Wir wollen für die Funktion
-
und das
Einheitsintervall
bestimmen, für welche
Unterteilungspunkte
das
Treppenintegral
der zugehörigen
(
-stufigen)
unteren Treppenfunktion
maximal wird. Das Treppenintegral wird durch die Funktion
![{\displaystyle {}{\begin{aligned}f(x_{1},\ldots ,x_{n})&=x_{1}(x_{2}-x_{1})+x_{2}(x_{3}-x_{2})+\cdots +x_{n-1}(x_{n}-x_{n-1})+x_{n}(1-x_{n})\\&=\sum _{i=1}^{n-1}x_{i}x_{i+1}+x_{n}-\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4454c95dc91966787e89283789b7820507506731)
beschrieben. Die
partiellen Ableitungen
dieser Funktion sind
-
![{\displaystyle {}{\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}=x_{2}-2x_{1}\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b02e069b37fc45334b401f00f6d0593939136274)
-
![{\displaystyle {}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}=x_{i-1}+x_{i+1}-2x_{i}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c4cedc189221b64bc51906d1d02789cc6cdd986c)
für
und
-
![{\displaystyle {}{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}=x_{n-1}+1-2x_{n}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2772023e12e6099686345a9b869bd7b4ce56a15)
Wir bestimmen die
kritischen Punkte,
indem wir die partiellen Ableitungen gleich
setzen. Die ersten
Gleichungen ergeben sukzessive die Bedingungen
-
![{\displaystyle {}x_{i}=ix_{1}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd1175c5a5118bcf7dadda3dd7f4532d6ff588d3)
für alle
. Dies zeigt man durch
Induktion,
der Induktionsanfang
(
)
ist trivial,
folgt direkt aus der ersten Gleichung und der Induktionsschritt ergibt sich aus
-
![{\displaystyle {}x_{i+1}=-x_{i-1}+2x_{i}=-(i-1)x_{1}+2ix_{1}=(i+1)x_{1}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df9cb4c4e31b2931877acc99699d4e80854318e8)
Aus der letzen Gleichung folgt schließlich
-
![{\displaystyle {}0=x_{n-1}+1-2x_{n}=1+(n-1-2n)x_{1}=1-(n+1)x_{1}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c64c4692c82dc2f25251c7fcb21086ef0210d6c8)
und somit
.
Der einzige kritische Punkt liegt also in der äquidistanten Unterteilung vor. Die
Hesse-Matrix
ist
(unabhängig vom Punkt)
gleich
-
Diese Matrix ist
negativ definit
nach Fakt.
Daher liegt in der äquidistanten Unterteilung
nach Fakt
das Maximum vor.