Lineare Abbildung/Bild und Urbild/Untervektorräume/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ und ${}W$ seien ${}K$-Vektorräume und

$\varphi \colon V\longrightarrow W$

sei eine ${}K$-lineare Abbildung. Zeige, dass die folgenden Aussagen gelten.

1. Für einen Untervektorraum ${}S\subseteq V$ ist auch das Bild ${}\varphi (S)$ ein Untervektorraum von ${}W$.
2. Insbesondere ist das Bild ${}\operatorname {bild} \varphi =\varphi (V)$ der Abbildung ein Untervektorraum von ${}W$.
3. Für einen Unterraum ${}T\subseteq W$ ist das Urbild ${}\varphi ^{-1}(T)$ ein Untervektorraum von ${}V$.
4. Insbesondere ist ${}\varphi ^{-1}(0)$ ein Untervektorraum von ${}V$.

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