Modultheorie/Hauptidealbereiche/Primärzerlegung/Fakt/Beweis

Beweis

Wir wollen die Zerlegung für endliche Untermoduln von ${}M$ zeigen. Wenn jeder endliche Untermodul eine direkte Summenzerlegung aus Primärkomponenten besitzt, dann gilt das auch für ${}M$, weil jedes Element von ${}M$ in einem endlichen Untermodul liegt. Es sei daher ${}U\subseteq M$ ein beliebiger endlicher Untermodul von ${}M$. ${}U$ ist als Untermodul des Torsionsmoduls ${}M$ ein Torsionsmodul. Jedes Element ${}x_{i}$ eines Erzeugendensystems ${}x_{1},\ldots ,x_{n}$ wird daher annulliert von einem Nichtnullteiler ${}r_{i}\in R$. Jedes Element von ${}U$ wird daher annulliert von ${}r:=r_{1}\cdots r_{n}\neq 0$, deshalb gilt ${}r\in \operatorname {Ann} _{R}U$. Dieses ${}r$ besitzt als Element eines Hauptidealbereichs eine kanonische Primfaktorzerlegung

$r=ap_{1}^{e_{1}}\cdots p_{k}^{e_{k}},$

wobei ${}a$ eine

Einheit ist und ${}p_{1},\ldots ,p_{k}$ paarweise verschiedene Primelemente.

Wir behaupten, dass

$U=U^{e_{1}}(p_{1})\oplus \cdots \oplus U^{e_{k}}(p_{k})=\left\{x\in U:p_{1}^{e_{1}}x=0\right\}\oplus \cdots \oplus \left\{x\in U:p_{k}^{e_{k}}x=0\right\}$

gilt.

Nach dem Lemma von Bezout gibt es für die Elemente ${}q_{1},\ldots ,q_{k}$ mit ${}q_{i}=\prod _{j\neq i}p_{j}^{e_{j}}$, die nach Konstruktion keinen gemeinsamen Teiler besitzen, eine Darstellung der ${}1$:

$c_{1}q_{1}+\cdots +c_{k}q_{k}=1.$

Es sei nun ${}x\in U$. Dann ist für alle ${}i\in \{1,\ldots ,k\}$

$c_{i}q_{i}x\in U^{e_{i}}(p_{i}),$

weil ${}ac_{i}q_{i}p_{i}^{e_{i}}=c_{i}r$ als Vielfaches von ${}r$ den Untermodul ${}U$ und damit auch ${}x$ annulliert. Weil ${}c_{i}q_{i}x+\ldots +c_{k}q_{k}x=1x=x$ gilt, gibt es für jedes ${}x\in U$ eine Darstellung in ${}U^{e_{1}}(p_{1})\oplus \cdots \oplus U^{e_{k}}(p_{k})$. Es sei nun ${}x=u_{1}+\cdots +u_{k}$ eine Darstellung eines Elements ${}x\in U$ mit ${}u_{i}\in U^{e_{i}}(p_{i})$. Dann ist

$c_{i}q_{i}x=c_{i}q_{i}u_{1}+\cdots +c_{i}q_{i}u_{k}=c_{i}q_{i}u_{i}=(1-\sum _{j\neq i}c_{j}q_{j})u_{i}=u_{i},$

weil ${}u_{j}\in U^{e_{j}}(p_{j})=\left\{x\in U:p_{j}^{e_{j}}x=0\right\}$ für ${}j\neq i$ jeweils von ${}q_{i}$ annulliert wird.

Deshalb ist die Darstellung eindeutig und ${}U$ direkte Summe seiner Primärkomponenten und damit auch ${}M$ direkte Summe seiner Primärkomponenten.

Zur bewiesenen Aussage