Lineare Abbildungen/Matrizen/Beziehungen/Textabschnitt

Eine lineare Abbildung

\varphi \colon K^{n}\longrightarrow K^{m}

ist nach Fakt durch die Bilder ${}\varphi (e_{j})$ , ${}j=1,\ldots ,n$ , der Standardvektoren eindeutig festgelegt, und jedes ${}\varphi (e_{j})$ ist eine Linearkombination

{}\varphi (e_{j})=\sum _{i=1}^{m}a_{ij}e_{i}\,

und damit durch die Elemente ${}a_{ij}$ eindeutig festgelegt. Insgesamt ist also eine solche lineare Abbildung durch ${}mn$ Elemente ${}a_{ij}$ , ${}1\leq i\leq m$ , ${}1\leq j\leq n$ , aus dem Körper festgelegt. Einen solchen Datensatz kann man wieder als eine Matrix schreiben. Nach dem Festlegungssatz gilt dies, sobald sowohl im Definitionsraum als auch im Zielraum der linearen Abbildung eine Basis fixiert ist.

Definition

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}V$ ein ${}n$ -dimensionaler Vektorraum mit einer Basis ${}{\mathfrak {v}}=v_{1},\ldots ,v_{n}$ und sei ${}W$ ein ${}m$ -dimensionaler Vektorraum mit einer Basis ${}{\mathfrak {w}}=w_{1},\ldots ,w_{m}$ .

Zu einer linearen Abbildung

\varphi \colon V\longrightarrow W

heißt die ${}m\times n$ -Matrix

{}M=M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}(\varphi )=(a_{ij})_{ij}\,,

wobei ${}a_{ij}$ die ${}i$ -te Koordinate von ${}\varphi (v_{j})$ bezüglich der Basis ${}{\mathfrak {w}}$ ist, die beschreibende Matrix zu ${}\varphi$ bezüglich der Basen.

Zu einer Matrix ${}M=(a_{ij})_{ij}\in \operatorname {Mat} _{m\times n}(K)$ heißt die durch

v_{j}\longmapsto \sum _{i=1}^{m}a_{ij}w_{i}

gemäß Fakt definierte lineare Abbildung ${}\varphi _{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}(M)$ die durch ${}M$ festgelegte lineare Abbildung.

Bei einer linearen Abbildung ${}\varphi \colon K^{n}\rightarrow K^{m}$ wird, wenn nichts anderes gesagt wird, auf die Standardbasen Bezug genommen. Bei einer linearen Abbildung ${}\varphi \colon V\rightarrow V$ eines Vektorraumes in sich selbst, was man einen Endomorphismus nennt, nimmt man häufig vorne und hinten die gleiche Basis. Die Identität auf einem Vektorraum der Dimension ${}n$ wird bezüglich einer beliebigen Basis durch die Einheitsmatrix beschrieben.

Satz

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}V$ ein ${}n$ -dimensionaler Vektorraum mit einer Basis ${}{\mathfrak {v}}=v_{1},\ldots ,v_{n}$ und sei ${}W$ ein ${}m$ -dimensionaler Vektorraum mit einer Basis ${}{\mathfrak {w}}=w_{1},\ldots ,w_{m}$ .

Dann sind die in Definition festgelegten Abbildungen

$\varphi \longmapsto M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}(\varphi ){\text{ und }}M\longmapsto \varphi _{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}(M)$

invers zueinander.

Beweis

Dieser Beweis wurde in der Vorlesung nicht vorgeführt.

Wir zeigen, dass beide Hintereinanderschaltungen die Identität sind. Wir starten mit einer Matrix ${}M=(a_{ij})_{ij}$ und betrachten die Matrix

M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}(\varphi _{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}(M)).

Zwei Matrizen sind gleich, wenn für jedes Indexpaar

{}(i,j)

die Einträge übereinstimmen. Es ist

{}{\begin{aligned}(M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}(\varphi _{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}(M)))_{ij}&=i-{\text{te Koordinate von }}(\varphi _{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}(M))(v_{j})\\&=i-{\text{te Koordinate von }}\sum _{i=1}^{m}a_{ij}w_{i}\\&=a_{ij}.\end{aligned}}

Es sei nun ${}\varphi$ eine lineare Abbildung, und betrachten wir

\varphi _{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}(M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}(\varphi )).

Zwei lineare Abbildungen stimmen nach Fakt überein, wenn man zeigen kann, dass sie auf der Basis ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ übereinstimmen. Es ist

{}(\varphi _{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}(M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}(\varphi )))(v_{j})=\sum _{i=1}^{m}(M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}(\varphi ))_{ij}\,w_{i}\,.

Dabei ist nach Definition der Koeffizient ${}(M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}(\varphi ))_{ij}$ die ${}i$ -te Koordinate von ${}\varphi (v_{j})$ bezüglich der Basis ${}w_{1},\ldots ,w_{m}$ . Damit ist diese Summe gleich ${}\varphi (v_{j})$ .