +(-1)^{n}N(f)\,.$

Beweis

Das Minimalpolynom und das charakteristische Polynom der durch ${}f$ definierten ${}K$-linearen Multiplikationsabbildung

$\mu _{f}\colon L\longrightarrow L,\,y\longmapsto fy,$

haben beide den Grad ${}n$. Nach dem Satz von Cayley-Hamilton annulliert das charakteristische Polynom die lineare Abbildung und ist somit ein Vielfaches des Minimalpolynoms, sodass sie übereinstimmen. Diese lineare Abbildung ${}\mu _{f}$ sei bezüglich einer Basis ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ von ${}L$ durch die Matrix ${}{\left(\lambda _{ij}\right)}_{ij}$ gegeben. Dann ist das charakteristische Polynom gleich

${}\chi _{\mu _{f}}\chi _{\mu _{f}}=\det {\begin{pmatrix}X-\lambda _{1,1}&\cdots &-\lambda _{1,n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\-\lambda _{n,1}&\cdots &X-\lambda _{n,n}\end{pmatrix}}=X^{n}+a_{n-1}X^{n-1}+\cdots +a_{1}X+a_{0}\,.$

Zum Koeffizienten ${}a_{n-1}$ leisten (in der Leibniz-Formel zur Berechnung der Determinante) nur diejenigen Permutationen einen Beitrag, bei denen ${}(n-1)$-mal die Variable ${}X$ vorkommt, und das ist nur bei der identischen Permutation (also der Diagonalen) der Fall. Multipliziert man die Diagonale distributiv aus, so ergibt sich ${}X^{n}-\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i,i}X^{n-1}+\ldots$, sodass also  ${}a_{n-1}=-S(f)$  gilt. Setzt man in der obigen Gleichung  ${}X=0$,  so ergibt sich, dass ${}a_{0}$ die Determinante der negierten Matrix ist, woraus  ${}a_{0}=(-1)^{n}N(f)$  folgt.

$\Box$

Definition

Es sei  ${}K\subseteq L$  eine endliche Körpererweiterung. Sie heißt separabel, wenn für jedes Element  ${}x\in L$  das Minimalpolynom separabel ist, also in keinem Erweiterungskörper eine mehrfache Nullstelle besitzt.

In unserem Zusammenhang, wo wir uns für Körpererweiterungen von ${}\mathbb {Q}$ interessieren, also in Charakteristik ${}0$ sind, ist eine Körpererweiterung stets separabel (siehe Aufgabe 15.26), und wir haben den folgenden Satz vom primitiven Element zur Verfügung.

Satz

Es sei  ${}K\subseteq L$  eine endliche separable Körpererweiterung.

Dann wird ${}L$ von einem Element erzeugt, d.h. es gibt ein  ${}f\in L$  mit

${}L=K(f)\cong K[X]/(P)\,$

mit einem irreduziblen (Minimal-)Polynom  ${}P\in K[X]$. 

Beweis

Dies ist ein wichtiges Standardresultat aus der Theorie der Körpererweiterungen.

$\Box$

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