Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2016-2017)/Vorlesung 15

Bevor wir uns mit algebraischer Zahlentheorie, insbesondere mit quadratischen Zahlbereichen, genauer beschäftigen können, brauchen wir einige neue algebraische Begriffe. Zur Motivation betrachten wir das folgende kommutative Diagramm.

{\begin{matrix}\mathbb {Z} &\longrightarrow &\mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]\\\downarrow &&\downarrow \\\mathbb {Q} &\longrightarrow &\mathbb {Q} [{\mathrm {i} }]\end{matrix}}

In der unteren Zeile stehen Körper, und zwar ist ${}\mathbb {Q} \subset \mathbb {Q} [{\mathrm {i} }]$ eine endliche Körpererweiterung vom Grad ${}2$ (d.h. die ${}\mathbb {Q}$ -Vektorraumdimension von ${}\mathbb {Q} [{\mathrm {i} }]$ ist ${}2$ ). Ferner ist ${}\mathbb {Q}$ der kleinste Körper, der die ganzen Zahlen ${}\mathbb {Z}$ enthält, und ebenso ist ${}\mathbb {Q} [{\mathrm {i} }]$ der kleinste Körper, der die Gaußschen Zahlen ${}\mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]$ enthält. Die Gaußschen Zahlen sind, in einem zu präzisierenden Sinne, die „ganzen Zahlen“ im Körper ${}\mathbb {Q} [{\mathrm {i} }]$ .

Dies ist nicht selbstverständlich. Betrachten wir stattdessen die Körpererweiterung ${}\mathbb {Q} \subset \mathbb {Q} [{\sqrt {-3}}]$ (ebenfalls vom Grad zwei) was ist dann der Ring der ganzen Zahlen? Es liegt das Diagramm

{\begin{matrix}\mathbb {Z} &\longrightarrow &\mathbb {Z} [{\sqrt {-3}}]&\longrightarrow &\mathbb {Z} [\omega ]\\\downarrow &&\downarrow &&\downarrow \\\mathbb {Q} &\longrightarrow &\mathbb {Q} [{\sqrt {-3}}]&=&\mathbb {Q} [{\sqrt {-3}}]\end{matrix}}

vor. Hier ist ${}\omega ={\frac {-1+{\sqrt {3}}{\mathrm {i} }}{2}}$ und ${}\mathbb {Z} [\omega ]$ ist der Ring der Eisenstein-Zahlen, den wir in der zweiten Vorlesung kennengelernt haben. Für die beiden Ringe ${}\mathbb {Z} [{\sqrt {-3}}]$ und ${}\mathbb {Z} [\omega ]$ ist ${}\mathbb {Q} [{\sqrt {-3}}]$ der kleinste sie enthaltende Körper. Auf den ersten Blick wirkt vermutlich ${}\mathbb {Z} [{\sqrt {-3}}]$ natürlicher. Andererseits ist der Ring der Eisenstein-Zahlen euklidisch und damit faktoriell, hat also deutlich bessere Eigenschaften, während nach Aufgabe 5.20 ${}\mathbb {Z} [{\sqrt {-3}}]$ nicht faktoriell ist.

Im Folgenden werden wir bestimmen, was für eine beliebige endliche Körpererweiterung ${}\mathbb {Q} \subseteq L$ der „richtige“ Ganzheitsring in ${}L$ ist. Zuerst präzisieren wir, was wir eben mit den Worten umschrieben haben, dass ${}\mathbb {Q}$ der kleinste Körper ist, der ${}\mathbb {Z}$ enthält.

Der Quotientenkörper

Definition

Zu einem Integritätsbereich ${}R$ ist der Quotientenkörper ${}Q(R)$ als die Menge der formalen Brüche

{}Q(R)={\left\{{\frac {r}{s}}\mid r,s\in R,\,s\neq 0\right\}}\,

mit natürlichen Identifizierungen und Operationen definiert.

Mit natürlichen Identifikationen meinen wir die (Erweiterungs- bzw. Kürzungs)-Regel

{}{\frac {r}{s}}={\frac {tr}{ts}}\,

( $t\neq 0$ ). Für die Operationen gelten

{}{\frac {r}{s}}+{\frac {t}{u}}={\frac {ru+ts}{su}}\,

(auf einen Hauptnenner bringen) und

{}{\frac {r}{s}}\cdot {\frac {t}{u}}={\frac {rt}{su}}\,.

