Natürliche Zahlen/Teilbarkeit/Einführung/Textabschnitt

Aus Wikiversity
Zur Navigation springen Zur Suche springen


Definition  

Man sagt, dass die natürliche Zahl die natürliche Zahl teilt (oder dass von geteilt wird, oder dass ein Vielfaches von ist), wenn es eine natürliche Zahl derart gibt, dass ist. Man schreibt dafür auch .

Beispielsweise sind Teiler von und die Teiler von . Eine Zerlegung

nennt man auch eine Faktorzerlegung von . Wenn ein Teiler von ist und

so ist die Zahl mit nach der Kürzungsregel eindeutig bestimmt. Man nennt diese Zahl den Gegenteiler oder komplementären Teiler und schreibt dafür . Da wir im Moment die rationalen Zahlen noch nicht zur Verfügung haben, ist dies nur dann eine erlaubte Schreibweise, wenn die Teilerbeziehung vorliegt und ist (so wie die Schreibweise bisher nur erlaubt ist, wenn ist). Es ist also ein Teiler der , der Ausdruck ist aber nicht definiert. Wenn ein Teiler von ist, so nennt man die Bestimmung des eindeutig bestimmten mit

Teilen. Man sagt, dass man durch teilt mit dem Ergebnis .



Lemma  

Es sei eine natürliche Zahl und ein Teiler von .

Dann ist .

Insbesondere besitzt nur endlich viele Teiler.

Beweis  

Da der Teiler ausgeschlossen ist, sind bei einer Faktorzerlegung beide Faktoren . Wegen Fakt  (3) ist daher

Der Zusatz ist klar, da es unterhalb von überhaupt nur endlich viele natürliche Zahlen gibt.


Wenn man also alle Teiler einer natürlichen Zahl finden möchte, so muss man einfach die Zahlen

der Reihe nach durchgehen und ihre Vielfachen

durchgehen, bis die Zahl auftaucht (in welchem Fall ein Teiler ist) oder eine Zahl auftaucht (dann liegt kein Teiler vor). Übrigens muss man nicht die Zahlen bis durchprobieren, sondern lediglich bis zur ersten Zahl mit (man muss also nur bis zur Größenordnung der Quadratwurzel aus gehen). Dann muss man aber für jeden Teiler

auch den Gegenteiler mitanführen, siehe Aufgabe. Für muss man maximal bis gehen. Es ergeben sich die Zerlegungen

und die Teiler sind somit .

Eine durch teilbare Zahl, also ein Vielfaches von , heißt gerade, eine nicht durch teilbare Zahl heißt ungerade. Für einige Zahlen gibt es einfache Tests, ob sie ein Teiler einer gewissen Zahl sind, die allerdings auf dem Dezimalsystem beruhen. Eine weitere wichtige Möglichkeit ist die Division mit Rest. Auch der dritte Teil des folgenden Lemmas hilft: Wenn kein Teiler von ist, so sind sämtliche Vielfache von ebenfalls kein Teiler von .



Lemma  

In gelten folgende Teilbarkeitsbeziehungen.

  1. Für jede natürliche Zahl gilt und .
  2. Für jede natürliche Zahl gilt .
  3. Gilt und , so gilt auch .
  4. Gilt und , so gilt auch .
  5. Gilt , so gilt auch für jede natürliche Zahl .
  6. Gilt und , so gilt auch für beliebige natürliche Zahlen .

Beweis  

  1. Ist klar wegen
  2. Ist klar wegen
  3. Die beiden Voraussetzungen bedeuten die Existenz von mit und . Somit ist

    und ist auch ein Teiler von .

  4. Aus den Voraussetzungen und ergibt sich direkt

    also ist ein Teiler von .

  5. Aus der Voraussetzung ergibt sich direkt

    also ist ein Teiler von .

  6. Aus den Voraussetzungen und ergibt sich direkt mit dem Distributivgesetz

    also ist ein Teiler von .


Verband Teiler30.png


Beispiel  

Wir betrachten die positiven natürlichen Zahlen zusammen mit der Teilbarkeitsbeziehung. Dies ergibt eine Ordnung auf . Die Teilbarkeitsrelation ist in der Tat reflexiv, da stets ist, wie zeigt. Die Transitivität wurde in Fakt  (3) gezeigt. Die Antisymmetrie folgt so: Aus und folgt . Da wir uns auf positive natürliche Zahlen beschränken, folgt mit der Kürzungsregel und daraus wegen auch . Also ist . Einfache Beispiele wie und zeigen, dass hier keine totale Ordnung vorliegt, da weder von noch umgekehrt geteilt wird.