Normaler noetherscher Bereich/Bewertungsringe/Textabschnitt

Satz

Es sei ${}R$ ein normaler noetherscher Integritätsbereich.

Dann ist

${}R=\bigcap _{\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}}\,,$

wobei ${}{\mathfrak {p}}$ über alle Primideale ${}{\mathfrak {p}}$ der Höhe ${}1$ von ${}R$ läuft.

Sei ${}f=g/h\in Q(R)$ und sei vorausgesetzt, dass ${}f$ nicht zu ${}R$ gehört. Dann gibt es nach Fakt auch ein zu einem Restklassenring nach einem Hauptideal assoziiertes Primideal ${}{\mathfrak {p}}$ mit ${}f\notin R_{\mathfrak {p}}$ . Es ist also ${}{\mathfrak {p}}$ das Annullatorideal zu einem Element ${}x$ modulo dem Hauptideal ${}(y)$ . Wir können durch Lokalisierung annehmen, dass ${}{\mathfrak {p}}$ das maximale Ideal von ${}R$ ist. Wir betrachten den ${}R$ -Untermodul

{}N={\left\{q\in Q(R)\mid q{\mathfrak {p}}\subseteq R\right\}}\subseteq Q(R)\,.

Dabei gilt

{}{\mathfrak {p}}\subseteq {\mathfrak {p}}N\subseteq R\,.

Wegen der Maximalität von ${}{\mathfrak {p}}$ ist

{}{\mathfrak {p}}={\mathfrak {p}}N\,

oder

{}{\mathfrak {p}}N=R\,.

Im ersten Fall folgt aus Fakt, dass die Elemente aus ${}N$ ganz über ${}R$ sind. Wegen der Normalität von ${}R$ folgt ${}N=R$ . Wegen ${}x{\mathfrak {p}}\subseteq (y)$ ist auch ${}{\frac {x}{y}}{\mathfrak {p}}\subseteq R$ , also

{}{\frac {x}{y}}\in N=R\,,

ein Widerspruch. Also liegt der zweite Fall, ${}{\mathfrak {p}}N=R$ , vor. Doch dann muss es Elemente ${}a\in {\mathfrak {p}}$ und ${}q\in N$ mit

{}aq=1\,

geben. Für ${}b\in {\mathfrak {p}}$ ist dann ${}bq=b/a\in R$ , also ${}b\in (a)$ und damit ist ${}{\mathfrak {p}}=(a)$ ein Hauptideal. Nach Fakt ist ${}R$ ein diskreter Bewertungsring und ${}{\mathfrak {p}}$ besitzt die Höhe ${}1$ .