Mit diesen Operationen liegt in der Tat, wie man schnell überprüft, ein kommutativer Ring vor. Und zwar handelt es sich um einen Körper, denn für jedes Element

{}{\frac {r}{s}}\neq 0\,

ist ${}{\frac {s}{r}}$ das Inverse.

Der Integritätsbereich ${}R$ findet sich in ${}Q(R)$ über die Elemente ${}{\frac {r}{1}}$ wieder. Diese natürliche Inklusion

{}R\subseteq Q(R)\,

ist ein Ringhomomorphismus. Das Element ${}r={\frac {r}{1}}$ hat bei ${}r\neq 0$ das Inverse ${}{\frac {1}{r}}$ . Zwischen ${}R$ und ${}Q(R)$ gibt es keinen weiteren Körper. Ein solcher muss nämlich zu ${}r\neq 0$ das (eindeutig bestimmte) Inverse ${}{\frac {1}{r}}$ enthalten und dann aber auch alle Produkte ${}s{\frac {1}{r}}={\frac {s}{r}}$ .

Algebraische Erweiterungen

Definition

Es seien ${}R$ und ${}A$ kommutative Ringe und sei ${}R\rightarrow A$ ein fixierter Ringhomomorphismus. Dann nennt man ${}A$ eine ${}R$ -Algebra.

Wenn eine ${}R$ -Algebra vorliegt, so nennt man den zugehörigen Ringhomomorphismus auch den Strukturhomomorphismus. Das vielleicht wichtigste Beispiel einer ${}R$ -Algebra ist der Polynomring ${}R[X]$ . Ein ${}R$ -Algebrahomomorphismus von ${}R[X]$ in eine weitere ${}R$ -Algebra ${}B$ ist durch die Zuordnung ${}X\mapsto f$ gegeben, wobei ${}f\in B$ ein beliebiges fixiertes Element ist. Diese Abbildung nennt man den Einsetzungshomomorphismus. Er schickt ein Polynom ${}\sum _{i=0}^{n}r_{i}X^{i}$ , ${}r_{i}\in R$ , auf ${}\sum _{i=0}^{n}r_{i}f^{i}\in B$ , wobei die ${}r_{i}$ via dem Strukturhomomorphismus als Elemente in ${}B$ aufgefasst werden.

Definition

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}A$ eine kommutative ${}K$ - Algebra. Es sei ${}f\in A$ ein Element. Dann heißt ${}f$ algebraisch über ${}K$ , wenn es ein von ${}0$ verschiedenes Polynom ${}P\in K[X]$ mit ${}P(f)=0$ gibt.

Wenn ein Polynom ${}P\neq 0$ das algebraische Element ${}f\in A$ annulliert (also ${}P(f)=0$ ist), so kann man durch den Leitkoeffizienten dividieren und erhält dann auch ein normiertes annullierendes Polynom. Über einem Körper sind also die Begriffe ganz (siehe weiter unten) und algebraisch äquivalent.

Definition

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}A$ eine ${}K$ - Algebra. Es sei ${}f\in A$ ein über ${}K$ algebraisches Element. Dann heißt das normierte Polynom ${}P\in K[X]$ mit ${}P(f)=0$ , welches von minimalem Grad mit dieser Eigenschaft ist, das Minimalpolynom von ${}f$ .

Die über den rationalen Zahlen ${}\mathbb {Q}$ algebraischen komplexen Zahlen erhalten einen speziellen Namen.

Definition

Eine komplexe Zahl ${}z$ heißt algebraisch oder algebraische Zahl, wenn sie algebraisch über den rationalen Zahlen ${}\mathbb {Q}$ ist. Andernfalls heißt sie transzendent.

Bemerkung

Eine komplexe Zahl ${}z\in {\mathbb {C} }$ ist genau dann algebraisch, wenn es ein von ${}0$ verschiedenes Polynom ${}P$ mit rationalen Koeffizienten und mit ${}P(z)=0$ gibt. Durch Multiplikation mit einem Hauptnenner kann man für eine algebraische Zahl auch ein annullierendes Polynom mit ganzzahligen Koeffizienten finden (das allerdings nicht mehr normiert ist). Eine rationale Zahl ${}q$ ist trivialerweise algebraisch, da sie Nullstelle des linearen rationalen Polynoms ${}X-q$ ist. Weiterhin sind die reellen Zahlen ${}{\sqrt {q}}$ und ${}q^{1/n}$ für ${}q\in \mathbb {Q}$ algebraisch. Dagegen sind die Zahlen ${}e$ und ${}\pi$ nicht algebraisch. Diese Aussagen sind keineswegs selbstverständlich, die Transzendenz von ${}\pi$ wurde beispielsweise von Ferdinand von Lindemann 1882 gezeigt.

