Lineare Abbildung/Moduln/Bild und Urbild/Untermoduln/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring, ${}M$ und ${}N$ zwei ${}R$-Moduln und sei

$\varphi \colon M\longrightarrow N$

ein Modulhomomorphismus. Zeige die folgenden Aussagen.

1. Für einen ${}R$-Untermodul  ${}S\subseteq M$  ist auch das Bild ${}\varphi (S)$ ein Untermodul von ${}N$.
2. Insbesondere ist das Bild  ${}\operatorname {bild} \varphi =\varphi (M)$  der Abbildung ein Untermodul von ${}N$.
3. Für einen Untermodul  ${}T\subseteq N$  ist das Urbild ${}\varphi ^{-1}(T)$ ein Untermodul von ${}M$.
4. Insbesondere ist der Kern ${}\varphi ^{-1}(0)$ ein Untermodul von ${}M$.

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