Mathematik 1/Gemischte Satzabfrage/9/Aufgabe/Lösung

1. Es sei $K$ ein Körper, $V$ und $W$ seien $K$-Vektorräume und

   $\phi :V⟶W$

   sei eine $K$-lineare Abbildung und $V$ sei endlichdimensional.

   Dann gilt

   ${\dim }_K\left(V\right)={\dim }_K(\mathrm{kern}\phi )+{\dim }_K(\mathrm{bild}\phi ).$

2. Es sei

   $\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_k$

   eine Reihe von reellen Zahlen. Es gebe eine reelle Zahl $q$ mit  $0\le q<1$  und ein $k_0$

   $|\frac{a_{k+1}}{a_k}|\le q$

   für alle  $k\ge k_0$ (insbesondere sei $a_k\ne 0$ für $k\ge k_0$).

   Dann konvergiert die Reihe $\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_k$ absolut.

3. Es seien  $a\le b$  reelle Zahlen und sei $f:[a,b]\to ℝ$ eine stetige Funktion. Es sei  $u\in ℝ$  eine reelle Zahl zwischen $f(a)$ und $f(b)$.

   Dann gibt es ein  $x\in [a,b]$  mit  $f(x)=u$. 

4. Es sei $I$ ein reelles Intervall und sei

   $f:I⟶ℝ$

   eine stetige Funktion. Es sei  $a\in I$  und es sei

   $F(x):={\int }_a^{x}f(t)dt$

   die zugehörige Integralfunktion.

   Dann ist $F$ differenzierbar und es gilt

   $F^{\prime }(x)=f(x)$

   für alle  $x\in I$. 

Zur gelösten Aufgabe