Definition

Es sei ${}L$ ein Körper und ${}K\subseteq L$ ein Unterkörper von ${}L$ . Dann heißt ${}L$ ein Erweiterungskörper (oder Oberkörper) von ${}K$ und die Inklusion ${}K\subseteq L$ heißt eine Körpererweiterung.

Eine ${}K$ -Algebra ${}A$ kann man stets in natürlicher Weise als Vektorraum über dem Körper ${}K$ auffassen (ist ${}K$ kein Körper, so ist eine ${}K$ -Algebra ein ${}K$ -Modul.) Die Skalarmultiplikation wird dabei einfach über den Strukturhomomorphismus erklärt. Durch den Vektorraumbegriff hat man sofort die folgenden Begriffe zur Verfügung.

Definition

Eine Körpererweiterung ${}K\subseteq L$ heißt endlich, wenn ${}L$ ein endlichdimensionaler Vektorraum über ${}K$ ist.

Definition

Es sei ${}K\subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung. Dann nennt man die ${}K$ - Vektorraumdimension von ${}L$ den Grad der Körpererweiterung.

Ein Element ${}f\in L$ einer Körpererweiterung

{}K\subseteq L\,

definiert durch Multiplikation eine ${}K$ -lineare Abbildung

\varphi _{f}\colon L\longrightarrow L,\,y\longmapsto fy.

Über diese Konstruktion werden Norm und Spur von ${}f$ erklärt.

Bemerkung

Zu einer linearen Abbildung

\varphi \colon V\longrightarrow V

eines endlichdimensionalen ${}K$ -Vektorraumes ${}V$ in sich wird die Determinante ${}\det(\varphi )$ und die Spur ${}S(\varphi )$ wie folgt berechnet. Man wählt eine ${}K$ - Basis ${}v_{1},\ldots ,v_{n}\in V$ und repräsentiert die lineare Abbildung bezüglich dieser Basis durch eine quadratische ${}n\times n$ -Matrix

{\begin{pmatrix}\lambda _{1,1}&\cdots &\lambda _{1,n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\\lambda _{n,1}&\cdots &\lambda _{n,n}\end{pmatrix}}

mit ${}\lambda _{ij}\in K$ und rechnet dann die Determinante aus. Es folgt aus dem Determinantenmultiplikationssatz, dass dies unabhängig von der Wahl der Basis ist. Die Spur ist durch

{}S(\varphi )=\lambda _{1,1}+\lambda _{2,2}+\cdots +\lambda _{n,n}\,

gegeben, und dies ist nach Aufgabe 15.12 ebenfalls unabhängig von der Wahl der Basis.

Definition

Es sei ${}K\subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung. Zu einem Element ${}f\in L$ nennt man die Determinante der ${}K$ - linearen Abbildung

\mu _{f}\colon L\longrightarrow L,\,y\longmapsto fy,

die Norm von ${}f$ . Sie wird mit ${}N(f)$ bezeichnet.

Definition

Es sei ${}K\subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung. Zu einem Element ${}f\in L$ nennt man die Spur der ${}K$ - linearen Abbildung

\mu _{f}\colon L\longrightarrow L,\,y\longmapsto fy,

die Spur von ${}f$ . Sie wird mit ${}\operatorname {Spur} {\left(f\right)}$ bezeichnet.

Lemma

Sei ${}K\subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung. Dann hat die Norm

N\colon L\longrightarrow K,\,f\longmapsto N(f),

folgende Eigenschaften:

Es ist ${}N(fg)=N(f)N(g)$ .
Für ${}f\in K$ ist ${}N(f)=f^{n}$ , wobei ${}n$ den Grad der Körpererweiterung bezeichne.
Es ist ${}N(f)=0$ genau dann, wenn ${}f=0$ ist.

