Linear reduktive Gruppe/Algebraische (Ko)Operation/Endlich erzeugt/Fakt/Beweis
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Beweis
Es sei ein -Algebraerzeugendensystem von . Nach Fakt gibt es einen endlichdimensionalen -Untervektorraum , der -invariant ist. Es sei der zum Vektorraum gehörende Polynomring, auf dem linear operiert. Es ist
![{\displaystyle {}K[V]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d5bd6ae2aaea8977b862afaa533709ac8f1b9696)
![{\displaystyle p\colon K[V]\longrightarrow R}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f88f9c9aa37ded4cad89c2d3dd020a9e9f9b9560)
ein surjektiver -Algebrahomomorphismus, der mit den Operationen von verträglich ist. Zu einem invarianten Element gibt es ein , das auf abbildet. Wiederum nach Fakt gibt es einen endlichdimensionalen -invarianten Untervektorraum mit . Dann ist ebenfalls -invariant und nach Aufgabe, angewandt auf
![{\displaystyle {}h\in K[V]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ef5fb5eb57840fafb6c83339db235a8cf687f39)
![{\displaystyle {}U\subseteq K[V]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/46740859e62fe0e8261067c531a8e43a5537a385)
gibt es auch ein -invariantes , das auf abbildet. Es ist also
![{\displaystyle {}h'\in K[V]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf95c35e5d9edc9c4740614c46ef3fcf1cfbd8dc)
![{\displaystyle K[V]^{G}\longrightarrow R^{G}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9a417167c04a869d0a5865d3da13ee5f45beca3)
ebenfalls surjektiv. Nach Fakt ist und somit endlich erzeugt.
![{\displaystyle {}K[V]^{G}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f7f5fc82068375a8a03561f8bc59bab7d248716)
