Maß- und Integrationstheorie/Gemischte Satzabfrage/2/Aufgabe/Lösung

1. Es sei ${}M$ eine Menge. Für ein Mengensystem ${}{\mathcal {A}}$ auf ${}M$ sind äquivalent.
   1. ${}{\mathcal {A}}$ ist ein durchschnittsstabiles Dynkin-System
   2. ${}{\mathcal {A}}$ ist eine ${}\sigma$-Algebra.
2. Es sei ${}(M,{\mathcal {A}},\mu )$ ein ${}\sigma$-endlicher Maßraum und sei

   $f_{n}\colon M\longrightarrow {\bar {\mathbb {R} }}_{\geq 0}$

   eine wachsende Folge von nichtnegativen messbaren numerischen Funktionen mit der Grenzfunktion ${}f$. Dann gilt

   ${}\int _{M}f\,d\mu =\lim _{n\rightarrow \infty }\int _{M}f_{n}\,d\mu \,.$

3. Es sei ${}X$ ein kompakter topologischer Raum und ${}T\subseteq C(X,\mathbb {R} )$ eine ${}\mathbb {R}$-Unteralgebra, die die Punkte aus ${}X$ trennt. Dann ist

   ${}{\overline {T}}=C(X,\mathbb {R} )\,.$

   D.h. jede stetige Funktion ${}f\colon X\rightarrow \mathbb {R}$

   lässt sich beliebig gut durch Funktionen aus ${}T$ approximieren.

Zur gelösten Aufgabe