Beweis

Dies folgt aus dem Determinantenmultiplikationssatz und Lemma 8.2 (Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)).
Zu einer beliebigen Basis von ${}L$ wird die Multiplikation mit einen Element ${}f\in K$ durch die Diagonalmatrix beschrieben, bei der jeder Diagonaleintrag ${}f$ ist. Die Determinante ist daher ${}f^{n}$ nach Lemma 16.4 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)).
Die eine Richtung ist klar, sei also ${}f\neq 0$ . Dann ist ${}f$ eine Einheit in ${}L$ und daher ist die Multiplikation mit ${}f$ eine bijektive ${}K$ -lineare Abbildung ${}L\rightarrow L$ , und deren Determinante ist ${}\neq 0$ nach Satz 16.11 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)).

\Box

Lemma

Sei ${}K\subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung vom Grad ${}n$ . Dann hat die Spur

S\colon L\longrightarrow K,\,f\longmapsto S(f),

folgende Eigenschaften:

Die Spur ist ${}K$ - linear, also ${}S(f+g)=S(f)+S(g)$ und ${}S(\lambda f)=\lambda S(f)$ für ${}\lambda \in K$ .
Für ${}f\in K$ ist ${}S(f)=nf$ .

Beweis

Dies folgt aus den Definitionen.

\Box

Eine Körpererweiterung ${}K\subseteq L$ heißt einfach, wenn sie von einem Element ${}f$ erzeugt wird. Das bedeutet, dass es außer ${}L$ keinen Körper zwischen ${}K$ und ${}L$ gibt, der ${}f$ enthält. Das Element ${}f$ nennt man dann auch ein primitives Element der Körpererweiterung. Ist ${}L$ endlich und einfach, so ist

{}L=K[f]\cong K[X]/(P)\,,

wobei ${}P$ das Minimalpolynom von ${}f$ ist.

Satz

Sei ${}K\subseteq L=K[f]$ eine einfache endliche Körpererweiterung vom Grad ${}n$ . Dann hat das Minimalpolynom ${}P$ von ${}f$ die Gestalt

{}P=X^{n}-S(f)X^{n-1}+\cdots +(-1)^{n}N(f)\,.

Beweis

Das Minimalpolynom und das charakteristische Polynom der durch ${}f$ definierten ${}K$ -linearen Multiplikationsabbildung

\mu _{f}\colon L\longrightarrow L,\,y\longmapsto fy,

haben beide den Grad ${}n$ . Nach dem Satz von Cayley-Hamilton annulliert das charakteristische Polynom die lineare Abbildung und ist somit ein Vielfaches des Minimalpolynoms, sodass sie übereinstimmen. Es sei bezüglich einer Basis ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ von ${}L$ diese lineare Abbildung ${}\mu _{f}$ durch die Matrix ${}{\left(\lambda _{ij}\right)}_{ij}$ gegeben. Dann ist das charakteristische Polynom gleich

{}\chi _{\mu _{f}}=\det {\begin{pmatrix}X-\lambda _{1,1}&\cdots &-\lambda _{1,n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\-\lambda _{n,1}&\cdots &X-\lambda _{n,n}\end{pmatrix}}=X^{n}+a_{n-1}X^{n-1}+\cdots +a_{1}X+a_{0}\,.

Zum Koeffizienten ${}a_{n-1}$ leisten (in der Leibniz-Formel zur Berechnung der Determinante) nur diejenigen Permutationen einen Beitrag, bei denen ${}(n-1)$ -mal die Variable ${}X$ vorkommt, und das ist nur bei der identischen Permutation (also der Diagonalen) der Fall. Multipliziert man die Diagonale distributiv aus, so ergibt sich ${}X^{n}-\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i,i}X^{n-1}+\ldots$ , sodass also ${}a_{n-1}=-S(f)$ gilt. Setzt man in der obigen Gleichung ${}X=0$ , so ergibt sich, dass ${}a_{0}$ die Determinante der negierten Matrix ist, woraus ${}a_{0}=(-1)^{n}N(f)$ folgt.

\Box

Definition

Es sei ${}K\subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung. Sie heißt separabel, wenn für jedes Element ${}x\in L$ das Minimalpolynom separabel ist, also in keinem Erweiterungskörper eine mehrfache Nullstelle besitzt.

In unserem Zusammenhang, wo wir uns für Körpererweiterungen von ${}\mathbb {Q}$ interessieren, also in Charakteristik ${}0$ sind, ist eine Körpererweiterung stets separabel (siehe Aufgabe 15.26), und wir haben den folgenden Satz vom primitiven Element zur Verfügung.