Normalteiler/Kern/Einführung/Textabschnitt

Definition

Es sei $G$ eine Gruppe und  $H\subseteq G$  eine Untergruppe. Man nennt $H$ einen Normalteiler, wenn

$xH=Hx$

für alle  $x\in G$  ist, wenn also die Linksnebenklasse zu $x$ mit der Rechtsnebenklasse zu $x$ übereinstimmt.

Bei einem Normalteiler braucht man nicht zwischen Links- und Rechtsnebenklassen zu unterscheiden und spricht einfach von Nebenklassen. Statt $xH$ oder $Hx$ schreiben wir meistens $[x]$. Die Gleichheit  $xH=Hx$  bedeutet nicht, dass  $xh=hx$  für alle  $h\in H$  ist, sondern lediglich, dass es zu jedem  $h\in H$  ein  $\tilde{h}\in H$  mit  $xh=\tilde{h}x$  gibt.

Lemma

Es sei $G$ eine Gruppe und  $H\subseteq G$  eine Untergruppe.

Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

1. $H$ ist ein Normalteiler von $G$.
2. Es ist  $xh{x}^{-1}\in H$  für alle $x\in G$ und $h\in H$.
3. $H$ ist invariant unter jedem inneren Automorphismus von $G$.

Beweis

(1) bedeutet bei gegebenem  $h\in H$,  dass man  $xh=\tilde{h}x$  mit einem  $\tilde{h}\in H$  schreiben kann. Durch Multiplikation mit $x^{-1}$ von rechts ergibt sich  $xh{x}^{-1}=\tilde{h}\in H$,  also $(2)$. Dieses Argument rückwärts ergibt die Implikation $(2)\Rightarrow (1)$. Ferner ist $(2)$ eine explizite Umformulierung von $(3)$.

$◻$

Beispiel

Wir betrachten die Permutationsgruppe  $G=S_3$  zu einer dreielementigen Menge, d.h. $S_3$ besteht aus den bijektiven Abbildungen der Menge $\{1,2,3\}$ in sich. Die triviale Gruppe $\{\mathrm{id}\}$ und die ganze Gruppe sind Normalteiler. Die Teilmenge  $H=\{\mathrm{id},\phi \}$,  wobei $\phi$ die Elemente $1$ und $2$ vertauscht und $3$ unverändert lässt, ist eine Untergruppe. Sie ist aber kein Normalteiler. Um dies zu zeigen, sei $\psi$ die Bijektion, die $1$ fest lässt und $2$ und $3$ vertauscht. Dieses $\psi$ ist zu sich selbst invers. Die Konjugation  $\psi \phi {\psi }^{-1}=\psi \phi \psi$  ist dann die Abbildung, die $1$ auf $3$, $2$ auf $2$ und $3$ auf $1$ schickt, und diese Bijektion gehört nicht zu $H$.

Lemma

Es seien $G$ und $H$ Gruppen und sei

$\phi :G⟶H$

ein Gruppenhomomorphismus.

Dann ist der Kern $\mathrm{kern}\phi$ ein Normalteiler in $G$.

Beweis

Eine Untergruppe liegt aufgrund von Fakt vor. Wir verwenden Fakt. Es sei also  $x\in G$  beliebig und  $h\in \mathrm{kern}\phi$.  Dann ist

$\phi \left(xh{x}^{-1}\right)=\phi (x)\phi (h)\phi \left(x^{-1}\right)=\phi (x)e_H\phi \left(x^{-1}\right)=\phi (x)\phi (x{)}^{-1}=e_H,$

also gehört $xh{x}^{-1}$ ebenfalls zum Kern.

$◻$