Multilineare Abbildung/Alternierend/Einführung/Textabschnitt

Definition

Es sei ${}K$ ein Körper und seien ${}V_{1},\ldots ,V_{n}$ und ${}W$ Vektorräume über ${}K$. Eine Abbildung

$\Phi \colon V_{1}\times \cdots \times V_{n}\longrightarrow W$

heißt multilinear, wenn für jedes  ${}i\in {\{1,\ldots ,n\}}$  und jedes ${}(n-1)$-Tupel ${}(v_{1},\ldots ,v_{i-1},v_{i+1},\ldots ,v_{n})$ mit  ${}v_{j}\in V_{j}$  die induzierte Abbildung

$V_{i}\longrightarrow W,\,v_{i}\longmapsto \Phi (v_{1},\ldots ,v_{i-1},v_{i},v_{i+1},\ldots ,v_{n}),$

${}K$-linear ist.

Bei  ${}n=2$  spricht man auch von bilinear. Beispielsweise ist die Multiplikation in einem Körper ${}K$, also die Abbildung

$K\times K\longrightarrow K,\,(x,y)\longmapsto xy,$

bilinear. Ebenso ist zu einem ${}K$-Vektorraum ${}V$ mit Dualraum ${}{V}^{*}$ die Auswertungsabbildung

$V\times {V}^{*}\longrightarrow K,\,(v,f)\longmapsto f(v),$

bilinear.

Lemma

Es sei ${}K$ ein Körper und seien ${}V_{1},\ldots ,V_{n}$ und ${}W$ Vektorräume über ${}K$. Es sei

$\Phi \colon V_{1}\times \cdots \times V_{n}\longrightarrow W$

eine multilineare Abbildung und es seien  ${}v_{i1},\ldots ,v_{im_{i}}\in V_{i}$  und  ${}a_{ij_{i}}\in K$  zu  ${}i=1,\ldots ,n$  und  ${}j_{i}=1,\ldots ,m_{i}$. 

Dann ist

${}{\begin{aligned}\Phi {\left(\sum _{j=1}^{m_{1}}a_{1j}v_{1j},\ldots ,\sum _{j=1}^{m_{n}}a_{nj}v_{nj}\right)}&=\sum _{(j_{1},\ldots ,j_{n})\in \{1,\ldots ,m_{1}\}\times \cdots \times \{1,\ldots ,m_{n}\}}a_{1j_{1}}\cdots a_{nj_{n}}\Phi {\left(v_{1j_{1}},\ldots ,v_{nj_{n}}\right)}.\,\end{aligned}}$

Beweis

Siehe Aufgabe.

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Definition

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ und ${}W$ seien ${}K$-Vektorräume und sei  ${}n\in \mathbb {N}$.  Eine multilineare Abbildung

$\Phi \colon V^{n}=\underbrace {V\times \cdots \times V} _{n{\text{-mal}}}\longrightarrow W$

heißt alternierend, wenn folgendes gilt: Falls in  ${}v=(v_{1},\ldots ,v_{n})$  zwei Einträge übereinstimmen, also  ${}v_{i}=v_{j}$  für ein Paar  ${}i\neq j$,  so ist

${}\Phi (v)=0\,.$

Bei einer alternierenden Abbildung muss an jeder Stelle der gleiche Vektorraum stehen.

Lemma

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ und ${}W$ seien ${}K$-Vektorräume und sei  ${}n\in \mathbb {N}$.  Es sei

$\Phi \colon V^{n}=\underbrace {V\times \cdots \times V} _{n{\text{-mal}}}\longrightarrow W$

eine alternierende Abbildung.

Dann gilt

${}{\begin{aligned}\Phi (v_{1},\ldots ,v_{r-1},v_{r},v_{r+1},\ldots ,v_{s-1},v_{s},v_{s+1},\ldots ,v_{n})&=-\Phi (v_{1},\ldots ,v_{r-1},v_{s},v_{r+1},\ldots ,v_{s-1},v_{r},v_{s+1},\ldots ,v_{n}).\,\end{aligned}}$

D.h. wenn man zwei Vektoren vertauscht, so ändert sich das Vorzeichen.

Beweis

Aufgrund der Definition von alternierend und Fakt gilt

${}{\begin{aligned}0&=\Phi (v_{1},\ldots ,v_{r-1},v_{r}+v_{s},v_{r+1},\ldots ,v_{s-1},v_{r}+v_{s},v_{s+1},\ldots ,v_{n})\\\\&=\Phi (v_{1},\ldots ,v_{r-1},v_{r},v_{r+1},\ldots ,v_{s-1},v_{s},v_{s+1},\ldots ,v_{n})+\Phi (v_{1},\ldots ,v_{r-1},v_{s},v_{r+1},\ldots ,v_{s-1},v_{r},v_{s+1},\ldots ,v_{n}).\,\end{aligned}}$

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