Mannigfaltigkeit/Vektorbündel/R/Vertikale Ableitung/Einführung/Textabschnitt

Definition

Es sei ${}X$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und ${}E$ ein differenzierbares Vektorbündel auf ${}X$, das mit einem Zusammenhang versehen sei. Unter der vertikalen Ableitung ${}\nabla$ versteht man die Abbildung

$\nabla \colon C^{1}(E)\longrightarrow C^{0}(E\otimes T^{*}X),\,s\longmapsto \nabla (s)=\pi _{\text{vert}}\circ T(s).$

Zu einem differenzierbaren Schnitt ${}s$ in ${}E$ (über ${}X$ oder einer beliebigen offenen Teilmenge ${}U\subseteq X$) wird also die Abbildung

$TX{\stackrel {T(s)}{\longrightarrow }}TE{\stackrel {\pi _{\text{vert}}}{\longrightarrow }}V\cong p^{*}E\longrightarrow E$

zugeordnet, wobei wir ${}\operatorname {Hom} (TX,E)\cong E\otimes T^{*}X$ auffassen.

Wenn zusätzlich ein Vektorfeld ${}F$ auf ${}X$, also ein Schnitt ${}F\colon X\rightarrow TX$ im Tangentialbündel ${}TX$ gegeben ist, so erhält man die Abbildung

$\nabla _{F}\colon C^{1}(E)\longrightarrow C^{0}(E),\,s\longmapsto \nabla _{F}(s)=\nabla (s)\circ F,$

die man die vertikale Ableitung in Richtung ${}F$ nennt. Man beachte, dass dabei die Abhängigkeit vom Vektorfeld ${}F$ nur punktweise ist, die Abhängigkeit von ${}s$ aber infinitesimal ist, da die Tangentialabbildung ${}T(s)$ eingeht.

Lemma

Es sei ${}X$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und ${}E$ ein differenzierbares Vektorbündel auf ${}X$, das mit einem Zusammenhang versehen sei. Es bezeichne

$\nabla _{F}\colon C^{1}(E)\longrightarrow C^{0}(E)$

den zugehörigen Ableitungsoperator zu einem Vektorfeld ${}F$. Dann gelten die folgenden Eigenschaften.

1. ${}{\left(\nabla _{F}(s)\right)}(P)$ hängt nur von ${}F(P)$ (und ${}s$ ab).
2. Es ist

   ${}\nabla _{g_{1}F_{1}+g_{2}F_{2}}=g_{1}\nabla _{F_{1}}+g_{2}\nabla _{F_{2}}\,$

   für Vektorfelder ${}F_{1},F_{2}$ und Funktionen ${}g_{1},g_{2}\colon X\rightarrow \mathbb {R}$.

Beweis

1. Zu einem fixierten Punkt ${}P\in X$ und einem fixierten Schnitt ${}s\in C^{1}(U,E)$ zu einer offenen Menge ${}P\in U\subseteq X$ ist

   ${}\nabla _{F}(s)(P)=(\pi _{\text{vert}}\circ T_{P}(s))(F(P))\,.$

2. Die Tangentialabbildung und die vertikale Projektion sind linear. Wegen (1) ist die Abhängigkeit von ${}F$ linear und auch mit der Multiplikation von Funktionen verträglich.

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