Lineare Abbildung/Moduln/Bild und Urbild/Untermoduln/Fakt/Beweis/Aufgabe

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Sei ein kommutativer Ring, und zwei -Moduln und sei

ein Modulhomomorphismus. Zeige die folgenden Aussagen.

  1. Für einen -Untermodul ist auch das Bild ein Untermodul von .
  2. Insbesondere ist das Bild der Abbildung ein Untermodul von .
  3. Für einen Untermodul ist das Urbild ein Untermodul von .
  4. Insbesondere ist der Kern ein Untermodul von .