Beweis
Es sei 
ein
-Algebraerzeugendensystem
von 
. Nach
Fakt
gibt es einen endlichdimensionalen
-Untervektorraum
, der
-invariant
ist. Es sei ![{\displaystyle {}K[V]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d5bd6ae2aaea8977b862afaa533709ac8f1b9696)
der zum Vektorraum 
gehörende Polynomring, auf dem linear operiert. Es ist
-
![{\displaystyle p\colon K[V]\longrightarrow R}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f88f9c9aa37ded4cad89c2d3dd020a9e9f9b9560)
ein surjektiver
-Algebrahomomorphismus,
der mit den Operationen von
verträglich
ist. Zu einem invarianten Element 
gibt es ein ![{\displaystyle {}h\in K[V]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ef5fb5eb57840fafb6c83339db235a8cf687f39)
, das auf 
abbildet. Wiederum nach
Fakt
gibt es einen endlichdimensionalen -invarianten Untervektorraum ![{\displaystyle {}U\subseteq K[V]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/46740859e62fe0e8261067c531a8e43a5537a385)
mit 
. Dann ist 
ebenfalls -invariant und nach
Aufgabe,
angewandt auf
-
gibt es auch ein -invariantes ![{\displaystyle {}h'\in K[V]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf95c35e5d9edc9c4740614c46ef3fcf1cfbd8dc)
, das auf abbildet. Es ist also
-
![{\displaystyle K[V]^{G}\longrightarrow R^{G}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9a417167c04a869d0a5865d3da13ee5f45beca3)
ebenfalls surjektiv. Nach
Fakt
ist ![{\displaystyle {}K[V]^{G}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f7f5fc82068375a8a03561f8bc59bab7d248716)
und somit 
endlich erzeugt.
