Mathematik 1/Gemischte Satzabfrage/9/Aufgabe/Lösung

1. Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ und ${}W$ seien ${}K$-Vektorräume und

   $\varphi \colon V\longrightarrow W$

   sei eine ${}K$-lineare Abbildung und ${}V$ sei endlichdimensional.

   Dann gilt

   ${}\dim _{K}{\left(V\right)}=\dim _{K}{\left(\operatorname {kern} \varphi \right)}+\dim _{K}{\left(\operatorname {bild} \varphi \right)}\,.$

2. Es sei

   $\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}$

   eine Reihe von reellen Zahlen. Es gebe eine reelle Zahl ${}q$ mit ${}0\leq q<1$ und ein ${}k_{0}$

   ${}\vert {\frac {a_{k+1}}{a_{k}}}\vert \leq q\,$

   für alle ${}k\geq k_{0}$(insbesondere sei ${}a_{k}\neq 0$ für ${}k\geq k_{0}$).

   Dann konvergiert die Reihe ${}\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}$ absolut.

3. Es seien ${}a\leq b$ reelle Zahlen und sei ${}f\colon [a,b]\rightarrow \mathbb {R}$ eine stetige Funktion. Es sei ${}u\in \mathbb {R}$ eine reelle Zahl zwischen ${}f(a)$ und ${}f(b)$.

   Dann gibt es ein ${}x\in [a,b]$ mit ${}f(x)=u$.

4. Es sei ${}I$ ein reelles Intervall und sei

   $f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

   eine stetige Funktion. Es sei ${}a\in I$ und es sei

   ${}F(x):=\int _{a}^{x}f(t)\,dt\,$

   die zugehörige Integralfunktion.

   Dann ist ${}F$ differenzierbar und es gilt

   ${}F'(x)=f(x)\,$

   für alle ${}x\in I$.

Zur gelösten Aufgabe