Lokaler Ring/Regulär/Homologische Charakterisierung/Fakt/Beweis

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Beweis

. Wir führen Induktion über die Dimension von . Wenn ist, so liegt ein Körper vor, und ein endlicher -Modul ist einfach ein endlichdimensionaler Vektorraum. Diese besitzen eine Basis und sind somit frei, besitzen also die projektive Dimension . Sei also nun und die Aussage für reguläre Ringe kleinerer Dimension schon bewiesen. Wir nehmen ein , was es nach dem Lemma von Nakayama geben muss. Nach Fakt ist der Restklassenring ebenfalls regulär und hat kleinere Dimension. Es sei nun ein endlicher -Modul. Wenn frei ist, so ist die Aussage klar. Es sei nicht frei (insbesondere nicht ) und

eine minimale freie Auflösung. Es ist zu zeigen, dass diese endlich ist. Es sei der Kern der letzten Abbildung. Wir schneiden die Auflösung ab und erhalten eine minimale freie Auflösung

Da nicht frei ist, ist nicht der Nullmodul.

Da nach Fakt ein Nichtnullteiler in ist und ein Untermodul eines freien Moduls ist, folgt, dass auch ein Nichtnullteiler für ist. Wir können somit Fakt anwenden und erhalten einen exakten Komplex

Dieser ist eine freie Auflösung des -Moduls . Er ist minimal: Der Rang von ist die minimale Erzeugendenzahl von über und diese ist die -Dimension von , die wiederum die minimale Erzeugendenzahl von über ist. Entsprechend muss man für argumentieren. Nach Induktonsvoraussetzung ist

für ein . Wegen muss dann aber schon sein.
. Das ist eine Einschränkung.
. Es sei

eine freie Auflösung des Restklassenkörpers. Wir zeigen durch Induktion über , dass regulär ist. Bei wird der exakte Komplex zu

d.h. is isomorph zu seinem Restekörper und somit selbst ein Körper, also insbesondere regulär. Sei nun

und die Aussage für kleinere bewiesen. Wir betrachten das linke Ende der Auflösung

wobei nicht ist und frei. Das Bild liegt in wegen der Minimalität und wegen . Wir behaupten, dass kein assoziiertes Primideal von ist. Andernfalls wäre

für ein , , und insbesondere wäre

Dann wäre auch und somit , was aber bei einem freien Modul nicht sein kann. Dies bedeutet nach Fakt, dass einen Nichtnullteiler enthalten muss. Daher ist die Dimension von zumindest . Daher ist die Inklusion

echt und nach Fakt gibt es ein  mit . Insbesondere ist ein Nichtnullteiler. Ähnlich wie im Beweis von (1) nach (2) ist dann auch der Komplex (der Kern der nullten Abbildung ist hier das maximale Ideal)

exakt. Da nicht der Restklassenkörper von ist, können wir nicht unmittelbar die Induktionsvoraussetzung anwenden. Unter dem -Modulhomomorphismus

wird genau auf abgebildet, wir haben also eine injektive Abbildung

Wegen können wir zu einem minimalen Erzeugendensystem von ergänzen. Wir behaupten, dass es einen wohldefinierten Modulhomomorphismus

gibt, der linksinvers zur obigen Einbettung ist. Dabei wird ein Element

auf abgebildet. Zum Nachweis der Wohldefiniertheit sei

eine weitere Darstellung. Dann ist

in und das bedeutet

mit . Wäre , so wäre dies eine Einheit und damit auch . Doch dann könnte man als Linearkombination der ausdrücken im Widerspruch zur Minimalität. Es gibt also eine direkte Zerlegung

mit einem weiteren - (oder -)Modul . Nach Fakt besitzen in einer solchen Situation auch die Summanden eine endliche projektive Dimension, die nicht größer als die projektive Dimension der Summe ist. Somit besitzt also der Restklassenkörper eine endliche projektive Dimension über . Nach Induktionsvoraussetzung ist somit regulär, und seine Dimension ist nach dem Hauptidealsatz um kleiner als die von . Dies gilt auch für die Einbettungsdimension. Somit ist regulär.

Zur bewiesenen Aussage