Linear reduktive Gruppe/Algebraische (Ko)Operation/Endlich erzeugt/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei ${}f_{1},\ldots ,f_{n}$ ein ${}K$-Algebraerzeugendensystem von ${}R$. Nach Fakt gibt es einen endlichdimensionalen ${}K$-Untervektorraum  ${}V\subseteq R$,  der ${}G$-invariant ist und die ${}f_{i}$ enthält. Es sei ${}K[V]$ der zum Vektorraum ${}V$ gehörende Polynomring, auf dem ${}G$ linear operiert. Es ist

$p\colon K[V]\longrightarrow R$

ein surjektiver ${}K$-Algebrahomomorphismus, der mit den Operationen von ${}G$ verträglich ist. Zu einem invarianten Element  ${}f\in R^{G}$  gibt es ein  ${}h\in K[V]$,  das auf ${}f$ abbildet. Wiederum nach Fakt gibt es einen endlichdimensionalen ${}G$-invarianten Untervektorraum  ${}U\subseteq K[V]$  mit  ${}h\in U$.  Dann ist  ${}f\in p(U)$  ebenfalls ${}G$-invariant und nach Aufgabe, angewandt auf

$p{|}_{U}\colon U\longrightarrow p(U),$

gibt es auch ein ${}G$-invariantes  ${}h'\in K[V]$,  das auf ${}f$ abbildet. Es ist also

$K[V]^{G}\longrightarrow R^{G}$

ebenfalls surjektiv. Nach Fakt ist ${}K[V]^{G}$ und somit ${}R^{G}$ endlich erzeugt.

Zur bewiesenen Aussage