Lokal kompakter Raum/Funktionenmenge/Arzela-Ascoli/Kompakt konvergente Teilfolge/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei ${}X$ ein lokal kompakter topologischer Raum, der eine kompakte Ausschöpfung besitze, und sei ${}T\subseteq C(X,{\mathbb {K} })$, versehen mit der Topologie der kompakten Konvergenz. Es seien die beiden Eigenschaften

1. ${}T$ ist gleichgradig stetig,
2. Für jeden Punkt ${}x\in X$ ist das Auswertungsbild ${}{\left\{f(x)\mid f\in T\right\}}$ beschränkt,

erfüllt. Zeige, dass jede Folge in ${}T$ eine kompakt konvergente Teilfolge besitzt.

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