Normalteiler/Kern/Einführung/Textabschnitt

Definition

Es sei ${}G$ eine Gruppe und  ${}H\subseteq G$  eine Untergruppe. Man nennt ${}H$ einen Normalteiler, wenn

${}xH=Hx\,$

für alle  ${}x\in G$  ist, wenn also die Linksnebenklasse zu ${}x$ mit der Rechtsnebenklasse zu ${}x$ übereinstimmt.

Bei einem Normalteiler braucht man nicht zwischen Links- und Rechtsnebenklassen zu unterscheiden und spricht einfach von Nebenklassen. Statt ${}xH$ oder ${}Hx$ schreiben wir meistens ${}[x]$. Die Gleichheit  ${}xH=Hx$  bedeutet nicht, dass  ${}xh=hx$  für alle  ${}h\in H$  ist, sondern lediglich, dass es zu jedem  ${}h\in H$  ein  ${}{\tilde {h}}\in H$  mit  ${}xh={\tilde {h}}x$.  gibt.

Lemma

Es sei ${}G$ eine Gruppe und  ${}H\subseteq G$  eine Untergruppe.

Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

1. ${}H$ ist ein Normalteiler von ${}G$.
2. Es ist  ${}xhx^{-1}\in H$  für alle ${}x\in G$ und ${}h\in H$.
3. ${}H$ ist invariant unter jedem inneren Automorphismus von ${}G$.

Beweis

(1) bedeutet bei gegebenem  ${}h\in H$,  dass man  ${}xh={\tilde {h}}x$  mit einem  ${}{\tilde {h}}\in H$  schreiben kann. Durch Multiplikation mit ${}x^{-1}$ von rechts ergibt sich  ${}xhx^{-1}={\tilde {h}}\in H$,  also ${}(2)$. Dieses Argument rückwärts ergibt die Implikation ${}(2)\Rightarrow (1)$. Ferner ist ${}(2)$ eine explizite Umformulierung von ${}(3)$.

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Beispiel

Wir betrachten die Permutationsgruppe  ${}G=S_{3}$  zu einer dreielementigen Menge, d.h. ${}S_{3}$ besteht aus den bijektiven Abbildungen der Menge ${}\{1,2,3\}$ in sich. Die triviale Gruppe ${}\{\operatorname {id} \}$ und die ganze Gruppe sind Normalteiler. Die Teilmenge  ${}H=\{\operatorname {id} \,,\varphi \}$,  wobei ${}\varphi$ die Elemente ${}1$ und ${}2$ vertauscht und ${}3$ unverändert lässt, ist eine Untergruppe. Sie ist aber kein Normalteiler. Um dies zu zeigen, sei ${}\psi$ die Bijektion, die ${}1$ fest lässt und ${}2$ und ${}3$ vertauscht. Dieses ${}\psi$ ist zu sich selbst invers. Die Konjugation  ${}\psi \varphi \psi ^{-1}=\psi \varphi \psi$  ist dann die Abbildung, die ${}1$ auf ${}3$, ${}2$ auf ${}2$ und ${}3$ auf ${}1$ schickt, und diese Bijektion gehört nicht zu ${}H$.

Lemma

Es seien ${}G$ und ${}H$ Gruppen und sei

$\varphi \colon G\longrightarrow H$

ein Gruppenhomomorphismus.

Dann ist der Kern ${}\operatorname {kern} \varphi$ ein Normalteiler in ${}G$.

Beweis

Eine Untergruppe liegt aufgrund von Fakt vor. Wir verwenden Fakt. Es sei also  ${}x\in G$  beliebig und  ${}h\in \operatorname {kern} \varphi$.  Dann ist

${}\varphi {\left(xhx^{-1}\right)}=\varphi (x)\varphi (h)\varphi {\left(x^{-1}\right)}=\varphi (x)e_{H}\varphi {\left(x^{-1}\right)}=\varphi (x)\varphi (x)^{-1}=e_{H}\,,$

also gehört ${}xhx^{-1}$ ebenfalls zum Kern.

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