Laplaceräume/Einführung/Textabschnitt

Definition

Es sei ${}M$ eine endliche Menge. Dann nennt man die Wahrscheinlichkeitsdichte

$\lambda \colon M\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0},$

die jedem Element ${}x\in M$ den konstanten Wert ${}{\frac {1}{\#\left(M\right)}}$ zuweist, die Laplace-Dichte auf ${}M$. Die Menge ${}M$ versehen mit dieser Dichte heißt Laplace-Raum.

Bei einem Laplace-Raum sind alle Elementarereignisse gleichwahrscheinlich, deshalb spricht man auch von der Gleichverteilung. Das zugehörige Wahrscheinlichkeitsmaß, das auch Laplace-Maß genannt wird, ist besonders einfach, es ist

${}\mu (E)={\frac {\#\left(E\right)}{\#\left(M\right)}}\,,$

d.h., es wird einfach der relative Anteil von ${}E$ an ${}M$ gemessen. Insofern wird hier das Berechnen von Wahrscheinlichkeiten auf das Zählen von Teilmengen zurückgeführt. Bei Formulierungen wie „man wählt zufällig ein Element“ aus einer endlichen Menge ${}M$ setzt man ${}M$ als Laplace-Raum an.

Beispiel

Der Laplace-Raum zum einfachen Münzwurf besteht aus zwei Elementen, Kopf und Zahl, also

${}M=\{K,Z\}\,,$

und die Laplace-Dichte ist konstant gleich ${}{\frac {1}{2}}$, also

${}f(K)=f(Z)={\frac {1}{2}}\,.$

Beide Elementarereignisse sind also gleichwahrscheinlich mit Wahrscheinlichkeit ${}{\frac {1}{2}}$. Es gibt nur vier Ereignisse, nämlich ${}\emptyset ,\,\{K\},\,\{Z\}$ und die Gesamtmenge ${}\{K,Z\}$, die leere Menge hat Wahrscheinlichkeit ${}0$, die Gesamtmenge hat Wahrscheinlichkeit ${}1$.

Ein Münzwurf ist zugleich eine Bernoulli-Verteilung und ein Laplace-Experiment.

Beispiel

Der Laplace-Raum zu einem einfachen Würfelwurf mit einem fairen Würfel besteht aus sechs Elementen, die den Seiten des Würfels entsprechen, und werden üblicherweise mit ${}1,2,3,4,5,6$ durchnummeriert, es ist also

${}M=\{1,2,3,4,5,6\}\,.$

Die Laplace-Dichte ist konstant gleich ${}{\frac {1}{6}}$, also

${}f(i)={\frac {1}{6}}\,$

für alle ${}i$. Die Elementarereignisse sind also gleichwahrscheinlich mit Wahrscheinlichkeit ${}{\frac {1}{6}}$. Es gibt

${}2^{6}=64\,,$

also ${}64$ Ereignisse. Beispielsweise sind

$\emptyset ,\,\{2\},\,\{6\},\,\{2,5\},\,\{1,2,3\},\,{\left\{x\in M\mid x{\text{ ist gerade}}\right\}},\,{\left\{x\in M\mid x\geq 5\right\}}$

Ereignisse. Ihre Wahrscheinlichkeiten sind einfach zu berechnen, beispielsweise ist

${}\mu (\{2,5\})={\frac {\#\left(\{2,5\}\right)}{\#\left(\{1,2,3,4,5,6\}\right)}}={\frac {2}{6}}={\frac {1}{3}}\,.$

Beispiel

In Beispiel haben wir die Anzahl der Möglichkeiten berechnet, ${}6$ Kugeln aus ${}49$ Kugeln zu ziehen, und zwar gibt es

${}{\binom {49}{6}}={\frac {49\cdot 48\cdot 47\cdot 46\cdot 45\cdot 44}{6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}}=13983816\,$

Möglichkeiten, da es so viele sechselementige Teilmengen gibt. Diese haben alle die gleiche Wahrscheinlichkeit, somit liegt ein Laplace-Raum vor, wobei die einzelnen Elementarereignisse, also eine bestimmte Ziehung, die Wahrscheinlichkeit

${\frac {1}{13983816}}$

besitzen.

Wenn man sich für die Wahrscheinlichkeit interessiert, dass die ${}11$ gezogen wird, so muss man alle sechselementigen Teilmengen zählen, in denen die ${}11$ vorkommt. Da die ${}11$ festgelegt ist, geht es um die Anzahl der fünfelementigen Teilmengen der Menge ${}\{1,2,\ldots ,49\}\setminus \{11\}$, diese Anzahl ist durch ${}{\binom {48}{5}}$ gegeben. Die Wahrscheinlichkeit ist also

${}{\frac {\binom {48}{5}}{\binom {49}{6}}}={\frac {\,\,{\frac {48\cdot 47\cdot 46\cdot 45\cdot 44}{5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}}\,\,}{\,\,{\frac {49\cdot 48\cdot 47\cdot 46\cdot 45\cdot 44}{6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}}\,\,}}={\frac {6}{49}}\,,$

was man sich auch so klar machen kann: Die Wahrscheinlichkeit, dass die zuerst gezogene Zahl eine ${}11$ ist, beträgt ${}{\frac {1}{49}}$, die Wahrscheinlichkeit, dass die als zweite gezogene Zahl eine ${}11$ ist, beträgt ebenfalls ${}{\frac {1}{49}}$, u.s.w., und aufsummieren der disjunkten Ereignisse liefert auch ${}{\frac {6}{49}}$.

