Maximale untere Treppenfunktion/Identität/n Teilungspunkte/Beispiel

Wir wollen für die Funktion

$g\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto t,$

und das Einheitsintervall ${}[0,1]$ bestimmen, für welche ${}n$ Unterteilungspunkte ${}0<x_{1}<\ldots <x_{n}<1$ das Treppenintegral der zugehörigen ($(n+1)$-stufigen) unteren Treppenfunktion maximal wird. Das Treppenintegral wird durch die Funktion

${}{\begin{aligned}f(x_{1},\ldots ,x_{n})&=x_{1}(x_{2}-x_{1})+x_{2}(x_{3}-x_{2})+\cdots +x_{n-1}(x_{n}-x_{n-1})+x_{n}(1-x_{n})\\&=\sum _{i=1}^{n-1}x_{i}x_{i+1}+x_{n}-\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}\end{aligned}}$

beschrieben. Die partiellen Ableitungen dieser Funktion sind

${}{\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}=x_{2}-2x_{1}\,,$

${}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}=x_{i-1}+x_{i+1}-2x_{i}\,$

für ${}i=2,\ldots ,n-1$ und

${}{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}=x_{n-1}+1-2x_{n}\,.$

Wir bestimmen die kritischen Punkte, indem wir die partiellen Ableitungen gleich ${}0$ setzen. Die ersten ${}n-1$ Gleichungen ergeben sukzessive die Bedingungen

${}x_{i}=ix_{1}\,$

für alle ${}i$. Dies zeigt man durch Induktion, der Induktionsanfang (${}i=1$) ist trivial, ${}i=2$ folgt direkt aus der ersten Gleichung und der Induktionsschritt ergibt sich aus

${}x_{i+1}=-x_{i-1}+2x_{i}=-(i-1)x_{1}+2ix_{1}=(i+1)x_{1}\,.$

Aus der letzen Gleichung folgt schließlich

${}0=x_{n-1}+1-2x_{n}=1+(n-1-2n)x_{1}=1-(n+1)x_{1}\,$

und somit ${}x_{1}={\frac {1}{n+1}}$. Der einzige kritische Punkt liegt also in der äquidistanten Unterteilung vor. Die Hesse-Matrix ist (unabhängig vom Punkt) gleich

${\begin{pmatrix}-2&1&0&\ldots &\ldots &0\\1&-2&1&0&\ldots &0\\0&1&-2&1&\ddots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\ldots &0&1&-2&1\\0&\ldots &\ldots &0&1&-2\end{pmatrix}}.$

Diese Matrix ist negativ definit nach Fakt. Daher liegt in der äquidistanten Unterteilung nach Fakt das Maximum vor.