Lokale kommutative noethersche Ringe/Minimale Erzeugendenzahl des maximalen Ideals/Einführender Textabschnitt

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Definition  

Es sei ein lokaler kommutativer noetherscher Ring mit maximalem Ideal . Dann heißt die minimale Idealerzeugendenzahl für die Einbettungsdimension von , geschrieben

Ein eindimensionaler lokaler Ring ist genau dann ein diskreter Bewertungsring, wenn seine Einbettunsdimension ist. Wir erwähnen, dass die Einbettungsdimension immer zumindest so groß ist wie die Dimension eines lokalen Ringes. Die Ringe, bei denen Gleichheit gilt, spielen eine besondere Rolle und heißen reguläre Ringe.

Wir sind der Einbettungsdimension schon im Fall von monomialen Kurven begegnet, und müssen zeigen, dass die dortige Definition mit der neuen verträglich ist.



Lemma  

Sei ein Körper und ein numerisches Monoid, das von teilerfremden natürlichen Zahlen erzeugt sei. Es sei der zugehörige Monoidring mit dem maximalen Ideal und der Lokalisierung .

Dann ist die numerische Einbettungsdimension von (bzw. ) gleich der Einbettungsdimension des lokalen Rings .

Beweis  

Es ist und . Der Restklassenraum ist daher

Dessen -Dimension ist also gleich der Anzahl der Elemente aus . Nach Fakt ist das minimale Monoiderzeugendensystem von , so dass die -Dimension gleich der numerischen Einbettungsdimension ist.

Andererseits ist nach Fakt die -Dimension von gleich der Einbettungsdimension des zugehörigen lokalen Rings .