Wenn man sich für die Wahrscheinlichkeit interessiert, dass sowohl die ${}11$ als auch die ${}37$ gezogen werden, so muss man alle sechselementigen Teilmengen zählen, in denen die ${}11$ und die ${}37$ vorkommen. Dies ergibt die Wahrscheinlichkeit

${}{\frac {\binom {47}{4}}{\binom {49}{6}}}={\frac {\,\,{\frac {47\cdot 46\cdot 45\cdot 44}{4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}}\,\,}{\,\,{\frac {49\cdot 48\cdot 47\cdot 46\cdot 45\cdot 44}{6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}}\,\,}}={\frac {6\cdot 5}{49\cdot 48}}={\frac {5}{49\cdot 8}}={\frac {5}{392}}\,.$

Bemerkung  

Die Ziehung der Zahlen ${}1,2,3,4,5,6$ beim Zahlenlotto ist gleichwahrscheinlich wie die Ziehung der Zahlen ${}3,11,19,28,33,45$. Dennoch scheint das zweite Ergebnis typischer als das erste zu sein. Das ist aber allein eine psychologisch bedingte Sichtweise. Bei einem zufälligen Experiment erwartet man einen chaotischen Ausgang ohne irgendeine Regelmäßigkeit, man erwartet nicht, im Ergebnis ein Muster zu erkennen. Man muss auch die Formulierung ernst nehmen. Es wird gesagt, dass die Ziehung von ${}1,2,3,4,5,6$ genau so wahrscheinlich ist wie die Ziehung von genau den sechs konkreten Zahlen ${}3,11,19,28,33,45$. Es wird nicht gesagt, dass die Ziehung von (etwas wie) ${}1,2,3,4,5,6$ gleichwahrscheinlich ist mit der Ziehung „von etwas wie“ ${}3,11,19,28,33,45$. Es gibt natürlich nur ${}44$ mögliche Ziehungen (von $1,2,3,4,5,6$ über $2,3,4,5,6,7$ bis $44,45,46,47,48,49$), bei denen sechs hintereinanderliegende Zahlen gezogen werden, dieses Ereignis ist also sehr unwahrscheinlich.

Es ist ziemlich schwer, genau zu charakterisieren, was man unter „etwas wie ${}3,11,19,28,33,45$“ verstehen soll, oder was man unter einer typischen „chaotischen musterfreien Ziehung“. Betrachtet man ${}3,11,12,28,33,45$ ebenfalls als musterfrei, oder hält man das für ein außergewöhnliches Ergebnis, da immerhin zwei aufeinanderfolgende Zahlen gezogen wurden? Es ist jedenfalls erstaunlich, wie oft man im Zufälligen doch noch eine kleine Beobachtung des scheinbar Besonderen machen kann. In ${}3,11,19,28,33,45$ ist beispielsweise die Differenz der ersten drei Zahlen konstant gleich ${}8$.

Beispiel

Beim Skat wird mit ${}32$ Karten gespielt, wobei drei Spieler je zehn Karten bekommen und zwei Karten in den „Skat“ gehen. Unter den Karten spielen die vier Buben eine besondere Rolle. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass Spieler ${}A$ sämtliche Buben bekommt? Die Anzahl der möglichen „Hände“, die Spieler ${}A$ bekommen kann, beträgt ${}{\binom {32}{10}}$. Die Anzahl der Hände, die alle vier Buben umfassen, sind ${}{\binom {28}{6}}$. Daher ist die Wahrscheinlichkeit, alle Buben zu bekommen, gleich

${}{\frac {\binom {28}{6}}{\binom {32}{10}}}={\frac {\,\,{\frac {28\cdot 27\cdots 23}{6\cdot 5\cdots 1}}\,\,}{\,\,{\frac {32\cdot 31\cdots 23}{10\cdot 9\cdots 1}}\,\,}}={\frac {10\cdot 9\cdot 8\cdot 7}{32\cdot 31\cdot 30\cdot 29}}={\frac {3\cdot 7}{4\cdot 31\cdot 29}}={\frac {21}{3596}}\,.$

Das sind ungefähr ${}0{,}58\,\%$.

Beispiel

Mit Fakt lässt sich häufig die Wahrscheinlichkeit einfacher berechnen, insbesondere die unscheinbare Komplementregel ist hilfreich. Wenn man beispielsweise die Wahrscheinlichkeit wissen möchte, dass in einer Lottoziehung die gezogenen Zahlen nicht alle in einer Reihe liegen, so könnte man ins Grübeln kommen, wie man diese Ereignismenge geschickt abzählt. Dagegen ist das Komplement einfach zu erfassen, davon gibt es nämlich ${}44$ Stück und die Wahrscheinlichkeit davon ist somit ${}{\frac {44}{13983816}}$. Die komplementäre Wahrscheinlichkeit ist also

${}1-{\frac {44}{13983816}}={\frac {13983816-44}{13983816}}={\frac {13983772}{13983816}}\,.$